IV.-Квантовая-электродинамика (1109681), страница 75
Текст из файла (страница 75)
394 ВзаимодкйотВВВ элкктРОВОВ гл. гх Фактическое вычисление амплитуды упругого рассеяния можно при сделанных предположениях разбить на два этапа. Сначала усредняем О'-оператор по волновым функциям неизменных (основных) состояний обоих атомов (при заданных координатах их ядер г> и г2), а также по фотонному вакууму в начале и в конце процесса фотоны отсутствуют. В результате получим величину., являющуюся функцией от расстояния между ядрами; обозначим ее через (О(г)) ') .
Чтобы найти искомый матричный элемент перехода, надо вычислить затем интеграл О>г = гто ~ тг' 2(ЯР))гго>гть2сс 2'1гт т2 ° (85.8) Сравнив с (85.2), мы увидим, что если получить выражение для (О'(г)) в виде (О'(г)) = — 44бг(г), то У(г) и будет искомой энергией взаимодействия атомов. Поскольку мы имеем дело в данном случае со столкновением не элементарных частиц, а сложных систем (атомов, которые в проне>куточных состояниях могут быть возбуждены), обычные формальные правила диаграммной техники здесь непосредственно неприменимы, и мы начнем с исходного выражения для Я-оператора в виде разложения (72.10). Для взаимодействия атомов существенны компоненты полей с частотами порядка атомных (и меньшими).
Соответствующие длины волн велики по сравнению с атомными размерами. Поэтому оператор электромагнитного взаимодействия можег быть взят в виде (85.4) Г = — Е(г1)с1> — Е(г2)с12, где с1Ы с12 операторы дипольных моментов атомов (имеются в виду зависящие от времени гейзенберговские операторы), а Е(г) оператор электрического поля, который берется в точках нахождения соответствующих атомов.
Как известно, средние значения дипольного момента атома в его стационарных состояниях равны нулю (см. П1, 9 75). Отсюда следует, что отличная от нуля амплитуда рассеяния появится только в четвертом приближении теории возмущений, т. е. как матричный элемент оператора Я~ = — сгтю .. ссг4 . Т(>г(г>) >г(г2) >г(гз) >г(г4)1. (85.5) ) Выесто более громоздкого обозначения диагонального матричного Влемента — с указанием состояний атома и фотонного гюля. ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ АТОМОВ НА ДАЛЕКИХ РАСОТОЯНИЯХ 395 л в Р > ь 3 в 3 (85.6) где штриховые линии изображают свертки, а цифрам отвечают аргументы 1л, 1з, 1з, 1л.
Кроме того, .каждой точке могут отвечать пространственные координаты гл или гз (причем двум точкам гл и двум гв, в противном случае в данном члене суммы один из операторов с1л или с1э войдет в первой степени и обратится в нуль при усреднении по состоянию атома). Очевидно, что в точках, соединенных линиями, должны стоять различные гл и г2. В противном случае диаграмма (т. е. соответствующий ей член в матричном элементе) сведется к произведению независимых функций от гл и от гз, вместо того чтобы быть функцией от разности гл — гз, такие члены не имеют отношения к рассеянию ') .
В соответствии с этими условиями можно расставить аргументы гл и гв по четырем точкам диаграммы четырьмя способами. Учитывая также коммутативность операторов л1л и с)э и усредняя по состояниям каждого из атомов, находим, что все получающиеся таким образом 3 4 = 12 членов одинаковы (они различаются лишь обозначением переменных интегрирования). В результате получим ф(г)) = — Жл...
лил (Т(Е,(гл, 1л)ЕВ(гэ, 8з))) х х (Т(Ел(гз, 1в)Е„,(гл, 1л)))(Т(л1л,(лл)л1л (гл)))(Т(л1гь(лз)г1гл(лз))), (85.7) где л, Л,... трехмерные векторные индексы. ) Они дают не интересующие нас здесь поправки к собственным энергиям каждого из атомов. Действительно, в более низких порядках л(аждый член в произведениях операторов 1г будет содержать хотя бы один из операторов с1л или л1э в первой степени и при усреднении по состоянию соответствукпцего атома обратится в нуль. Усредним оператор (85.5) по фотонному вакууму. По теореме Вика среднее от произведения четырех операторов поля Е сводится к сумме произведений их попарных средних (сверток).
Разбиение на пары может быть произведено тремя способами, которые можно изобразить диаграалалами: 396 Взаимодействие электеонов ГЛ. 1Х ДЛЯ ВЫЧИСЛЕЕ1ИЯ ВЕЛИЧИН Ргт(х2 — хз) = (Т(Ег(х2)ЕЕ(х2))) (85.8) воспользуемся калибровкой потенциалов, в которой скалярный потенциал Ф = О. Тогда Е = — дА,г'гй, и мы имеем дг .д Р,„(Х1 — Х2) = (Т(А4(Х1)АЬ(Х2))) = г' —,Ргв(Х)г оггоге где х = хг — х2, а Рея(х) -- фотонный пропагатор в данной калибровке '). Ниже нам будет удобнее пользоваться пропагатором Р,ь(ог, г) в смешанном ш, г-представлении, который связан с Р,й(1, г) соотношением Р4ь(2, г) = Р,ь(ог, г)е ' 1 —. При этом (85.9) Р,~(1, Г) = — г аг Ргв(езг Г)Е ма —. Величины (85.10) ага (г! 42) — г (Т(его И! ) ггя (42) )) разлагаем в интеграл Фурье агь(б) = Е ' аггв(аг) —. 211 Положив для удобства 12 = О, 12 = 1, запишем по определению Т-произведения ага(ог) = е' 'ага(б)411 = о со = г е'~~(аг2,(0)411(б))й+ г е™(агг(1)41ь(0))411.
(85.11) -оо о д ) Первая производная — Р,1 00 имеет конечный скачок при 2 = О. Поэтому д1 вторая производная, т. е. функция Р,г. (2), содержит также б-функционный член ( бг 2(хг — хг)). Этот член, однако, равен нулю при всех гг ~ гз и нас 442 здесь не интересует. ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ АТОМОВ НА ДАЛЕКИХ РАСОТОЯНИЯХ 397 Входящие сюда средние (по основному состоянию атома) зна |ения выражаются через матричные элементы дипольного момента; (дь(0)4~,(2)) = ~~ (Йь)о„(Й,)вее™" о~, и (и (Т)ть(о)) = ~(й )О (Па)ВОЕ '""'~ Для сходимости интегралов в (85.11) в первом из них надо понимать и как и — 10, а во втором как ы+ 10. Произведя ин- тегрирование, получим %-' Г Юо„~А ).о + 044)о„05)кв Ъ (8 .12) о,ь(о~)=р ) ' " + о. '~"~ ).и а — м — Ю МВВ тм — 10) Если основное состояние является Я-состоянием, то этот тепзор сводится к скаляру;аж = ад2В где , ( ) — 1~~~'~с1 „~2( 1 + ).
(85.13) Если же атом обладает моментом, то тот же результат получится после усреднения по его направлениям, что и будет подразуме- ваться (нас интересует, конечно, взаимодействие атомов, усред- ненное по их взаимным ориентациям). Сравнив (85.12) с выражением (59.17), мы увидим, что о,ь(ы) совпадает с тензором когерентного рассеяния фотона частоты В2 на атоме.
Согласно (59.23) ст(ы) при ы > 0 совпадет с поляризу- емостью атома. Значения же гт(ю) при ю ( 0 выражаются через значения при ы > 0 с помощью очевидного из (85.13) соотноше- НИЯ О( — Ю) = ЕТ(ЕВ). Подставив полученные выражения в (85.7), найдем (о(г)) = — ~4М Ж '' ' ~' ' х 2 / 2х 2х 2х 2х х оп(й~)гт2(П2)И1Р,В(ы;, г)и2Р4ь(ы2.
г) х х ехр( 1ы1(21 22) 4ы2(23 24) 4П1(21 14) 1П2(12 23)) (г = г4 — г2, мы учли также четность функции Рке(ы, г) по г). Интегрирование по трем временам дает б-функции (в силу кото- рых — Й1 = Й2 = В22 = ы1), а по четвертому множитель 1: ( о (г) ) = — 41П(г), (85.14) 398 ВЗЛИМОДЕЙСТВИЕ ЭЛВКТРОВОВ ГЛ 1Х Эта формула и определяет энергию взаимодействия двух атомов на любых расстояниях, больших по сравнению с атомными размера»1и а. Остается найти и подставить сюда явное выражение для функции В1ь(В1, г). Сравнив друг с другом выражения (76.14) и (76.8), найдем., что В ь(В11 1«) = (б;ь — *.,~) В(В1 1«), где В дается формулой (76.8). В В1, г-представлении эта связь выразится, следовательно, равенством В1ь(В1, г) = — (д,ь + — ) Р(В1, г).
(85.15) Подставив сюда Р(ю, г) из (76.16) и произведя дифференцирования, найдем В„(,г) = [5„(1+ —,*, — —.,',)+ + ' " (,, — ' — 1)] . (85.16) Наконец, подставив это выражение в (85.14), после простых пре- образований с учетом четности функции о(ю) получим следую- щее окончательное выражение для энергии взаимодействия ато- мов; Б(г) = = — ~ ю а~(В1)«12(В1)е [1+ — — — — — + — ~ пп1. 1 4 2««Р 1 21' 5 61 з 111» / «11 («1Р) („,„)З ( )« о (85.17) Г(Г) = — / О1(В1)ГЕ> (В1)ПВ1. 2ВР« „1 (85.18) Как и должно быть, мы получили для взаимодействия на этих расстояниях закон 111г~.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
