IV.-Квантовая-электродинамика (1109681), страница 73
Текст из файла (страница 73)
Эти эффекты (адронный формфактор), однако, становятся существенными лишь при ~д~ ~ сх 1/Л4~, а при условии (82.22) такие передачи импульса исключены. 2я(хе~)~а (1 2га„„,тг 2) (82.25) гпег 1 Цг( Наконец, сложив вклады (82.20) и (82.25) г получим окончатель- но пгедующий результат для полных ионизационных потерь бы- строй тяжелой частицы: 4кЯ1вег)~ 7 2шов ог, 7П - "7с ) кг У' (в обьпшых единицах). В нерв.лятивистском случае отсюда полу- чается прежняя формула (150.10) (см. П1: 4яЯ(лег) 21пог (82.27) шов а в ультрарелятивистском счучае 4яа(лег) (1 2тс~ ) (82.28) ьчсг г г (1 — ог/сг) Торможение зависит только от скорости (но не от массы) бы- строй частицы.
Убывание торможения при увеличении скорости, согласно (82.27), сменяется в ультрарелятивистской области мед- ленным (логарифмическим) возрастанием. 381 уРАВнение БРейтА 2яле гг тес~те 1) и = ~)гг тсг ~, 21' 8 (2) 2. То же для позитрона. Р е ш е н и е. Для 4)о а в области больших передач следует воспользоваться (81.23), причем верхний предел по гл равен Л вЂ” 1. Ответ в ультрарелятивистском случае: 2хле г' 2тгсгзэ 231 М= гпсг Г, 14 12) 8 83. л'равнение Брейта Как известно, в классической электродинамике система взаимодействующих частиц может быть описана с помощью функции Лагранжа, зависящей лишь от координат и скоростей самих частиц и правильной с то шостью до членов 1/с (см.
П, 8 65). Это обстоятельство связано с тем,что излучение появляется лишь как эффект порядка 1ггс . В квантовой теории этой ситуации соответствует возможность описания системы уравнением Шредингера, учитывающим члены второго порядка. Для электрона, движущегося во внешнем электромагнитном поле, такое уравнение было установлено в 8 ЗЗ. Теперь мы займемся выводом аналогичного уравнения, описывающего систему взаимодействуюп1их частиц. Будем исходить из релятивистского выражения для амплитуды рассеяния двух частиц. В нерелятивистском приб.лижепии она переходит в обычную борновскую амплитуду, пропорциональную компоненте Фурье потенциала электростатического взаимодействия двух зарядов.
Вычислив же амплитуду с точностью до членов второго порядка, мы сможем установить вид соответствующего ей потенциала, учитывающего члены 11гс . Предположим сначала, что две частицы - различные, с массами ьч1 и т2 1скажем, электрон и мюон). Тогда рассеяние Задачи 1. Определить эффективное торможение релятивистского электрона. Р е ш е н н е. Вклад области малых передач импульса по-прежнему дается выражением (82.20). Для обласги больших передач вместо (82,24) следует воспользоваться формулой (81.14), учитывающей обменные эффекты. Интегрируя гаг)ол по 4)га от ~д ~4442т до ( у — Ц442 и складывая с (82.20), находим 2х7е4 1 тг(чг 1Кл — ЦБ4 г'2 1 1 1 (1 — Цг) Нг 21г у' ) уг 8 уэ у=(1 — е ггс) В перелятивистском случае получаем формулу из задачи к 8 149 (сьг. 11Ц, а в ультрарелятивистском 1у )) Ц 382 ВЗЛИМОЛВЙОТВИЕ ЭЛЕКТРОНОВ ГЛ 1Х изображается одной диаграммой Р1 У1 Ей соответствует амплитуда Муг = е (и1'у"иу)Ху,„г(гу)(изупи2), д =р1 — р~ = р2 — р2 (83.1) (здесь предположено, что заряды частиц одного знака; в противном случае е заменяется на — е ).
г 2 Дальнейшие вычисления заметно упрощаются, если фотонный пропагатор Х>ие Выбрать не в обычной, а в кулоновой калибровке (76.12),(7б.13) '): Ч'' ' Ча — ыэ/се — 10 1 Ч' / Тогда амплитуда рассеяния Му, = е ((и1у~и~) (и2 уоа2) 1гоо + (и1у'иу) (изуки2) 1)ь17. (83 3) В пренебрежении всеми членами, содержащими 1/с, второй член в фигурных скобках выпадает вовсе, а первый дает Му, = — 2т1 2т2(ю( Р1ю~ ) (ю~ '2ю2 )77(с1), (83.4) (83.5) а через юы ю2, ... обозначены введенные в 3 23 спинорные о о (двухкомпонентные) амплитуды нерелятивистских плоских волн. Функция ЕУ(с1) представляет собой компоненту Фурье потенциальной энергии кулонового взаимодействгля: У(г) = е /г.
В следующем (по 1/с) приближении «шредингеровская» вол- новаЯ фУнкЦим свобоДной частиЦы 1РВ1р (ноРмиРованнаЯ по ин- тегРалУ ( ~1о р~ и~' л) УдовлетвоРЯет УРавнению в котором учтен следующий член разложения релятивистского выражения для кинетической энергии. Амплитуду (спипорную) ) В этом параграфе мы выписываем во всех промежуточных формулах множители с, а в окончательных формулах также и 6. 383 уРАБнение БРБЙТА такой плоской волны обозначим через ю (при 1ттс — ~ О она переходит в ит(0)). Именпо через зти амплитуды и должна быть выражена искомая амплитуда рассеяния для того, чтобы по ес виду можно было определить «шредингеровский» потенциал взаимодействия частиц в рассматриваемом приближении. В соответствии с формулой (33.1Ц биспинорная амплитуда свободной частицы и выражается через «шредингеровскую» амплитуду и с требуемой здесь точностью в виде (83.7) С помощью втой формулы находим ~г — 1 О 1* т Р14Р11 1* ит'у ит — — итит —— 2тпт ~1 — ю,и11+ 8т'",'сг ) 1 1 и, уит = и,аит = — и т(тт(орт) + (орт)ст)ют = с = -и т(т[о с1) + 2рт + с]1тБт с (где с] = рт — рт = р2 — р2).
Аналогичные выражения для (и12 уои2) и (и12 уив) отличаются заменой индексов 1 на 2 и соответственно заменой тт на -Тт. Подставим чти выражения в (83.3). Поскольку произведение (йт'уит)(й2 1и2) уже содержтнг множитель 1ттс~, то в В,ь можно пренебречь членом из,т'с2 в знаменателе. В результате получим амплитуду рассеяния в виде ЛХтт = — 2»ит 2тн2(ю'тю'2бт(рм р2, с1) юттн2), (83.8) где ] «$8тп]с 8птгс т1п»гс»Ц 1п1тпгс и тт»1[чр1] тп'1[стрг] итг[чрг] ттог[чр1] 4ттсгпг 2тттпгсгттг 4ПДсгтсг 2тгтгсгп» + ( тя)( гч) 1 г (839) 41пттгсгчг 4т1тпсг ~ (индексы 1, 2 у матриц Паули указывают, на чьи спинорные индексы они действуитт: стт действует на ют, а 1т2 на ю2).
ГЛ 1Х ВЗАИЗ1ОЛВЙСТВИВ ЭЛЕКТРОНОВ 384 Функгцля (Л (рл, р2, с1) есть оператор взаимодействия частиц в импульсном представлении. Он связан с оператором (4' (р14 р2, г) в координатном представлении формулой | — 1(р1г1трзгз) (т ( р 1 )1 1(рлг1+рзгз)т(' ГГ ЛЛ' т = (2я)' 4)(рл+ Р2 — Рл — Р2)(7(рл, Р24 41). (83.10) Если оператор 0 представляет собой просто функцию (7(г)(г = = гл — г2), то 17(рл, р2, 41) не зависит от рл, р2 и формула (83.10) сводится к обычному определению компоненты Фурье: Р лч"17(г)т(з: = ЦЧ). Отсюда ясно, что для нахождения 14'(рл, рв, г) надо вычислить интеграл и затем заменить рл, р2 операторами рл = — Л71, р2 = — 1472, расположив их правее всех других множителей.
Нужные интегралы вычисляются дифференцированием фор- мулы гяг 441 4( Ч е Чз (211)з т (83. 11) Так, взятием градиента находим Наконец, Г 41Г(аЧ)(ЬЧ) 1Чг 11 Ч = — (аз(7)(Ь(7)- 411 (2г)з т Г Чг 4гч НЧ (83.12) Чз (24т)з т 1.з' Далее (а1 ь постоянные векторы) 44т(ач)(ЬЧ) 1Чг 4( Я 4 ( д ) / тяг (~ д ) 1 4Г Ч Чл (241)з 2 1 дг/ ( ) дч! Чз (24т)з' получившийся интеграл после интегрирования по частям сводится к (83.12) и дает 44т(аЧНЬЧ) 1Чг 44 я 1( 4(7)Ьг 1 ~ ) (аг)(ЬР)~ (83 И) Чл (211)з 2 т 2т ~ тз 385 1 83 уРАВнение БРейтА При раскрытии производных надо иметь в виду, что это выражение содержит в себе б-функцию б(г) . Для ее выделения замечаем, что после усреднения по направлениям г: — (а27)(Ьь ) — = — — (аЬ)2з — = — (аЬ)б(г).
Раскрывая теперь производные обычным образом, находим 2 2 1 С 4и(ап)(ЬЧ) гяг 4211 1 / Ь 3 (аг)(Ьг) ') + 4и ( Ч2 (211)1 та ( т2 ) 3 (83.14) (при усреднении по направлениям г первый член обращается в нуль и остается лишь член с б-функцией). С помощью этих формул получим следующее окончательное выражение для оператора взаимодействия частиц; 11(р„р2, г) = — — ~ —, + —.) 3(г)— с ис111 1 1 1 т 2с1 1 т1 т2) 2тистасат [ 1 2 2 — ,,([гр~)сг2 — [гр2)сгс) + 4т11и с2 С га т' 3 Полный гамильтониан системы двух частиц в этом приближении й = й,"+й,"+О, (83.1б) где йгс") " гамильтонианы свободных частиц из (83.б).
Два электрона. Если обе частицы тождественны (два электрона), то в амплитуде рассеяния появляется второй член, изображающийся «обменнойи диаграммой Р2 Р1 ! Р1 Р2 Вычислять его вклад в оператор взаимодействия, однако, пет необходимости. Дело в том, что описание системы тождественных частиц уравнением Шредингера может осуществляться с помощью такого же оператора взаимодействия, как для нетождественных частиц, есснс условиться о должной симметризации 13 Л. Д. Лаицау и Н.М, Лифшиц, том 1 1' 387 УРАВНЕНИЕ БРЕЙТА 4к 4е Оии —, Ьри —,, Зри ° й» М»/В» й» В данном случае Й = рз + р, и поскольку частицы Епочти нере- лятивистские», то — -4т с»(р»+р ) =14. Поэтому для фотонного пропагатора достаточно написать (83.19) '~~ли .
Кри. ш»с» Здесь уке. содержится множитель 1/с~. Поэтому амплитуды и(р) достаточно брать в пулевом приближении: <о) ~ п(р ) = 42чп гв — ), 0 ) 0 и( — р~ ) = /2т, <о> где ш ., иФ фигурирующие в (23.12) 3-спиноры (ниже индексы 0И (О) у них опустим). С этими амплитудами и( — рь)у~и(р ) = и ( — рэ)и(р ) = О, и( — р,) уи(р ) = и"'( — рт )с»и(р ) = 2»п(ш*сги> ). После подстановки этих выражений Ваннигиляционная» часть амплитуды рассеяния принимает вид (83.20) Отсюда, однако, еще нельзя прямо сделать заключений о виде оператора взаимодействия. Во-первых, спиноры и~, через которые выражаются амплитуды и( — рт), еще не являются в буквальном смысле позитронными.
Позитронные амплитуды получаются из и( — рь) преобразованием зарядового сопряжения; согласно (26.6) соответствующие им спиноры (обозна п1м их через ш т) связаны с гВ соотношением ш т — — п„ш*, откуда и = п»пьь — — — и»батю ш = — пэю». (83.21) позитрон» не должна быть антисимметричной, оба члена дают независимые вклады в оператор взаимодействия. Первый член (структура которого совпадает со структурой амплитуды (83.1)) приводит, естественно, к оператору, отличающемуся от (83.17) лишь общим знаком.
Займемся преобраюванием второго члена. Воспользуемся здесь фотонным пропагатором в обычной калибровке: 388 ВЗЛИМОДВЙОТВИЕ ЭЛЕКТРОНОВ ГЛ 1Х Во-первых, амплитуда рассеяния должна быть приведена к виду, в котором сворачиваются друт с другом электронные (ю и и1 ) и позитронные (ю и и1Р) спиноры. Эта цель достигается с помощью формулы (ю'1гш )1,ш 1гю ) = — 1ш ю Нш*ю ) — — 1ш егн1 Иш'1гш ), 2 2 (83.22) которая сама следует из (28.16). Наконец, выразив ю и ю' через юь и ю', согласно (83.21), найдем, как легко проверить, (ш*и1') = (ш'. юе ), (н1 о"ш') = — (юш ои1 Р).
(83.23) Подставив (83.23) в (83.22) и затем в (83.20), получим окончательное выражение для аннигиляционной 1асти амплитуды рассеяния М~~,,""~ = — 4т (ш' ш'+ ~ (3+егэлт )~ ю юь) (матрицы «т и егт действуют соответственно на ю и ют). Выражение в квадратных скобках представляет собой оператор взаимодействия в импульсном представлении. Соответствующий координатный оператор 01""")(г) = (3+ 1г~ег )а(г), г = г — г (83.24) 2,В1е' (Рп ение, 1947; Б. Б. Берестецкий и Л. Д. Ландау, 1949). Полный оператор взаимодействия электрона и позитрона есть 17 + 17(ннн) с 0 из (83.17).
8 84. Позитроний Полученные в предыдущем параграфе формулы можно применить к позитронию водородоподобной системе из электрона и позитрона. В системе центра инерции операторы импульсов электрона и оозитрона в позитронии; р = — рт = р, где р = — 1Л7 оператор импульса относительного движения, соответствующий относительному радиус-вектору г = г — гт. Полный гамильто- 389 1 84 нозитгоний ниап позитрония ') г О = — — — + Р) + У2 + гз, «а ,, + 44г4«юб(г) ,, 4 Р + ., 1 2 ОРО 1Б> гз 18 = бпе — « — — Б» + Ьгпо ( — Б — 2) д(г).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
