IV.-Квантовая-электродинамика (1109681), страница 72
Текст из файла (страница 72)
Будем говорить о значениях с1 в первой и во второй областях соответственно как о малых и болыпих передачах импульса. Малые передачи импульса. В этой области атомные электроны можно считать нерелятивистскими как в начальном, так и в конечном состояниях атома. Амплитуда процесса дается вы- ражением 1141,~ = е 7ло( — д)7р„(д)11„,(д), (82.2) (в лабораторной системе 1 = 2те+). Эта формула пеприл1енима в непосредственной близости к порогу: когда е+ — е — ре, образующиеся мюоны 4 нельзя считать свободными частицами (с учетом же кулонового взаимодействия между ними сечение будот стремиться при ет — > е„не к нулю, а к константе (см. 111, 1 147)). Сечение (1) максимально при ет = 1, 7е,.
Его значение в максимуме примерно в 20 раз меньше сечения двухфотопной аннигиляции при той же энергии. 375 ИОН ИЗАЦИО ННЫЕ ПО ГИРИ БЫСТРЫХ ЧАС!ТИЦ (82.4) Тогда и для 4-токов перехода в (82.2) нужны только их пространственные компоненты. Атомный ток перехода Л»в(с1) в данном ш!учае есть компонента Фурье обычного нерелятивистского выражения: Лпо(с1) = — е Счч(ФПТ»сф — «)!„»сФП)с1 х, (82.5) где сРП, с)! атомные волновые функции (причем для упрощения записи мы опускаем здесь и ниже знак суммирования по электронам атома, т.
е. пишем формулу так, как если бы в атоме был всего один электрон). Проинтегрировав в первом члене по частям, Б«огкно переписать это выражение в виде матричного элемента: Лпо(с1) = -(че "'" + е 'ч"ч)по 2 (82.6) ! где м = — — м — оператор скорости электрона. СП Что касается тока перехода рассеиваемой частицы, то ввиду относительной малости теряемого ею импульса (~с1~ << ~р~) можно заменить его просто диагональным элементом Лрр(0) = 2рв, (82.7) отвечающим классическому прямолинейному движению (ср.
ниже (99.5)); здесь введен также множитель Б, учитывающий возможное отличие заряда частицы (ге) от заряда электрона. где Л„о . 4-ток перехода атома из начального состояния (О) в конечное (и), ЛР„- 4-ток перехода быстрой частицы; эти токи заменяют здесь собой выражения (и'~и), которые стояли бы, например, в амплитуде рассеяния двух «элементарных» частиц электрона и мюона (73.17) (ср. также (139.3)). Токи перехода берутся в импульсном представлении (см. (43.11)). Сечение процесса в лабораторной системе отсчета: 13 с1сРН = 2л-б(Б — Б' — сц„о) М~у," ~" , (82.3) 2~Р~2«'(2Х)З ' где ы„в = Š— Еп -- частота перехода между состояниями атома.
Конечное состояния может относиться как к дискретному, так и к непрерывному с!тектру, первый случай отвечает возбуждению! а второй —. ионизации атома. В законе сохранения энергии (учитываемом Л-функцией в (82.3)) пренебрежено энергией отдачи атома, чСо заведомо допустимо при малых передачах импульса.
Фотонный пропагатор удобно выбрать в данном случае в калибровке (76.14) ! в которой отличны от нуля лишь его пространственные компоненты: 376 Взаимодействие эле1ЕТРОНОВ ГЛ 1Х Малость с1 означает также и малость угла отклонения частицы д. При этом продольная и поперечная (по отношению к р) компоненты с1 равны — д1 — — ра1 о = м— "е. д, — (р)д, (82.8) не и так что с1Р— — а 1пю. Подстановка И82 4Н82.8)) в (82.2) дает с Учетом того, что СΠ— 1'1п01 + (рЪ'Е-1Чг + Е 1Чгрт1) О). В первом члене замечаем, что с1тг 7" + ~с1зг = 21 ~, где ~ = е 'ч' (сы. Ш, 8 149); поэтому матричный элемент этого ОПЕратОра СОВПадаЕт С МатрИЧНЫМ ЭЛЕМЕНТОМ 210')пе = 2СОпо)пе.
Во втором же члене достаточно заменить, ввиду малости с11 е 'ч' единицей. Тогда ЛХ1,. = — 1Е(Е )пе — ЛРГпаа1пе). (п) 8ксе — 1чг Квадрат людуля этого выражения; Му, = ., (е~ ~(е 'и')по~ +2(с1гпо)(Рг о)еюпо+ (Чз)' + (ргг а)~о1~о) (82.9) (во втором члене здесь положено е 'чг = 1 — лс1г; в первом члене этого нельзя сделать по причине, которая выяснится ниже, . см. примеч, на с. 378).
Потери энергии быстрой частицей в результате ее неупругих столкновений с атомами ') определяются величиной г -=Я-"'- = — ~Г-"-"' ' п где суммирован1ле производится по всем возможным конечным состояниям атома, а интегрирование по направлениям рассеянной частицы; будем называть эту величину эффективным торможением (отноплеллие зс/а называют сечением потери энергии). ) Эти потери часто называют ионизационными, хотя они связаны не только с ионизацией, но и с возбуждением атомов. 377 ИОНИЗАЦИОИНЫЕ ПОТЕРИ БЫСТРЫХ ЧАСТИЦ Интегрирование в (82.10) можно произвести в два этапа: как усреднение по азимуту направления р' относительно р и затем интегрирование по до' — 2лддд, где д — малый угол отклонения. Первая операция заменяет Чгпо на гъ Чгпо з г) тпо = — тпо, Ю где и„о матричный элемент одной из декартовых координат атомных электронов ') .
Интегрирование же по д можно заменить интегрированием по д, заметив,что г Мг д~ = огайо+ Ч2 = — ызо+ —,г + р д = е, +рзд2 (8211) о Р' и потому 2ддд = г1~д2~/р2 (М - масса быстрой частицы). В ре- зультате получим Нижний предел интегрирования по г)~: 2 ~~ 2 ~9 ~пйп = —,ыпо Рг (82.13) В качестве жс верхнего предела выберем некоторое значение ~92 ~1 такое, что 1 « — ' « тз ~л Ь (82.14) — « ъу1Ио « М (82.15) (величина тсг порядка величины импу.льсов атомных электронов). В области а) можно разложить е 'ч" = 1 — гЧг, и вклад этой г ) Безразлично какой: после подразумевагощегося ниже суммирования по направлениям момента атома в конечном состоянии матричный элемент т,е уже не зависит от направления оси х, т. е. лежащее в области перекрытия областей 1 и П (см.
(82.1)). Интегрирование и суммирование в (82.12) осуществляется подобно тому, как это было сделано в т. П1, 3 149 для нерелятивистского случая. Весь интервал интегрирования разделим еще на две части: а) от )с)~)п,й, до )с)~(о и б) от )9~)о до )92)ы где значение )92)о такое, что 378 Взлимодвйствив элвктгонов гл 1х области в згпринимает вид М'~о 2 ) 2) 2 Л ( 2(2 ~Ч21 (Интегрирование во втором члене можно распространить до бесконечности.) Суммирование осуществляется с помощью формулы (82.16) где Е число электронов в атоме (см. П1, (149.10)). Результат представим в виде ( 2)2яг !2) 2 (82.17) пгв2 1 Л2212 В области же б) имеем, согласно (82.11), ~92~ р~д~, т.
е. ~де~ не зависит от номера п конечного состояния атома; не зависят от и также и пределы интегрирования. Поэтому суммирование по и в (82.12) можно произвести под знаком интеграла. В первом члене опо осуществляется формулой ~ ~(Е 2Ч")ве~ Ьпе = — !9'~ (82.19) (сы. П1, (149.5)), и интеграл от него равен ') 2яУ(зе2)2 1 )д~)1 Ио Интеграл же от второго члена в (82.12) по этой области дает пренсбре>кимый вклад в 22. ') Логарифмическая расходимость интеграла па верхнем пределе есть как раз та причина, по которой в первом члене в (82412) нельзя было разлагать е '"" по степеням ц. где 1 - некоторая средняя атомная энергия, определяемая фор- мулой 379 ИОНИЗАЦИОННЫЕ ПОГКРИ БЫСТРЫХ ЧАСТИЦ Складывая погледшою формулу с (82.17), находим вклад в Аг от всей области малых передач импульса; 222У(2Б2) ~ )22(2р 2~ т~~ ~ 2Р2 ~22 (82.20) Большие передачи импульса. Обратимся к столкновениям с передачей импульса, большой по сравнению с импульсом атомных электронов (С12 » ш7).
В этой области можно, очевидно, пренебречь связью электронов в атоме, т. е. считать их свободными. Соответственно этому столкновение быстрой частицы с атомом будет представлять собой ее упругое рассеяние на каждом из Я атомных электронов. При этом ввиду большой скорости частицы атомные электроны можно считать первоначально покоящимися. Обозначим через тЬ энергию, передаваемую быстрой частицей атомному электрону, и пусть Йоа сечение упругого рассеяния с такой передачей. Дифференциалыюе эффективное торможение на всем атоме будет тогда сЬс = 2 п22' г1НП.
(82.21) 22нр2 22пр ги 2А 2п Ах т2 -Р Л2 2 + 22НБ 2и 2 Ч- 2тг где е и р - энергия и импульс налетающей частицы (см. П, (13,13)). Будем предполагать далее, что энергия е хотя и может быть ультрарелятивистской (е» М), но в то же время ЛХ е « —. (82.22) Тогда даже максимальная передаваемая энергия 22ир 2 2 тЬ„„Ах = = 2тпц .7 2 ,1т2 7 = — = (82.23) остается еще малой по сравнению с первоначальной кинетической энергией падающей частицы (2ПЬ„„х « е — М). Соответственно и передача импульса с1 остается всегда малой по сравнению с первоначш2ьным импульсом частицы р. Это обстоятельство 2тозволяет считать движение последней неменяющимся при столкновении, т.
е. рассматривать падающую частицу как бесконечно тяжелую. Тогда сечение рассеяния получится просто преобразованием сечения рассеяния электрона на неподвижном центре (80.7) к лабораторной системе отсчета, в которой электрон Максимальная энергия, которая может быть передана покоящемуся электрону сталкивающейся с ним частицей массы М» ш, равна 380 ВЗАИМОДВЙОТВИЕ ЭЛЕКТРОНОВ ГЛ. 1Х первоначально покоился.
Это легко сделать, заметив, что в ука- занном приближении <72 - с12 4рэв)пг д с1ог = Я44 2 рг а относительная скорость е в обеих системах одна и та же. Формула (80.7) принимает вид г)г ~ г~ ег г, 4тг уг l )игр Передача энергии га выражается через тот же инвариант 17 сог гласно — 17~ = 2т~гл. Поэтому имеем ') 2я(вег)г г' 2 д х сгд (82.24) го 1 о г Вклад в эффективное торможение от рассматриваемой области передачи импульса получится интегрированием (82.21) в пределах от введенной выше границы ~17~~1 до ~17~~пг = 2тэьтш, . Он равен (82.26) ) В этой формуле не учитываются, конечно, специфические эффекты сильных взаимодействий, осли тяжелая частица является адроном.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
