IV.-Квантовая-электродинамика (1109681), страница 67
Текст из файла (страница 67)
11ри этом ФФФ (свертываясь с операторами аФ или 5, ) дает линию конечного электрона пли начального позитрона, а 77| (свертываясь с а,'. или 67) начального электрона или конечного позитрона. Свободный оператор А (свертываясь с с+ или ЕФ) может соответствовать как начальному, так и конечному фотонам. Таким образом, получается по нескольку топологически одинаковых (т. е. состоящих из одинакового числа одинаково расположенных линий) диаграмм, отличающихся лишь перестановками начальных и конечных частиц по входящим и выходящим свободным концам.
Каждая такая перестановка эквивалентна, очевидно, определенной перестановке внешних операторов а, Ь, ... в (77.1). Ясно поэтому, что если среди начальных или среди конечных частиц имеются тождественные фермионы| то относительные знаки диаграмм, различающихся нечетным числом перестановок свободных концов, должны быть противоположны. Непрерывающаяся последовательность сплошных линий на диаграммах составляет электронную линию, вдоль которой стрелки сохраняют непрерывное направление. Такая линия может либо иметь два свободных конца, либо образовывать замкнутую петлю. Так, диаграмма 350 ИНВАРИАНТНАЯ ТЕОРИЯ ВОЗМУЩЕНИЙ ГЛ. У5!! во при движении против стрелок.
Биспинорпыс индексы разных электронных линий никогда не перепутываются. Вдоль незамкнутой линии пош5едовательность индексов заканчивается у свободных концов на электронных (или позитрояных) волновых функциях. На замкнутой же петле последовательность индексов тоже замыкается, т.
е. петле соответствует след произведения расположенных вдоль нее матриц. Легко видеть, что этот след должен быть взят со знаком минус. Действительно, петле с А верп5инами отвечает совокупность г; сверток (5)5А ф) (ф А ф)... (515 Аф) 'ч ' '+~ (или другая эквивалентная, отличающаяся перестановкой вершин). В (й — 1)-й свертке операторы у5 и у5 уже стоят рядом в том порядке ф справа от 515), в котором они должны стоять в электронном пропагаторс. Операторы же, стоящие по краям, приводятся в соседство с помощью четного числа перестановок с другими ф-операто15ами и после этого оказываются расположенными в порядке у55у.
Поскольку (О!Тф фО) = — (О!Т555»5 !О) (ср. примеч. на с. 334), то замена этой свертки соответствующим пропагатором связана с изменением общего знака всего выражения. Переход к импульсному представлению в общем случае производится вполне аналогично тому, как это было сделано в 3 73, 74. Наряду с общим законом сохранения 4-импульса должны соблюдаться также «законы сохранения» в каждой вершине.
Однако всех этих законов может оказаться недостаточно для однозначного определения импульсов всех внутренних линий диаграммы. В таких случаях по всем оставшимся неопределенными внутренним импульсам остаются интегрирования (по 5»Ар/(255) ), производящиеся по всему р-пространству (в том числе и по ре от — со до +со). В изложенных рассуждениях подразумевалось, что роль возмущения играет взаимодействие между самими частицами, «активно» участвующими в реакции (т. е. Между частицами, состояние которых в результате процесса меняется). Аналогичным образом рассматривается также случай, когда в задаче фигурирует внешнее электромагнитное поле, т. е.
поле, создаваемое «пассивными55 частицами, состояние которых прн данном процессе не меняется. Пусть А5»5(я) - 4-потенциал внешнего поля. Он входит в лагранжиан взаимодействия вместе с фотонным оператором А в 351 1 77 ОНЩИЕ ПРАВИЛА ДИАГРАММНОЙ ТЕХНИКИ виде суммы А + А('1 (которая и перемножается с оператором тока Я. Поскольку А(е1 не содержит никаких операторов, он не может образовывать сверток с друтими операторами. Иначе говоря, внепшему полю будут соответствовать в диаграммах Фейнмана лишь внешние линии.
Представим А(') в виде интеграла Фурье: А(')(х) = А(')(|7)е мк (77.6) А|Р| (и) — АОО (я) е|||т|1А т В выражениях для матричных элементов в импульсном представлении 4-вектор |7 будет фигурировать наряду с 4-импульсами других внешних .линий, отвечающих реальным частицам. Каждой такой линии внешнего поля сопоставляется множитель А|л)(|7), причем линию надо рассматривать как «входящую -- в соответствии со знаком показателя в множителе е |'|", с которым А(А)(|7) входит в интеграл Фурье (евыходящей» же линии надо было бы сопоставить множитель А(')*(ц)). Если при этом окажется, что закон сохранения 4-импульса пе фиксирует (при заданных 4-нмпульсах всех реальных частиц) однозначным образом 4-импульсы всех линий внешнего поля, то по остающимся «свободныыи» д производится интегрирование (по а|Ад/(2я)л), как и по всем другим не фиксированным 4-импульсам линий диаграммы.
Если внешнее поле не зависит от времени, то А(»1(11) 2яб(,70) АОО (с1) (77.7) где А|'|(с1) трехмерная компонента Фурье; АОО(с1) = А('1(г)е 'ч'|1зас (77.8) В этом случае внешней линии сопоставляется множитель А(') (с1) и ей приписывается 4-импульс |7" = (О, с1); энергии электронных линий, пересекающихся (вместе с линией поля) в вершине, при этом одинаковы в силу закона сохранения. По всем остающимся нефиксировапными трехмерным импульсам р внутренних линий должно производиться интегрирование по |1эр/(2я)з.
Вычисленная таким образом амплитуда ЛХ7, определяет, например, сечение рассеяния (64.25). Дадим сводку окончательных правил дииграмл|ной техники, по которым составляется выражение для амплитуды рассеяния (точнее выражение для гМ1;) в импульсном представлении. 352 ИНВАРИАНТНАЯ ТЕОРИЯ ВОЗМУЩЕНИЙ ГЛ. У5!! 1. Приближению и-го порядка теории возмущений отвечают диаграммы с п вершинами, в каждой из которых сходятся одна входящая и одна выходящая электронные (сплошные) и одна фотонная (штриховая) линии.
В амплитуду процесса рассеяния входят все диаграммы, имеющие свободные концы (внешние линии) в числе, равном числу начальных, и конечных частиц. 2. Каждой внешней входящей сплошной линии сопоставляется амплитуда начального электрона и(р) или конечного позитропа и( — р) (р --. 4-импульс частицы). Каждой выходящей сплошной линии сопоставляется амплитуда конечного электрона й(р) или начального позитрона, й( — р).
3. Каждой вершине сопоставляется 4-вектор — 1еу". 4. Каждой вне5пней входящей штриховой линии сопоставляется амплитуда начального фотона у54яе„, а выходящей линии. амплитуда ъ'4яе„" конечного фотона (е 4-вектор поляризации). Векторный индекс р совпадает с индексом матрицы у" в соответствующей вершине (так что возникает скалярное произведение уе или уе*). 5. Каждой внутренней сплошной линии сопоставляется множитель гС(р), а внутренней штриховой линия —.множитель — 1Р„(р). Тензорные индексы ди совпадают с индексами матриц у", у в вершинах, соединяемых штриховой линией.
6. Вдоль каждой непрерывной последовательности электронных линии стрелки имеют неизменное направление, а расположение биспинорных индексов вдоль них соответствует записи матриц слева направо при движении против стрелок. Замкнутой электронной петле отвечает след произведения расположенных вдоль нее матриц. 7. В каждой вершине 4-импульсы пересекающихся в ней линий удовлетворяют закону сохранения, т. е. сумма импульсов входящих линий равна сумме импульсов выходящих линий. Импульсы свободных концов --.:заданные (с соблюдением общего закона сохранения) величины, причем позитронной линии приписывается иьшульс — р. По импульсам внутренних линий, остающимся нефиксированпыми после у.чета законов сохранения во всех вершинах, производится интегрирование (по 54Ар55(2.т)4).
8. Входяп1ему свободному концу, отвечающему внеп5нему полю, сопоставляется множитель А5'~ (57); 4-вектор д связан с 4-импульсами других линий законом сохранения в вершине. Если поле не зависит от времени, свободному концу сопоставляется множитель А5В5(ч), а по остающимся нефиксированными трехмерным импульсам внутренних линий производится интегрпрова5555е по 51зр,5(2я)з 353 1 78 ПЕРЕКРЕСТНАЯ ИНВАРИАНТНОСТЬ 9. Дополпителызый множитель — 1 привносится в выражение для гМЛ каждой замкнутой электронной петлей в диаграмме и каждой парой позитронных внешних концов, если эти концы " начало и конец одной последовательности сплошных линий. Если среди начальных или среди конечных частиц имеется несколько электронов или позитронов, то относите. льный знак диаграмм, различающихся нечетным числом перестановок пар тождественных частиц (т.
е, соответствующих им внешних концов), должен быть противоположным. Для уточнения последнего правила добавим, что одинаковыми знаками должны во всяком случае обладать диаграммы с одинаковыми сплошными линиями, т, с, диаграммы, которые оказались бы тождественными после снятия с них всех фотонных линий.
Напомним также, что при наличии тождественных фермнонов общий знак амплитуды усшовен, 3 78. Перекрестная инвариантность Представление амплитуд рассеяния МЛ интегралами Фейнмана обнаруживает их замечательную симметрикй состоящую в следующем. Любую из входящих внешних линий диаграммы Фейнмана можно рассматривать (без изменения ее направления) как частицу в начальном или античастицу в конечном состоянии, а каждую выходящую линию --как конечную частицу или начальную античастицу. Одновременно с переходом от частицы к античастице меняется также и смысл приписываемого липин 4-импульса р: р = р, для частицы (скажем., электрона) и р = — р„для пози- трона. Меняется также и приписываемая частице поляризация. Поскольку входящей внешней линии должна сопоставляться волновая амплитуда и, а выходящей и* для электрона и = и„а для позитрона и = и,*,.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
