IV.-Квантовая-электродинамика (1109681), страница 62
Текст из файла (страница 62)
Если же (х2— — хс)2 ( 0 (пространс5твенноподобный интервал), то в разных системах отсчета может быть как 42 ) сы так и 22 < 15 ') . Но такие две точки отвечают событиям, между которыми не может существовать причинной связи. Очевидно поэтому, что не люгут быть некоммутативными операторы двух физических величин, относящихся к таким точкам; некоммутативность операторов физически означает совместную неизмеримость данных величин, что предполагает наличие физической связи между обоими измерениями.
Следовательно, хронологичность произведения останется инвариантной и в этом случае; хотя преобразование Лоренца может нарушить последовательность моментов времени, но ввиду коммутативпости множителей их можно переставить обратно в хронологический порядок '). Легко видеть, что данное в этом параграфе определение о'-матрицы автоматически удовлетворяет условию унитарности. Представив О' в виде хронологического произведения, фигурирующего в (72.6), и учитывая эрмитовость )У, найдем, что У~ вы- РажаетсЯ пРоизвеДением таких же множителей ехР(вуббо 'У'(го)) ) Вместо времениподобцых н пространственноподобных интервалов часто говорят для краткости об областях соответственно внутри и вне светового г конуса: все точки т, отделенные от точки т интервалом с (т — я ) > О, находятся внутри двуполостного конуса с вершиной в точке х, а точки, отделенные интервалом с Ст — х~) < О, — вне этого конуса.
) В применении к произведению сг(с5)У ссэ)... это утверждение надо уточнить во избожацие недоразумений. Поскольку сал5 оператор 1З не обладает калибровочной инвариантностью Сон меняется вместе с 55), множители 1г(С5), 1г(СЗ), ..., коммутативные при одной калибровке потенциала, могут окаэаться покоммутативными при другой шлибровко. Сделанные выше утверждения надо поэтому сформулировать как возможность такого выбора калибровки потенциала, при котором рС55) и г'СГэ) вне светового конуса будут коммутативны.
Эта оговорка, очевидно, никак не сказывается на инвариантности Ь'-55атрицы: амплитуды рассеяния как реальные физические величины вообще не могут зависеть от калибровки потенциала сфору5ально эта независимость следует из отмеченной в з 43 калибровочной инвариан гности интеграла действия). л тз ДИАГРАЕЛММ ФЕЙНМАНА ДЛЯ РАОСКЯНИ51 ЭЛЕКТРОНОВ 323 (с обратным знаком в показателе) в хронологически обратном порядке. Поэтому при перемножении О' и УР все множители попарно сокращаются. Обратим внимание на то, что унитарность оператора У обеспечивается в данном сну.чае эрмитовостью гамильтониана. Но требование унитарности имеет в действительности более общий характер, чем предпосылки, лежащие в основе излагаемой теории.
Оно должно было бы выполняться и прн квантовомеханнческом описании, не использующем понятий о гамильтоннане и волновых функциях. 3 73. Диаграммы Фейнмана для рассеяния электронов Покажем на конкретных примерах, каким образом осуществляется вычисление элементов матрицы рассеяния. Эти примеры облегчат дальнейшую формулировку общих правил инвариантной теории возмущений. Оператор тока л содержит произведение двух электронных ф-операторов. Поэтоелу в первом порядке теории возелущений могли бы возникнуть процессы, в которых участвуют всего (в начальном и конечном состояниях) три частицы — два электрона (оператор л) н один фотон (оператор А).
Легко, однако, видеть, что такие процессы между свободными частицами невозможны . -они запрещены законом сохранения энергии и импульса. Если рл и рэ 4-импульсы электронов, а й фотона, то сохранение 4-импульса изображалось бы равенством й = ря — рл или й = рз + рл. Но такие равенства невозможны, так как для фотона й = О, а квадрат (рз ~ рл) заведомо отличен от нуя 2 ля. Действительно, вычисляя значение инварианта (рз ~ рл) в системе покоя одного нз электронов, получаем (рз:трл) = 2(т ~рлрз) = 2(т ~слез ~ рлрз) = 2т(трез). Поскольку ЕР > т, го (рз + рл) > б, (ря — рл) < б.
(73.1) Таким образом, первые неисчезающие (недиагональные) элементы О'-матрицы могут появиться лишь во втором порядке теории возмущений. Все относящиеся сюда процессы содержатся в операторе второго порядка, получающемся при разложении выражения (72.12)1 1 1/' фз) В О ~4,,14 1 Т( 51( ) 1 ( )У( 1)А ( 1)) Поскольку электронные и фотонные операторы коммутативны друг с другом, фигурирующее здесь Т-произведение можно 326 ИНВАРИАНТНАЯ ТЕОРИЯ ВОЗМУЩЕНИЙ ГЛ.
У5!! разбить на два Т-произведения: фз) е ~4 ~4 5 Т( р5 ) ~( 5))Т5А ( ) 1 ( 5)) (73 2) В качестве первого примера рассмотрим упругое рассеяние двух электронов: в начальном состоянии имеем два электрона с 4-импульсами р5 и рз, а в конечном два электрона с другими 4-импульсами рэ и р«. Подразумевается также, что все электроны находятся в определенных спиновых состояниях; индексы спиновых переменных для краткости везде опускаем.
Поскольку в обоих состояниях фотоны вообще отсутствуют, нужный пам матричный элемент Т-произведения фотонных операторов есть диагональный элемент (О/... )0), где символ ) 0) обозначает состояние фотонного вакуума. Это среднее по вакууму значение Т-произведения представляет собой определенную (для каждой пары индексов рр) функпи5о координат двух точек л и т'. При этом в силу однородности 4-пространства координаты могут входить лишь в виде разности л — х'. Тензор Рр,(л — т') = г(0~)ТА55(х)АДх')~)0) (73.3) называют фотонной функцией распространения (или фотонным пропагатором). Явное выражение для нее будет получено в 3 76. Для Т-произведения электронных операторов пам надо вычислить матричный элемент (34)Ту" (л)у~(т'))12)5 (73.4) где символы )12), )34) обозначают состояния с парами электронов с соответствующими импульсами. Этот элемент тоже может быть представлен в виде среднего по вакууму с помощью очевидного равенства (2)г')1) = (0)аг.г'а5 )0), где г" произвольный оператор, а а и а5 операторы соответственно рождения первого и уничтожения второго электрона.
Поэтому вместо (73.4) можно вычислять величину (0~)аза«Т)ОР(х)) (л ))аз~а~~~О) (73.6) (индексы 1, 2, ... для краткости заменяют ры рз, ... ). Каждый из двух операторов тока есть произведение у = уР7у5, а каждый из ф-операторов представляется суммой ф = ~~ (арфр+ Бр5)5 р), ф = ~) (ор5)5р+ брУ5 ) (73.6) р р (вторьле члены содержат позитронные операторы, которые в данном случае «не работаюта).
Поэтому произведение у" (ее))' (х') з тз ДНАГРАммы ФеЙнмАБА для РАс'сеяни51 электРОнОВ 327 представляется в виде суммы членов, каждый из которых содержит произведение двух операторов ар и двух а+. Эти операторы должны обеспечить уничтожение электронов 1, 2 и рождение электронов 3, 4.
Другими словами, это должны быть операторы ам аз, аз, а4, которые, как говорят, сверпгываюпюл с «внешними» операторами а4~, аз~, аз, а4 в 173.5) и сокращаются согласно равенствам (%ра+/0) = 1. (73.7) В зависимости от того, из которых 5)5-операторов берутся а1, аз, ааз, а4, в (73.5) возникают четыре члена Ч»»)»1Ф»))»1'«)и,,'5, НЯ1"«))«1'С)' ",, )15») где 5)15 = ф(х), 4))' = ф(х'), а дугами соединены свертываемые операторы, т.
е. те, из которых берется пара операторов а, а+ для сокращения согласно (73.7). В каждом из этих членов гюследовательными перестановками операторов ам аз,... приводим сопряженные операторы к попарному соседству (а)а) и т. и.), пошге чего среднее значение их произведения сводится к произведению средних значений (73.7).
Учитывая, что все эти операторы антикоммутативны (1, 2, 3, 4 различные состояния!) '), найдем, что матричный элемент (73.4) равен Р4)Туч'(')у (х ) )12) = )дд47" Ы (4 з ~ Ю + (ФзЗ "Ф5) Й4 ~ Фз)— — ))))з'удг)52))(ф47'ф',) — (4)547" 4)54~)15))з'у'4)52). (73.9) Отметим, что общий знак этой суммы условен и зависит от порядка, в котором мы расположили «внешние» электронные операторы в (73.5).
Это обстоятельство соответствует тому, что общий знак матричного элемента для рассеяния тождественных фермионов вообще произволен. Относительный же знак различных членов в (73.9) от принимаемого порядка расположения внешних операторов, конечно, не зависит. Два члена в первой и второй строках (73.9) отличаются,друг от друга лишь одновременной перестановкой индексов р,, и и аргументов ай т1. Такая перестановка не изменит,. очевидно, и ма- 1 ) Ввиду этой антикоммутативности операторы у1х) и 41х ) можно в данном случае считать (при вычислении матричного элемента) коммутативными и опустить знак Т-произведения. 328 ИНВАРИАНТНАЯ ТЕОРИЯ ВОЗМУЩЕНИЙ ГЛ. УН! Бу! = (ег !1 х !1 х' Р„(х — х')((4(14 («4!12)(4«з ~'4«1) (4«4'! Г«!)(з(!3'у з«2)) (73.10) (обратим внимание на исчезновение множителя 11!2!). Электронные волновые функции плоские волны (64.8), поэтому выражение в фигурных скобках ) — (и З!«и )(и (з'и )С з(Рз «4«Г з(Р Рзм — (и47«и1)(и17 и2)е (Р' «4! = ((й4"(«и )(йзйии )е ~((«з «4В(«з «'))~12— (и47 и1)(и37 иг)е — !! з! — и ! — з((Р! — Р!РГ(«з — Рз)(Е/2! — з(Р!4«з — Рз — Рзззл где Х=(х+х')Г!2, С=х — х'.
Интегрирование по Г(4хг(4х' заменяЕтСя ИНтЕГрИрОВаНИЕМ ПО дзС МАХ. ИнтЕГрап ПО дзХ даЕт б-фуНК- цию (в силу которой р1+рг = рз+р4). Перейдя затем от матрицы о к матрице М (см. 3 64), получим окончательно для амплитуды рассеяния М7! = Вг ((йзз" иг) Р!зи (р4 — рг) (йз'у'и1)— — (и47~и ДР«~ (р4 — р1) (й37~ иг) ). (73.11) Здесь введена фотонная функция распространения в импульсном предстаВлении Р«и((4) = РР,ЯЕ1~Ы~Г. (73.12) Каждый из двух членов амплитуды (73.11) может быть символически представлен в виде так называемых диаврилзэз Фейн иана. Первый член представляется диаграммой Рз Р! Р4 Рз (73.13) Каждой из точек пересечения линий (веригине диаграммы) сопоставляется множитель (. 4Входязциез сплошные линии, направ- тричный элемент (73.3) (в котором порядок множителей все равно устанавливается символом Т).
Поэтому после перемножения (73.3) и (73.9) и интегрирования по а(4хз(4х' четыре члена в (73.9) дают попарно одинаковый результат, так что матричный элемент ДИАГРАММЫ ФЕЙНМАНА ДЛЯ РЛОСВЯНИ51 ЭЛЕКТРОНОВ 329 ю е (114 ~ н1)Ром(151 )(5137 нз) гз Р2 (73.14) (надо иметь в виду, что к' = р5 — рл = рз — рв). Безразлично1 начинать ли прочтение диаграммы от конца рз или рл, получающиеся при этом выражения совпадают друг с другом в силу симметричности тензора Р„„. Безразличен также выбор направления линии виртуального фотона: изменение этого направления приведет лишь к изменению знака й, несущественному в силу четности функций Р„,(й) (см.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
