IV.-Квантовая-электродинамика (1109681), страница 60
Текст из файла (страница 60)
Будучи ортогональны времениподобпому 4-вектору Л (Л г = 2йй' > 0), они сами пространствешюподобны (действительно, в системе отсчета, в которой К = О, из КР = 0 следует, что Ро = О., а потому 17а ИНВАРИАНТНЫЬ АМПЛИТУДЫ Р < О). Пронормировав Р и Ж, т. е. образовав (Пл х' р)л (70.8) '-М' е,/-р ' мы получим пару 4-векторов, обладающих всеми требуемыми свойствами. Отметим, что ейй истинный, а ей~ — псевдовсктор.
Представим амплитуду рассеяния фотона в виде Муг = Р слеи (70.9) выделив в ней 4-векторы поляризации е и е' начального и конеч- ного фотонов. Спиральность фотона пробегает всего два значения (т1). По- этому для рассеяния фотона на частице со спинам 0 число неза- висимых спиральных амплитуд такое же, как для взаимного рас- сеяния частиц со спинам 0 и 7,78, т. е. равно 2. Тензор Рл" в (70.9) должен быть построен только из 4-импульсов частиц. Его можно представить в виде РЛД У 60Л 0)и + У 00Л (2)и (70.10) где 1ы )з инвариантные амплитуды. Обратим внимание на то, что в Рл" не может быть члена с произведением ерйле~з~", так как это произведение - —. псевдотепзор и при подстановке в (70.9) дало бы псевдоскаляр. Наконец, рассмотрим рассеяние фотона на частице со спи- нам 778.
Для подсчета числа независимых спиральных амплитуд замечаем, что полное число элементов матрицы Я в этом слу- чае есть 16 (спиральность каждой из двух на~альных и двух конечных частиц пробегает по два значения). Требование Р-ип- вариантности уменьшает это число до 8, после чего требование Т-инвариантности доводит его до 6.
Представим тензор Рли в этом случае в виде Е'"ли = Са(ел еи + ел еи ) + С7(ел ед +ел еи ) + Ю (и ,(4 Р) (О 08) 60 О) + С (е е00 — е е00) + С (Р Р00 — е ебй), (70.11) где Са, Сз — истинные, а Сл, Сз — -псевдоскаляры. Те и другие билинейны относительно биспинорных амплитуд фермионов й(р') и и(р), т. е.
имеют вид С„= й(р )Я„и(р). (70.12) Общий вид матриц (по биспинорным индексам) (~„: Ф) = Л + 12(7п); Ю1 = 'У ~УЗ + ~4(7К)) (70 18) Ю2 = 'У У5 + 18(7ю))~ Юз = 17+ 18(77т), где К = ЛЗ+гк. Коэффициенты 7ы..., 18 инвариантиые ампли- туды, число которых получилось здесь равным 8 (вместо нуж- ного 6) ввиду того, что еще не учтено требование Т-ипвариапт- ности.
316 МАТРИЦА РАССЕЯНИ5! гл. Мп Обращение времени переставляет начальные и конечные 4-импульсы части51, меняя также знаки их пространственных компонент: Яо,)с) е+ ()со — 1с), (ро,р) еэ (ро -р) (70.14) 4-векторы поляризации фотонов преобразуются согласно (ео5 е) е-~ (Р'„*5 — е'*) (70.15) (ср. (8.11а)), так что (еоо*ео е';*ео, е',*еь) — > (его*со — ео*е„е~,*е5). В силу последнего преобразования условие инвариантности амплитуды рассеяния (70.9) эквивалентно требованию (РОО5 й5О5 й5й) + (РОО5 Р055 Рйг). С другой стороны, как следствие замен (70.14), имеем (Ко, хк) + (Ко, хк)5 (Чо, с1) 5 ( Чо, с1), (Р51 Р) — 5 Ю5 — ~) (гУо5)ху) — 5 (гУо — Х)5 так что (ео~ ' ), е~ * )) 5 (ео ' ), -е( ' )) (70.16) Из выражения (70.11) следует поэтому, что должно быть Со,г,з — + Со,1 з Сз — 5 — Сг. Но прн обращении времеви й у и -+ — и у и, й у (уК)и — ~ й уо(-уК)и, как это ясно из законов преобразования псевдоскалярных и псевдовекторных билинейных форм в (28.6).
Поэтому из выражений (70.12), (70.13) видно, что в силу Т-инвариантности амплитуды рассеяния должно быть (70.17) Хз = Уо = О. й 71. Условие унитарности Матрица рассеяния должна быть унитарной: Ыт = 1, или в матричных элементах: (яхт)уг = ~ ~яу„я,*„= бу„ (71. Ц л где индекс и нумерует все возможные промежуточные состояния ') . Это наиболее общее свойство Я-матрицы, которым 5 ) Смысл символа бп в (71.1) зависит, конечно, от конкретного выбора квантовых чисел и от нормировки волновых функиий систелгы.
Он должен быть онределен звк, чтобы было г 6,5 = 1. З17 1 71 УС!!ОНИЕ УНИТАРНОСТИ обеспечивается сохранение нормировки и ортогональпости состояний при реакции (ср. П1, з 125, 144). В частности, диагональные элементы равенства (71.1) выражают просто тот факт, что сумма вероятностей перехода из данного начального в любое конечное состояние равна единице: и Подставив в (71.1) матричные элементы в виде (64.2), получим Ту, — Т;*. = г(2я) ~ бИ!(Р~ — Ри)ТуиТ,*„= и = т(2!Т) ~~! б!~!(Ру — Ри)Ти7Ти!. (71.2) Написанные здесь две эквивалентные формы правой стороны равенства получаются при записи условия унитарности соответственно в виде Опт = 1 или У~ О = 1! с разными порядками расположения множителей Я и Я~.
Обратим внимание на то, что левая сторона этого равенства линейна, а правая квадратична по матричным элементам Т. Поэтому если взаимодействие (как, например, электромагнитное) содержит малый параметр, то левая сторона будет первого, а правая второго порядка малости. В первое! приближении последней можно, следовательно, пренебречь, и тогда Ту! = Т,*1, (71.3) т. е. матрица Т эрмитова. Для придания условию унитарности (71.2) более конкретного вида надо уточнить, чтб именно подразумевается под суммированием по п.
Сделаем это для столкновения двух частиц, причем будем считать, что законы сохранения допускают только упругое рассеяние; тогда и все промежуточные спето»!Иия в (71.2) такие же «двухчастичпые». Суммирование по ним означает интегрировангге по промежуточным импульсам р!, р2 и суммирование по сг!иновым квантовым числам (например, сг!иральностям) обеих частиц, которые обозначим через Л"; / Ъ' 4 Р! 4 Р! ') ~ (2и)« л" Иск.лючив б-функции тем же способом., как это делалось в з 64, получим «двухчастичное» условие унитарности в виде Ту! — Т!у — — — ~ — Туи Т!ие! ез а!о !Р%~!Р~1*иии Ли 318 мАГРицА РАссеяни57 Гл. мп (71.8) ') Подчеркнем, что речь идет именно об элементах матрицы Т, а не Я, т.
е. диагональный элемент берется цосле исключения иэ Я единичной матрицы, где р - импульс, с -- полная энергия в системе центра инерции. Нормировочный обьем исчезает из этого соотношения после перехода от амплитуд Ту, к амплитудам Му„согласно (64.10): Му М,'~ ~ и / М7 М*ис1о' (71 4) (4ГР Определим амплитуду упругого рассеяния так, чтобы было 7Ь = !(и'Л'/~!пЛ)/~до' (71.5) (п, и'---направления начального и конечного импульсов; Л, Л--- начальные и конечные спиновые квантовые числа). Сравнение с (64.19) показывает, 7то (и Л ~ )Л~пЛ) = — МГЛи (71.6) и условие унитарности (71.4) принимает вид (и'Л'/ДпЛ) — (пЛ/Дп'Л')* = — — 1Я '5173'л')Я лОИэл"Уч и, (77.7) Ли обобщающий 7лзвестную формулу нерелятивистской теории (см. П1 (1258)).
Амплитудой упругого рассеяния на пулевой угол называют диагональный матричный элсмент Т,„в котором конечное состояние частиц совпадает с начальным ') . Для этой амплитуды условие унитарности (71.2) принимает вид 21пгТп = (277) ~у ~Т,„~й77Г'7(Рà — Ри). п Правая сторона этого равенства лишь множителем отличается от полного сечения всех возможных процессов рассеяния из данного начального состояния 4; обозначим это сечение посредством Лтп Действительно, суммируя вероятность (64.5) по состояниям )' и деля на плотность потока у, находим с — (' ) Е ~Т;„~25~4~(Р, — Р„), так что 2р — 1шТИ = ом Нормировочный объем исчезает отсюда после замены Тч = М77,5(2ег1г 2айЪ') (егл сг энергии частиц в системс центра инерции) и подстановки у из (64.17); 1шМн = 2)р(с7тп (71.9) 319 1 71 условик унитлености Эта формула составляет содержание так называемой опшпческой теорелэы.
Если ввести амплитуду упругого рассеяния (71.6), она примет свой обычный вид 1ш(пЛ)~)пЛ) = Ктс (71.10) 4я (ср. П1, (142.10)). Если Я-матрица дана в моментном представ.ленин (парциальные амплитуды), то ввиду ее диагональности по 7 условие унитарности пишется для каждого значения,7 в отдельности. Так, если возможно лишь упругое рассеяние, условие унитарности имеет вид ~(Л'~Ф~Лл)(Л~Ф~Лл)* = б .
(71.11) л" В силу Т-инвариантности матрица упругого рассеяния симметрична (ср. (69.10)) и поэтому может быть приведена к диагональному виду. После этого условие уяитарности требует равенства диагональных элементов по модулю единице; их принято в таком случае записывать в виде Я~~ = ехр(2гдт„), (71.12) где Бз„-"вещественные постоянные -- функции энергии (индекс и нумерует при заданном 7 диагональные элементы). В общем случае, когда число Х независимых амплитуд превьппает ранг (квадратной) матрицы Ф, коэффициенты преобразования, осуществляющего диагонаяизацию Я', зависят от,1 и Е (в этих коэффициентах, наряду с главными значениями матрицы, заключены также независимые величины, эквивалентные исходным Х величинам). Но если число Ж совпадает с рангом матрицы Я з (и тем самым с числом ее главных значений), то коэффициенты диагонавизации универсачьпы.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
