IV.-Квантовая-электродинамика (1109681), страница 56
Текст из файла (страница 56)
2 2 2 2 (66.5) Ч1 = Р1 = (е1 Р') Чз = Р2 = (ез: — Р.) (66.6) Чз = — рз = ( — ез, — р,',) Ч4 = — р4 = ( — е1, р',) ') В общем случае, когда в реакции участвуют п ) 4 частиц, число функцнонально независимых ннварнантных переменных равно Зп, — 10.
Действнтельно, имеется всего 4п величин — компоненг п 4-импульсов Ч . Между ними имеется и функциональных связей Ч, = т, н еще четыре, даваемых е 2 законом сохранения 2 Ч = О. Произвольные 'значения могут быть приданы шести величинам по числу параметров, определяющих общое преобразование Лоренца (общнй четырехмерный поворот). Поэтому число независимых ннварнантных переменных: 4п — п, — 4 — б = Зп — 10. В основном (1) канале злнва1илант з имеет простойз физический смысл.
Это есть квадрат полной энергии сталкивающихся частиц (1 и 2) в системе их центра инерции (при р1+ рз = О: в = (е1+ + ез) ). В канале Н аналогичную роль играет инвариант 1, а в канале Н1- -инвариант и. В связи с этим каналы 1, Н, 111 часто называют з-, 1- и и-каналами. Не представляет труда выразить инварианты з, 1, и через энергии и импульсы сталкивающихся частиц в каждом из каналов. Рассмотрим в-канац.
В системе центра инерции частиц 1 и 2 временные и пространственные компоненты 4-векторов Ч задаются следующим образом: 296 ЫАТРИЦА РАССЕЯНИ55 Гл. Цп (66.9) 9 67. Физические области Рассматривая амплитуды рассеяния как функции независимых переменных в, Ь, и (связанных лишь соотношением в+6+и = = Ь), мы сталкиваемся с необходимостью различать физически допустимые и недопустимые области их значений.
Значения, которые могут отвечать физическому процессу рассеяния, должны удовлетворять определенным ушювиям, являющимся с55едствиями закона сохранения 4-импульса и того факта, что квадрат КажДОГО ИЗ 4-ВЕКТОРОВ Сьа ЕСТЬ ЗаДаниаЯ ВЕЛИЧИНа д = т,„. Произведение двух 4-импульсов Рарь 5а ГнаГП6. (67.1) 1155ЭТОЬГУ (57а + Чь) (Ра + Рь) 3~ ЕШСН Ча = Ра~ ЧЬ = Р6 (ГСЛИ Ча = Ра~ или же (9а, + Чь) = (Ра — Рь) в 2 (та+ ть) 576 = — Рь) (та — ть),. если д, =Р„ЧЬ = — Рь.
(инДекс в У Ра, Р, напоминает о том, что эти импУльсы относЯтсЯ к реакции в в-канале). Тогда в = е„е, = ес + ез = ез + еа; (66.7) 46Р,, = [в — (т, + та) ][а — (тс — 5тьа) ], (66.8) 4вра = [э — (та+ та) ][в — (та — та) ]; 26 = 56 — в+ 4Р,Р', — -(т, — тз)(тз — тпь), 2и = и — а — 4р,р,. + — (т5 — тз)(тз — та). В случае упругого рассеяния (гсьс = тв, тв = шэ) имеем [р,[ = = [р',[, так что ес = еа, ев = ем Вместо (66.9) при этом получа- ются более простые формулы 6 = — (р, — р',) = — 2р~(1 — сов д,), (66.10) и = — 2р~(1+ совда) + (е5 — еэ)з, где да ---угол между ра и р5, Отметим, что инвариант — Ь пред- ставляет собой при этом квадрат переданного при столкновении (трехмерного) импульса. Аналогичные формулы для других каналов получаются про- стым изменением обозначений.
Для перехода к 6-каналу надо произвести в (66.6) — (66.10) замену э (-~ Г, 2 еь 3; для перехода к и-каналу -- замену в +э и, 2 сэ 4. 297 Физические Оиллсти Отсюда следует, что для реакции в 3-канале: (т1 + т2) ( 3 ) (7пз + га4) (ш! — 7пз) ~ ~1 ~ ~(7712 — ш4) (67.2) (ш1 — т4) > и < (т2 — тз) (аналогичные неравенства в 1- и и-каналах). Для нахождения остальных условий составим 4-вектор Л, дуальный произведению каких-либо трех из 4-векторов Ч, скажем Лл = ел,.„4Ч2Чзр. (67.3) В системе покоя одной из частиц (например, частицы Ц Ч1 = (Ч~1~,0). При атом Л имеет лишь пространственные компоненты: Ь7 = еЮЫЧ1Ч2Ч1.
Другими слое 11 В вами, Л пространствеиноподобпый вектор, и во всякой системе 3 отсчета Ь2 < О. Раскрыв квадрат Ь2, получим условие Ч1 Ч1Ч2 Ч1ЧЗ 2 А С вЂ” -' — и = 0 Ч2Ч1 Ч2 Ч2ЧЗ ) О. (67.4) ЧзЧ1 ЧзЧ2 Чз 2 Рис. 3 Оно может быть выражено через инварианты 3, 1, и в едином для всех каналов виде 31и > аз+ И+ си, (67.5) где а17 = (т1т2 — т37П4)(т1 2 2 2 2 2 ("7117 пз 77127714) (7 а1 сй = (т17П4 — т27пз) (7П1 2 2 2 2 2 + т2 — шз — ш4), 2 2 2 + 7ПЗ 7712 7П4) 2 2 2 + 7714 7712 7713 ) 2 2 2 (67.6) (Т. И7.
В. К7561е, 1960). Для графического изображения областей изменения переменных 3, 1, и удобно пользоваться так называемыми треугольными координатами на плоскости (плоскость Мандельстама; Я. Мап71е171а7п, 1958). Координатными осями в ней являются три прямые, образующие в пересечении равносторонний треугольник.
Координаты 3, 1, и отсчитываются по направлениям, перпендикулярным зтим трем прямым. (Считае31 положительными направления внутрь треугольника, как указано па рис. 5 стрелками.) Другими словами, каждой точке плоскости отвечают значения 3, 1, и, изображающиеся (с соответствую1цими знаками) 298 МАТРИЦА РАССЕЯНИЯ гл. Мп длинами перпендикуляров., опугцепных на три оси. Выполяение условия в+1+ и = 6 обеспечивается при этом известной геометрической теоремой (если высота равностороннего треугольника равна Ь) ') .
Рассмотрим важный случай, когда основному (в) каналу отвечает упругое рассеяние: при этом массы частиц попарно одинаковы: гп5=гпв=т5 тг=тл=р. (67.7) Пусть т > 52. В условии (67.6) имеем 6 = 2(т~ + р~) а = с = О б = (гп — р~) так что ви1>(т — р, ) 1. (67.8) Граница области, определяемой этим неравенством, состоит из прямой 1 = О и гиперболы ( 2 2)2 (67.9) и секторах и < 05 в < О и в > О, О являются асимптотами гиперболы. Вместо (67.8) можно написать б > 01 ви > (т~ — д~) две ветви которой .лежат и > О;.
оси в = О и и = или 2 < О, ви < (5512 — дг)г Кроме того, из условий (67.2) надо дополнительно учесть 4р неравенство в > (т+52) в в-ка- 5 — о нале и и > (т+ р)2 в и-канале; остальные неравенства удовлетворяются после этого автоматически. В результате найдем, что каналам 1, П, П1 (в, 1, и) отвечают, как говорят, физические области, изображенные на рис.
6 штриховкой. 2, 4-- фотоны), то нижняя ветвь ги- О и физические области выглядят, как в=(т-Рр) и=(п1 — и) =( э~р)' В=(5П вЂ” и) Рнс. б Если 55 = О (частицы перболы касается оси 1 = показано на рис. 7. Соединив, например, точку Р (рис. 5) с трсмя вершинами треугольника 1 А С, мы разобьем его на трн треугольника с высотами я, й и; приравняв сумму их площадей площади треугольника АВС, найдем требуемое равенство. Аналогичным образом оно доказывается н в случае, когда точка Р лежит вне треугольника АВС. 299 Физические овлАсти Если же ш = р, то границы области (67.8) вырождаются в координатные оси и физическими областями являются показанные на рис.
8 три сектора. и=о Рис. 8 Рис. 7 В общем случае четырех различных масс уравнение Ми = ав+ Ы+ си (67.10) определяет кривую третьего порядка, ветви которой ограничи- с(0 Рис. 9 вают физические области трех каналов, как показано на рис. 9. Пусть ш1 >шя >шз >шл. Тогда а>Ь>с, а>О, Ь>0. Кривая (67.10) пересекает координатные оси в точках, .лежащих на прямой аз+ Ы+си = 0 (см. штриховые линии на рис. 9). В зависимости от знака с опа проходит, .как показано на рис. 9. При с ( 0 физическая область 300 МАТРИЦА РАССЕЯНИТ! Гл. мп Инварианты: 3 = ш1 + тпз — 27771Е25 2 2 1 = тп1 + шз — 2ш1ез, 2 2 2 2 и = т, + т4 — 2т7 е4.
(67.12) Из (67.1) получим теперь: (тз + т4) < з < (т1 — тг), (7п2 + тп4) ~ <5 ~ <(тп1 шз) (ш2+ тз) < и < (т1 — т4) . (67.13) Таким образом, все три инварианта положительны, т. е. физи- ческая область канала распада находится внутри координатного треугольника.
Задачи 1. Найти физические области в случае трех одинаковых масс: ш5 = пз, тне = та = НМ = и (нанРимеР, РеакЦиЯ Л 4- к — 5 л 4- Я). Р е ш е и и е. Уравне57ио (67.10) принимает нид ми=в(т — и), (1) причем е 4- 7 4- а = Зр 4- т . и-канала захватывает часть площади координатного треугольника; другими словами, в этом случае величины з, 1, и могут быть одновременно положительными. Все три ветви граничной кривой имеют в качестве асимптот соответствующие координатные оси (в этом легко убедиться, исключив из уравнения (67.10) одну из переменных с помощью соотношения в+1+ и, = 6 и устремив затем одну из оставшихся переменных к бесконечности). Условия (67.2) не вносят в общем случае ничего нового по сравнению с границами, устанавливаемыми уравнением (67.10).
Прямые линии5 соответствующие знакам равенства в (67.2), не пересекают заштрихованных на рис. 9 физических областей: некоторые из них касаются границ этих областей, отвечая экстремальным значениям переменных з, 1 или и в соответствующем канале.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
