IV.-Квантовая-электродинамика (1109681), страница 55
Текст из файла (страница 55)
Пусть в начальном и в конечном состояниях имеется по одному электрону. Тогда амплитуда рассеяния имеет вид Му, = й'Аи[= й';Аеьиь), (65.1) где и и и' биспинорные амплитуды начального и конечного электронов, А некоторая матрица (зависящая от импульсов и поляризаций остальных участвующих в реакции частиц, ее ли таковые имеются).
Сечение рассеяния пропорционально ~Му5~2. Имеем (пАп)* = п'.уо*А'п* = п*АТ"у~~55', 291 ввлкцнн о полявнзовлннымн члстнцлмн Подстановка этого выражения эквивалентна усреднению по поляризациям электрона. Если требуется определить сечение рассеяния с произвольной поляризацией конечного электрона, то надо положить также р' = ( ур + т) /2 и удвоить результат; эта операция эквивалентна суммированию по поляризациям электрона.
Таким образом, получим — ~ ~Му,~2 = — Яр )("7р'+ т)А(7р+ т)А), (65.7) 2 2 поляр где 2 „,„означает суммирование по начальным и конечным поляризациям, а множитель ',~~ превращает одно из суммирований в усреднение. Матрица плотности р' в (65.4) .
вспомогательное понятие, характеризующее, по существу, свойства детектора (выделяющего ту или иную поляризацию конечного электрона), а не процесса рассеяния как такового. Возникает вопрос о поляризациопном состоянии электрона, в которое он приводится процессом рассеяния самим по себе. Если рП~ — матрица плотности этого состояния, то вероятность детектирования электрона в состоянии у' получится проецированием р~71 на р', т. е.
образованием свода Яр(р~71р'). Этой же величине будет пропорционально соответствующее сечение, т. е. квадрат ~Му,~~. Сравнив с (65А), мы делаем вывод, .что р171 АрА. (65.8) Поскольку заранее известно, что ры) должно иметь вид (65.5) с некоторым 4-вектором а17), дело сводится к определенинв последнего. Это можно было бы сделать по формуле (29.14), но еще проще поступить, как будет указано ниже.
Мы видели в 2 29, что компоненты 4-вектора а выражаются через компоненты 3-вектора ~ среднего (удвоенного) значения спина электрона в его системе покоя. Поляризациопные состояния электронов полностью определяются этими векторами, и целесообразно выражать через них также и сечение рассеяния. Очевидно, что квадрат ~М7,~2 будет линеен по каждому из векторов ~ и ~, относящихся к начальному и конечному электронам.
Как функция от ~' он будет иметь вид ~М ~2 + Р~! (65.9) где а и р' сами линейные функции ~. Вектор ~' в (65.9) заданная поляризация конечного электрона, выделяемая детектором. Вектор же ~П~, отвечающий матрице плотности р®, легко найти следующим образом. Согласно сказанному выше ~М,, ~2 - Вр (р'р®). 1О* 292 ЫАТРИЦА РАССЕЯНИ5! Гл. ъ'и Ввиду релятивистской инвариантпости этой величины можно вычислять ее в любой системе отсчета. В систел5С покоя конечного электрона имеем согласно (29.20) Ф)-( + С'И + Р') Поэтому ~М, ~ 1+~~17) и, с15авннв с (65.9), 55аходим5 Гто ~Ф Р5, (65.10) Таким образом, вычислив сечение как функцию параметра ~', мы тем самым определим и поляризацию 5,5~5.
В более сложных случаях (более чем по одному начальному или конечному электрону) вычисления производятся аналогичным образом по изложенной схеме. Так, если в начале и конце имеется по два электрона, амплитуда рассеяния приобретает вид МВ = ф5Аи5)(йгВиг) + (йгСЦГ)(й5Риг), гДе иы иг-.- биспиноРные амплитУДы па5альных, а и'ы и5г --. копечных электронов. При образовании квадрата ~МВ~г появятся 555ены вида /Б1Аи5( /игВиг! и вида (и5Аи5ИигВигИигСи5) 1и,1зиг) . Первые приводятся к производениям двух следов вида (65.4), а вторые к следам вида Яр 1р5 Ар, СргВрЯ). Позитроны описываются амплитудами «отрицательной частоты» и( — р). Для реакций с участием позитронов отличие от изложенного выше сводится к тому, что в качестве матриц плотности надо пользоваться выражениями, отличающимися от (65.5), (65.6) лишь изменением знака перед «п (ср. (29.16), (29.17)).
Обратимся к поляризационным состояниям участвующих в реакции фотонов. Поляризация каждого начального фотона входит в амплитуду рассеяния линейно в виде 4-вектора е, а каждого конечного фотона -в виде е*. В обоих случаях в сечение (т. с. квадрат ~М~7,~ входит 4-тепзор еле*. Для перехода к случаю произвольного частичяо поляризованного состояния этот тензор должен 293 кинемктическив инвквиангы быть заменен четырехмерной матрицей плотности --4-тензором Рди' еде*, -у рд,. (65.11) В частности, для неполяризованного фотона, согласно (8.15), Рд = — 8 /2.
(65.12) Таким образом, усреднение по поляризациям фотона сводится к тензорному свертыванию в ~М7;~ по соответствующим двум 2 тепзорпым индексам Рм ') . Если требуется произвести не усреднение, а суммирование по поляризациям фотона, то надо заменить еде,' вдвое ббльшим выражением: еде~ + 8д~ (65.13) Матрица плотности поляризованного фотона дается формулой (8.17). Выбор 4-векторов е111, е12) фигурирующих в этом выражении, диктуется обычно конкретными условиями задачи.
В одних случаях эти векторы могут быть связаны с определенными пространственными направлениями в некоторой системе отсчета. В других случаях более удобно связывать их с фигурирующими в условиях задачи характерными 4-векторами — 4-импульсами частиц. В (8.17) поляризация фотона описывается параметрами Стокса, составляющими «вектор» с = 1су,ез,ез). Как и для электрона, необходимо отличать поляризацию (® конечного фотона как такового от поляризации с', выделяемой детектором.
Если известен квадрат амплитуды рассеяния как функция параметра ~; ~М1, ~2 = си + я, то поляризация сы) = 13/су, что аналогично формуле (65.10). 9 66. Кинематические инварианты Рассмотрим некоторые кинематические соотношения для процессов рассеяния, в которых как в начальном, так и в конечном состояниях имеется всего по две частицы.
Мы имеем в виду соотношения, являющиеся следствием одних лишь общих законов сохранения и потому справедливые вне зависимости от природы частиц и от законов их взаимодействия. ) Выражение (6542) как бы сводит усрсдпоние по двум реально возможным поляризациям фотона к усреднению по четырем независимым направлениям 4-вектора е. 294 ГЛ. >5П МАТРИЦА РАССВЯНИ55 Запи>пем закон сохранения 4-импульса в общем виде, не предрешающем, которые из импульсов относятся к начальным, а которые — к конечным частицам: й+дз+ дз+94 = 0 (66.1) Здесь ~д, 4-векторы импульсов, причем два из них отвечают падающим частицам, а два-- рассеянным; для последних импульсами являются — д .
Другими словами, у двух из д, временная компонента д~ ) О, а у двух д, < О. Наряду с сохранением 4-импульса должен соблюдаться закон сохранения заряда. При этом под зарядом можно понимать не только электрический заряд, но и другие сохраняющиеся величины, имеющие разный знак у частиц и античастиц. При заданных видах участвующих в процессе частиц квадраты 4-векторов д являются заданными квадратами масс частиц (57~~ = т~~). В зависимости от значений, пробегаемых временными компонентами д„и от значений зарядов мы получим три разные реакции. Запишем эти три процесса так; 1.1+ 2 — > 3+ 4, П.1+3 — > 2+ 4, (66.2) П1, 1 + 4 -> 2 + 3.
Здесь цифра означает номер частицы, а черта над цифрой отличает античастицу от частицы. Переходу от одной Глз реакций к другой, т, е, перенесению частицы из одной стороны формулы в другую, отвечает изменение знака соответствующей временной компоненты д„, а также знака заряда, т. е.
замена частицы ано тичастицей. (Йаряду с процессами (66.2) возможны, конечно, и обратные реакции.) О трех процессах (66.2) говорят как о трех перекрестных (или кросс-) каналах одной (обобще>>пой) реакции. Приведем несколько примеров. Еечи частицы 1 и 3 электроны, а 2 и 4 фотоны, то канал 1 представляет собой рассеяние фотона электропоъ5, ввиду истинной нейтральности фотона канал П1 то же, что 1. Канал же П есть превращение электрон-позитронной пары в два фотона. Если все четыре частицы — электроны,то канал 1-- рассеяние электрона на электроне, а каналы П и П1 — рассеяние позитрона на электроне. Если частицы 1 и 3 — электроны, а 2 и 4 мюоны, то канал 1 .
рассеяние е на >л, канал П1 рассеяние е на 55, канал П превращение пары ее в Г!ару ях. При рассмотрении процессов рассеяния особую роль играют инвариантные величины, которые можно составить из 4-импульсов. Их функцией являются инвариантные амплитуды рассеяния (сь5. 9 70). 295 кинемлтичеокив инвлгилнгы Из четырех 4-импульсов можно составить две независимые инвариантные величины. Действительно, в силу (66.Ц всего три 4-вектора Чо независимы, пусть это будут Ч1, Ч2, Чз. Из них можно составить шесть инвариантов: три квадрата Ч1, Ч2, Чз и три произведения Ч1Ч2, Ч1ЧЗ, Ч2Чз.
Но первые три есть заданнйе квадраты класс, а вторые три связаны одним соотношением, следующим из равенства ') (Ч1 + Ч2 + Чз) = Ч4 = ш4 2 2 2 Для достижения большей симметрии удобно, однако, рассматривать не два, а три инварианта, в качестве которых выберем следующие: в = (Ч1 + Чз) = (Чз + Ч4),, г = (й + Чз) = (Чз + Чи) и = (Ч1 + Ч4) = (Ч2 + Чз) . (66.3) Они связаны, как легко видеть, соотношением (66.4) где ц = гп1 + гпз + п1з + гп4.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
