IV.-Квантовая-электродинамика (1109681), страница 57
Текст из файла (страница 57)
В случае, когда масса одной из частиц болыпе суммы масс трех остальных (ш1 ) т2+ т1+ т4) 5 наряду с каналами 1, П, П1 возможен еще четвертый канал реакции, отвечающий распаду: 1Ъ'.1 -5 2+ 3+ 4, (67.11) Для этого канала в системе покоя распадающейся частицы 01 — (т1 0) 572 — ( — ез Р2)5 74з — ( — ез5 Рз) 04 — ( е4 Р4) ез+ ез+е4 = ш1, рз+ рз+р4 = О.
З01 ФИЗИЧКОКИБ ОБЛАСТИ Области 1, П, 1П ограничены одинаковыми по форме кривыми (для 1: А > О, 1 < О, и < О, и аналогично для П и П1). Если т > Зр, то (1) имеет также ветвь (замкнутую кривую) с э > О, 1 > О, и > 0 "гранину области канала 1У (рис. 10). и и (афпг;р)г (т.— 14,) 8 Рис. 11 Рис. 10 2. То же в случае тг = т, тп: — р, тпз = ш4 = О, т > р (например, реакция р -~- и -4 е 4- п).
Р е ш е н и е. Условие (67.0) принимает вид г з1и ) )тп р гч причем в "; 1 -1- и = тг -~- рг. Физические области ограничены осто в = 0 и двумя ветвями гиперболы ги = ш р (рис. 1Ц. г 3. 'Го же в случае тт = тпз = т, тпт = О, ттм т— и р, причем тп > 2р (например, реакция р+ 7 — т р+ яо). Р е ш е н и е. Уравнение границ (б7.10) принимает вид эги = о(в + и) + Ы, ай = т р Ь1т=ш (2пг — р ),6=2тп +р . йтг Исключив и, получим 1 ч- ( — -1- в — 6 ) 1 ~- — = О. и=(тп+р) з=(тп+р) При заданном з это — квадратное уравнение для й При з>(т+р)г " р (область а-канала) каждому з отвечают два отрицательных значения а При в=(т-~-р) эти дна корня квадратного уравнения сли- Рис. 12 ваются в один: 1= — пгр )(тч-р).
Граница области з-канала имеет вид, показанный на рис. 12. Нижняя ветвь граничной кривой асимптотически приблилсается к оси и = О, а верхняя пересекает зту ось в точке 1 = р ((р — ш ). Область и-канала симметрична по отношению к области з-канюта, а область рканала расположена, как показано па рисунке. 302 Гл. мп мАтРицА Рассеяни55 3 68.
Разложение по парциальным амплитудам Существенным этапом в анализе реакции вида (68.1) а+6 — ге+51 является разложение амплитуды рассеяния по парциальным амплитудам, каждая из которых отвечает (при заданной полной энергии е) определенному значению полного момента частиц Х в системе их центра инерции ') . Эти парциальные амплитуды представляют собой, другими словами, элементы Я-ьгатрицы в моментноъл представлении: (еУМ'/Я/е,ХМ). Поскольку моагент,У и его проекция М на заданную ось з сохраняются, Я-матрица диагональна по этим числам (как и по энергии е).
При этом в силу изотропии пространства диагональные элементы не зависят от значения М. При заданных,1, М, е матрица рассеяния остается еще матрицей по отношению к спиновым квантовым числам; элементы этой матрицы мы будем записывать более коротко в виде (е,ХМЛ'/Я/е,ХМЛ = (Л'/Ф(е)!Л) г (68.2) где Л и Л вЂ”. совокупности спиновых квантовых чисел. В качестве последних наиболее естественно воспользоваться здесь спиральностями частиц. Напомним, что спиральность (в отличие от проекции спина на произвольную ось в пространстве) сохраняется для свободной частицы., а также что опа коммутирует как с импульсом, так и с моментом частицы (см. 9 16).
Поэтому спиральпостями можно пользоваться как в импульсном, так и в моментном представлениях матрицы рассеяния. Элементы Я-гггатрицы по индексам спиральностей мы будем называть спиральными алгплггтудами рассеяния и, таким образом, будем подразумевать под Л и Л' совокупности спиральностей начальных и конечных частиц: Л = (Ла, Лб), Л' = (Лег Лн). В импульсном представлении элементы матрицы рассеяния определяются по отношению к состояниям ~епЛ) (и = р/~р~ — направление импульса относительного движения в системе центра инерции), а в момснтном по отношению к состояниям ~Н,ХМЛ).
Они выражаются друг через друга в виде разложений /,УМЛ) = /пЛ) (пЛ/1МЛ) до„, (68.3) ') Больвгав часть результатов, излагаемых в 9 68, 69, принадлежит?Какобу и Вику (М. 3асоб, С. С. ггргсй, 1969). РАЗЛО?КВНИЕ ПО 11АРЦИАЛЬНЫМ АА?ПЛИТУДАА1 зоз где интегрирование производится по направлениям и (энерги?о е в символах состояний будем для краткости опускать). В силу унитарности этого преобразования (см. Ш., 3 12) коэффициенты обратного преобразования (.ТМЛ!пЛ) = (пЛ/.7МЛ)*.
(68.4) По общему правилу преобразования матриц эти жс коэффициенты определят связь между элементами Я-матриц в обоих представлениях: (и Л~/Я/пЛ) '~ (п? Л1 )ЯМЛ )(7МЛ ~ЯЛМЛ)(ЯМЛ~пЛ) (68 5) зм Коэффициенты разложения (68.3) легко найти с помощью результатов 3 16. Пусть волновые функции всех состояний выражены в импульсном представлении, т. е. как функции направления импульса (при заданной энергии); это направление как независимую переменную обозначим и в отличие от направления п как квантового числа состояния.
В этом представлении волновая функция имеет вид (16.2) Ф лЖ = и( )и( )(" — и). (68.6) При подстановке (68.6) в разложение (68.3) последнее сводится к одному члену: 1)?змл = (иЛ~,1МЛ)и1А~?. (68.?) Спиральность Л„и Ль каждой из двух частиц определяется как проокция ее спина на направление ее же импульса. Ею?и импульсы частиц рА = р, рА = — р, то для первой частицы этонаправление п, а для второй йаправленне — и. Если рассматривать теперь систему как одну частицу со спиральпостью Л в направлении п, то Л = Л, — Лм Ес волновая функция (в импульсном представлении) может быть представлена согласно (16.4) в виде Фумх(г') = и1 ~?ОАм(а') (68.8) Сравнив выражения (68.7), (68.8) (и изменив обозначение переменной и на и), получим для искомых коэффициентов (пЛ~.7МЛ) = 1Э (и).
(68.9) Подстановка этих коэффициентов в (68.5) дает (и'Л'~Я~пЛ) = ~? Т), (и')7Л,'„~ (п)(Л'~Я~~Л), (68.10) ,1ЛХ Л=Л,— Лм Л'=Л,— Лл, 304 МАТРИЦА РАССЕЯНИЯ ГЛ. МН где использовано сокращенное обозначение (68.2). Выберем направление и в качестве оси з; тогда РАги(п) = аААл Ю и (68.10) принимает вид (и'Л'/Я/пЛ) = 55 + РЛ Л (и')(Л'/Я~!Л), (68 11) Мы видим, что разложение по парциальным амплитудам осуществляется с функциями Р, в качество коэффициентов.
Для 60 реакции вида (68.1) удобно определить амплитуду рассеяния (' таким образом, чтобы сечение (в системе центра инерции) было сЬ = )(и'Л') (')пЛ) )~сто' (68.12) (сравнением с (64.19) можно связать эту амплитуду с матричным элементом Мсс). Ее разложение по парциальным амплитудам напишем в виде (и'Л'фпЛ) = 5 (21+ 1)Р,,А, (и')Р А;(п)(Л')Х~(Л), (68.13) зм или1 выбирая ось з вдоль направления и: (п'Л')ДпЛ) = ~~5 (2,1+1)Р„', (и')(Л')(~)Л). (68.14) Эта форьлула представляет собой обобщение обычного разложения по парциальным амплитудам для рассеяния бесспиновых частиц (см.
П1, (123.14)). Поскольку Рвов — — Рь(совр)5 при равных нулю спинах (68.14) сводится к разложению по полиномам Лежандра ~(0) = ~(2Т + 1)~ьРь(совВ). ь Сечение (68.12) относится к случаю, когда все частицы имеют определенные спиральности. Если же частицы находятся в смешанных поляризационных состояниях, то сечение получается путем усреднения произведения (Л,ЛД~Л,Л,) (Л',Л',~У~Л'.Л',)* по поляризационным матрицаъл п.лотности частиц (Л„~р~'~ /Л',) (Л,/р~'~!Л',) (Л',/р~'~ /Лс) (Л'„/р~"~ !Л„) (см. примеч. на с.
204). Так, для реакции между неполяризованными частицами а, б с образованием неполяризованных же 305 СИМУ|ЬТРИЯ СПИРАЛЬНЪ|Х АМПЛИТУД РАССЕЯНИ5! частиц с,сь получим (255+ 1)(2,55 + 1)(ЛАЛ||~~ ~ЛАЛЬ) Х [л> оп х (Л Л|5!~~ ~Л Ль)*РИмЛ (п~)РА, т (и!) (68.15) (ось з направлена по и, знак У означает суммирование по (л> ЛвЛЬЛсЛл).
Заменив функцию Р,ЛА согласно формуле (58.19) 510* (см. 1П) и затем воспользовавшись разложением (110.2) (см. П1), получим окончательно |1о = ~5 ( — 1)А л (2,7 + 1)(2У + 1) х ьлул х (ЛСЛк((' ~ЛоЛь)(ЛСЛ,Ц~ ~ЛоЛь)* ~ ~(2Т + 1) х в "(Л Л 0)(Л Л 01|Р (с|пай) (6816) 1 У Т, 1 У Т, (й угол между н| и осью з); суммирование по 1 производится по всем целым значениям, возникающим при векторном сложении Д и Л'.
Разложение амплитуды рассеяния по |тарциальным алшлитудам полностью учитывает все свойства углового распределения рассеяния, связанныс с симметрией по отноп|онию к пространственным вращениям. Оно, однако, не учитывает в явном виде свойства, связанные с симметрией по отношению к пространственной инверсии.
Р-инвариантность (если взаимодействие обладает ею) приводит к определенным связям между различными спиральными амплитудами (см. ниже, з 69). й 69. Симметрия спиральных амплитуд рассеяния Требования, налагаемые симметрией по отношению к преобразованиям Р, С, Т (если, конечно, данный процесс взаимодействия частиц действительно обладает втой симметрией), приводят к появлению определенных связей между различными спиральными амплитудами рассеяния и тем самым уменьшают число независимых амплитуд ') .
1 ) Само число независимых амплитуд не зависит, конечно, от конкретного представления матрицы о~ и остается одинаковым при любом выборе спиновых переменных. 306 Гл. Цп МАТРИЦА РАССВЯНИ55 Для установления этих связей выясним предварительно свойства симметрии спиральных состояний системы двух частиц.
Рассмотрим частицы в системе их центра инерции. Одна обладает импульсом р5=р и спиральностью ЛГ относительно направления р, а другая импульсом ря= — р н спиральностью Ля относительно направления — р. Если же определять спиральности для обеих частиц относительно одного и того же направления р, то они будут равны Л5 и — Ля, Соответственно они будут описы- [лП ( — л) ваться плоскими волнами с амплитудами и и и . Система же обеих частиц описывается функцией (многокомпонентной) <л,л,> (л,) < — лг) ир, составленной из произведений амплитуд глр и ир Рассматривая теперь систему как одну частицу со С55иральпостью Л = Л5 — Лг в направлении п = р,1~р~, мы можем написать волновую функцию (в импульсном представлении, т.
е. как функцию п) для состояния с определенными значениями,/, гИ, Лм Лг (а также полной энергии е): г)55млглг = ир1 г О~д, (п)~: Л = Л5 — Лз (69.1) 455 (ср. (68.8)). Так как Л есть проекция полного момента на р, то должно быть ~Л~ < Х (69.2) Согласно (16.14) при инверсии Ри~ ' гг(П) = 5051ти~ ' г~( — П) = — 51 51 ( 1).55-~-5г — лг-Рлги( — лг — лг)(п) (69 8) где бм ггя - внутренние четности частиц.
1Лспользовав также (16.10), найдем закон преобразования функций (69.1): РЮзлглглг = 51551>( — 1)" ь" Фзлг — л,-лг. (69 4) Если частицы тождественны, то возникает вопрос о симметрии по отношению к их перестановке. Перестановка частиц означает перестановку их импульсов и спиноз. Для уяснения смысла этой операции в применении к функции (69.1) замечаем, что в ее определении имеется асимметрия, состоящая в том, что моменты обеих частиц проецируются на направление одного и того же вектора р5 = р импульса одной (55ервой) из частиц. После перестановки место этого вектора займет вектор рз = — р; проекции моментов )5 и )я на этот вектор будут ЛГ и Лг (вместо проекций ЛГ и — Ля на р).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
