IV.-Квантовая-электродинамика (1109681), страница 61
Текст из файла (страница 61)
При этом диагонализирующие состояния — это состояния с определенными четностями (но, конечно, уже без определенных спиральностей). Условие (71.11), выраженное с помощью парпиальных амплитуд (Л'(7'з)Л), имеет вид (Л'/~~!Л) — (Л!~~!Л')' = 2г/р/ ~~ (Л'/~~!Л")Л!)~/Л")*, (71.13) л" в чем легко убедиться, подставив в (71.7) разложение (68.13) и учтя ортонорлплрованность Р-функций. При Т-инвариантности матрица (Л'~~'г~Л) симметрична, и (71.13) принимает вид 1пл(Л'!~~/Л) = /р/(Л'/~~~лэ !Л).
(71.14) Если матрица диагонализована, то ее диагональные элементы = — (ехр(2гбн„) — 1) = — ехр(Ы,г„) вш бз„. (71.15) 26р( ' )р( 320 гл. мп мАТРицА РАссеяниг! Наконец, укажем некоторые следствия, возникающие из условия унитарности вместе с требованием СРТ-инвариантности. В си>гу >господней Т71=Т вЂ”,, (71.16) где г и ) -состояния, отличающиеся от г и ) заменой всех частиц античастицами (а также изменением знака векторов момента при неизменных импульсах). В частности, для диагональных элементов Тм =Т вЂ” ". гг ' Из (71.8) или (71.9) следует поэтому, что полное сечение всех возможных процессов (с заданным начальным состоянием) одинаково для реакций между частицами и античастицами.
В частности, одинаковы полные вероятности распада (т. е. времена жизни) гастицы и античастггцы. эти результаты (ггаряду с равенством масс частицы и античастицы 2 11) важнейшие следствия СРТ-инвариантности взаимодействий. Напомним (см, конец 2 69), что такое же утверждение для каждого из возможных каналов распада в отдельности требует также соблюдения СР-инвариаггтности. Задача Исходя из условия унитарности, найти связь между фазами парциальных амплитуд фоторождепия пионов на нуклопах ( у -Р х — 5 я -~- х) и упругого рассеяния пионов на нуклонах (я+ Х вЂ” 5 я+ Х); при этом учитываегся, что яХ-рассеяние связано с сильными взаимодействиями, а фоторождение и тггг-рассеяние с электромагнитным взаимодействием.
Р е ш е я и е. Обозначим парциальные амплитуды: (яХ)5)7Х) = 5 5775 ~Б~ 5Х) = 5 (яХ)5! гХ) = 5 (опущеггы индексы з и спиральностей). Фоторождение процесс первого, а Х-рассеяние второго порядка по заряду е; поэтому 5 е, 5 — 1 е . мплитуда же 5 „, малости не содержит. С точностью до членов е условия (71.1) дают 5;,55", -Р 5,.5.. = 5., -~- 5,.5„.
= О, (1) 5 5*э+5 5* 5,5,* =1 (2) (в правой стороне равенства (2) надо понимать 1 как единичнуго матрицу по спиновым переменным). В силу Т-инвариантности матрица 5, симметрична, а 5 = 5ст Выберем магрипу 5, в диагональной форме, т. е. по отношению к состояниям пиона с определенными четностями; тогда из (2) следует, что диагональные элементы имеют вид е ' с различными постоянными б . После этого находим из (1) для каждого из элементов матрицы 5 5 555 = -еэ'~ откуда 5 ., = ж~5, ~ге' Таким образом, фаза парциальной амплитуды фоторождения (в состояние с определенной четпостью) определяется фазой упругого яХ-рассеяния. ГЛЛВЛ ЧП1 ИНВАРИАНТНАЯ ТЕОРИЯ ВОЗМУЩКНИЙ й 72. Хронологическое произведение Вероятности различных процессов при столкновениях частиц, взаимодействие между которыми можно считать малым, вычис- 3!яютс5! с поълощью теории возму!цений, В своей обычной (для нерелятивистской квантовой механики) форме аппарат этой теории обладает, однако, тем н! достатком, что в нем н! выявлятотся явным образом требования релятивистской инвариантности.
Хотя при применении такого аппарата к релятивистским задачам окончательный результат и будет удовлетворять этим требованиям, но неинвариантная форма промежуточных формул существенно усложняет вычисления. Настоящая глава посвящена развитию свободной от этого недостатка последовательной релятивистской теории возмущений; она была построена Фейнманам (11.
Р. Реуптан, 1948 1949). Имея в виду вторично квантованное описание системы, обозначим через Ф ее волновучо функцию в представлении чисел заполнения различных состояний свободных частиц. Гамильтониан системы Й = Йа + Р, где к оператор взаимодействия. Пусть Ф„собственные функции невозмущенного гамильтониана; каждая из них отвечает некоторым определенным значениям всех чисел заполнения. Произвольная функция Ф представляется в виде разложения Ф = 2,' С„Ф„.
Тогда точное волновое уравнение ! — = (Нв+ Р')Ф д! (724) представится в виде системы уравнений для коэффициентов С„: гС„= ~ 1'„~ ехр(г(Ев — Е„,)11 Сон (72.2) где Ъ~ — не зависящие от времени матричные элементы оператора в', а Ев уровни энергии невозмущенной системы (ср. П1, э 40). По определению оператор г" не зависит явно от времени. Величины же Ув,вЯ = Ь„в, ехр(!(Ев — Ев,)!) (72.3) 322 ИНВАРИАНТНАЯ ТЕОРИЯ ВОЗМУЩЕНИЙ Гл. Ус!! Ф(17) = П ехр( — сй Р(1 )) Ф(бс), с (72.6) где знак П означает предел произведения по всем бесконечно малым интервалам Й„между 1; и 17. Ешси бы И(1) было обычной функцией, то этот предел сводился бы просто к сс ехр — с И(1) с(с с, Ио такое сведение основано на коммутативности множителей (взятых в различные моменты времени), подразуалевающейся при переходе от произведешля в (72.6) к суммированию в экспоненте.
Для оператора 1' (с) такой коммутативности нет, и сведение к обычному интегралу невозесо>кно. с ) Подчеркнем, что в определении (72.4) фигурирует невозмущенный гамильтониасс Йв. Этим оно отличается от гсйзсссбсргввсквгв представления операторов,в котором 12 (С) = ехр(сйС)рэехр( — сйС) (см. П1, ч 13 и ниже, З 102).
можно рассматривать как матричные элементы зависящего от времени оператора Р(1) = ехр(сйв1)'у'ехр( — сйоб). (72.4) О нем говорят как об операторе в предстпавлении взассмодейстнил (в отличие от исходного не зависящего от времени спредингеровского оператора (Г ') ). Обозначив теперь прежней буквой Ф волновую функцию в этом новом представлении, запишем уравнения (72.2) в символическом виде сФ = сг(1)Ф. (72.5) Изменение волновой функции в этом представлении связано лишь с действием возмущения, т. е. отвечает процессам, происходящим благодаря взаимодействию частиц. Если Ф(1) и Ф(1+ Й) значения Ф в два бесконечно близких момента времени, то в силу (72.5) они связаны друг с другом посредством Ф(1+ Й) = (1 — сйу'(1)1Ф(1) = ехр( — сй уг(1))Ф(1).
Соответственно значение Ф в произвольный момент 17 может быть выражено через значение в некоторый начальный момент 1, (11 > бс) как 323 1 72 ХРОНОЛОГИЧЕСКОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ Напишем (72.6) в символическом виде 17 Ф(11) = Т ехр — г Ъ'(1)с11 Ф(1,), (72.7) где Т символ лронологизации, означающий определенную («хронологическуюа) последовательность моментов времени в последовательных множителях произведения (72.6). В частности, положив 7,, — > — со, 17 — + +ос, получим Ф(+ос) = УФ( — оо), (72.8) де Я = Т ехр — г И(1) о)1 (72.9) Ч е (ХА)с)Зт (72.11) Подставив его в (72.9), получим Я = Тсхр — ге (7А) с1~х (72.12) ) Вывод правил релятивистской теории возмущений с поыоп1ью разложения (72.10) принадлежит Дайсову (Г.
)Заузоп, 1949). Смысл записи (72.7) (72.9) формально точного решения волнового уравнения состоит в том, что такая запись позволяет легко написать ряд, представляющий собой разложение по степеням возмущения: со со оо о=с'~" ,) 'ь)о, ..)о„.т1ко)кос ..РВИ1. П21П) в=о Здесь в каждом члене а-я степень интеграла написана в виде )с-кратного интеграла, а символ Т означает, что в каждой области значений переменных 11, 12, ..., 7ь надо располагать соответствующие операторы в хронологическом порядке справа налево в порядке возрастающих значений 1 ') .
Из определения (72.8) ясно, что если до столкновения система была в состоянии Ф, (некоторая совокупность свободных частиц), то амплитуда вероятности ее перехода в состояние Фу (другая совокупность свободных частиц) есть матричный элемент 57,. Другими словами, .эти элементы и составляют Я-матрицу.
Оператор электромагнитного взаимодействия был написан уже в 3 43: 324 ИНВАРИАНТНАЯ ТЕОРИЯ ВОЗМУЩЕНИЙ гл. у'1!! Существенно, что оператор (72.12) релятивистски ицвариаптен. Это видно из скалярности подынтегрального выражения, инвариантного характера интегрирования по с5 х и инвариантного характера операции хронологизации. Последнее обстоятельство требует, однако, разъяснения. Как известно, последовательность двух моментов времени ~5 и 42 (знак разности бз — 1~) не зависит от выбора системы отсчета, если эти моменты относятся к мировым точкам хс и х2, разделенным времениподобным интервалом: (х2 — хс) ) О. В таком слу- 2 чае инвариантность хронологизации автоматична.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
