IV.-Квантовая-электродинамика (1109681), страница 65
Текст из файла (страница 65)
Действительно, если записать зна ~ение ре в смеп1онпых полюсах как — (е— — гб) и +(е — гб) (где 6 — + +0), то временной множитель в интеграле (75.13) будет равен ехр( — Ы~г~ — б)г)). 340 ИНВАРИАНТНАЯ ТЕОРИЯ ВОЗМУЩЕНИЙ ГЛ. У5!! т. е. фусскцией Грина уравнения (р — гп~)5р = О. В этом смысле можно сказать, что С5 )(щ — т ) есть пропагатор скалярных частиц. Легко убедиться вычислением (подобным произведенному выше),. что функция распространения скалярного поля выражается через ф-операторы (11.2) формулой С5~)(х — х') = — г(О~Тф(т)фР(х')~0). (75.22) аналогичной определению (75.Ц. При этом хронологическое произведение определяется (как для всяких бозонных операторов) следующим образом: Тф(щ)ф "(т') = 6*)~ ( )', (75.23) (с одинаковыми знаками при 8 ) 1' и 1 ( 1').
й 76. Фотонный пропагатор До сих пор нам приходилось (в )) 43, 74) использовать явный вид операторов электромагнитного поля А при нахождении матричных элементов лишь по отношению к изменению чис.ча реальных фотонов. Для этой цели было достаточным написанное в О 2 представление потенциалов свободного поля в виде разложения по поперечным плоским волнам.
Такое представление, однако, не дает само по себе полного описания произвольного поля. Это ясно уже из того, что диаграммы рассеяния (73.13), (73.14) должны учитывать и кулоново взаимодействие электронов. Последнее описывается скаляраым потенциалом Ф и заведомо не может быть сведено к обмену лишь поперечными виртуальными фотонами (описываемыми векторным потенциалом, подчиненным условию с))у А = 0) ') .
Таким образом, мы по существу. не имеем еще полного определения операторов А, без чего невозможно прямое вычисление фотонного пропагатора согласно формуле Рр,(х — х') = 1(ОЛТАН(ю)АР(х') ~0). (76.1) С другой стороны,калибровочная неоднозначность потенциалов в значительной степени лишает физического смысла те операто- ) При условии 51п А = 0 уравнения Максвелла приводят к следующим уравнениям для А и Ф: дФ ПА = — 4я1 -Р 5У вЂ”, ЬФ = — 4яр.
дс ' В этой калибровке Ф удовлетворяет статическому уравнению Пуассона (ср. с формулой (7ОЛЗ) для )усе в этой же калибровке). 341 1 76 ФОТОННЫЙ ПРОПАГАТОР ры, которые пришлось бы вводить для исчерпывающего квантования электромагнитного поля. Эти затруднения, однако, имеют лишь формальный, а не физический характер, и их можно обойти,. использовав некоторые общие свойства пропагатора, очевидные из требований релятивистской и калибровочной инвариаптности.
Наиболее общий вид 4-тензора второго ранга, зависящего только от 4-вектора ~ = т — х', есть Рр,Я = д„Р(5~) — д,„д,Р69(б~). (76.2) где Р, Р(~) .- скалярные функции инварианта ~~ ') . Отметим, что тензор автоматически оказывается симметричным. Соответственно в импульсном представлении будем иметь Ррг()с) = РЯ~1д. + Й.ЙРР(~)()с~), (76 3) где Р()с~), Р(~) ()с~) — компоненты Фурье функций Р((~), Рр) ((й). В физические величины амплитуды рассеяния фотонная функция распространения входит умноженной па токи переходов двух электронов, т. е. в комбинациях вида ДРр,~4з (см., например, (73.13)). Но в силу сохранения тока (др)" = 0) его матричные элементы уш = зрй-фГ удовлетворяют условию 4-поперечности ~р0Р)в, = 6, (76А) где 1' = рз — р> (ср. (43.13)).
Ясно поэтому, что никакие физические результаты не изменятся при замене Рри Р Рри + Хр1Р + ХР~"р; (76.5) где Хр любыс функции 14 и 16. Этот произвол в выборе Рр, соответствует произволу в калибровке потенциалов поля. Произвольное калибровочное преобразование (76.5) может нарушить релятивистски инвариантный вид Рр, предположенпый в (76.3) (если величины Хр не составлнют 4-вектоРа). Но и оставаясь в рамках релятивистски инвариантных форм пропагатора, мы видим, что выбор функции Р(~)(А;з) в (76.3) вполне произволен, он не отразится на физических результатах и может устанавливаться из соображений удобства (Л. Д.
Ландау, А. А. Абрикосов, И. ЛХ. Халагпнихов, 1954). Нахождение функции распространения сводится, таким образом, к определению всего одной калибровочно-инвариантной 1 ) Эти 4зункпии различны в трех областях значений аргумента, пе переходящих друг в друга при преобразованиях Лоренца; вне светового конуса (с ( 0), в верхней (с > О, се > О) и в нижней (с~ > О, Го ( 0) полостях светового конуса. 342 ИНЕАРИАНТНАЯ ТЕОРИЯ ВОЗМУЩЕНИЙ Гл. Уг!! функции Р(Й ). Если рассмотреть заданное значение Й и выбрать ось з вдоль направления 1с, то преобразования (76.5) не будут затрагивать компоненты Р.
= 0„„= — 0(Й2). Достаточно поэтому вычислить всего одну компоненту Р, пользуясь при этом любой калибровкой потенциалов. Воспользуемся калибровкой, в которой г11у А = О и оператор А дается разложением (2.17), (2.18); А = à — (си егаге-гйх+ с+ е(а) егьх) ы = Щ (766) Ыа Гга (индекс Гг = 1, 2 нумерует гюляризации). Из всех средних по вакууму значений произведений операторов с, с' отличны от нуля лишь (О(ск ск )О) = 1.
По определению (76.1) получим поэтому Р (~) = 4 1 2"'г1 Й ~ х РО (а)* е г"~ эгкс (76.7) (2 )з г, (~ ~сг ЕЬ (гг Й трехмерные векторные индексы; от суммирования по 1с мы перешли к интстрированию по агаЙ,г'(2я)а). Тот факт, что в показателе эксгюненты стоит абсолютное значение разности т = = 2 — г', есть следствие хронологизации произведения операторов в (76.1). Из (76.7) видно, что подынтегральнос выражение без множитЕЛя Епгг ЕетЬ КОМПОНЕНта трЕХМЕрПОГО раЗЛОжЕНИя ФурЬЕ фуНК- ции Ргь(гг1). Дла Р „= — Р она Равна 2ггг — г'гу)т~ Х з ~ (а)~2 2ггг — ггу',,т~ гг Для нахождения Р (Й2) осталось разложить эту функцию в интеграл Фурье по времени.
Это разложение дается формулой 2ггг ггу т~ 1 1 4тг — гггггт — е и 2я ./ Йаг — йг -~- гО Как было объяснено в предыдущем параграфе, такое интегрирование подразумевает обход полюсов ЙО = ~~1с~ = ~аг соответственно снизу и сверху; при т ) О интеграл определяется вычетом в полюсе ЙО = +аг, а при т ( О вычетом в полюсе Йо = — аг. Таким образом, находим окончательно Р(Й2) 4тг (76.8) З4З 1 76 ФОТО!!НЫЙ ПРОПАГАТОР (76.10) Появление +10 в знаменателе, к которому в изложенном выво- де мы пришли автоматически, совпадает с правилом (75.15); из (равной нулю) массы фотона вычитается 10. Из (76.8) видно, что соответствукпцая координатная функция Р(Г ) удовлетво- 2 ряет уравнению 0,0 Р(,, ) 4,-5~41(,, ) (76.9) т.
е. является функцией Грина волнового уравнения. 54ы будем обычно полагать .О( = О, т. е. пользоваться функ- (О цией распространения в виде 2 4гГ Руи — ИуиР(А ) — .. В!ги А.г + г'О (калибровка Фейима!*а) . Укажеы также другие способы капибровки, когорые могут представить определенные преимущества в некоторых примене- ниях.
Положив Р!О = — Р(16~, получим пропагатор в виде РУи = г г1ОУи г ) (калибровка Ландау). При этом Руи16' = О. Такой выбор анало- гичен лоренцевой калибровке потенциалов (АПИ = 0). Калибровке потенциалов трехмерным условием 611!!А = 0 аналогична калибровка пропагатора условиями Р, ~' = О! 06!Ю~ = О. Вместе с равенством Рк = — Р = — 4к!!1л эти условия дают Рн =, (бн — — ',') . (76.12) Для того чтобы получить такое Рн, надо произвести над пропа- гатором (76.10) преобразование (76.5), положив 4киг 4кlг, 2(игг — )гг)4гг ' 2(игг — 14')14' При этом для остальных компонент Р„и получается 006 = 4кг716 г РОг О.
(76.13) Такую калибровку называют кулоновой (Ь'. Яа1ре1ег, 1952); от- метим, что 066 здесь - компонента Фурье кулонова потенциала. Пако!Тец, калибровке потенциалов условием Ф = 0 аналогич- на калибровка пропагатора, в которой Ра = —,, (дн — л— ) г Рв = Р66 = О. (76.14) 4к !' 1,1г 'г г-4 (, ' ° )' ИНВАРИАНТНАЯ ТЕОРИЯ ВОЗМУЩЕНИЙ ГЛ. У5!! 344 Эта форма оказывается удобной для применения в нерелятивистских задачах (И.
Е. Дзялошинский, Л. П. Питаеоский, 1959). Все выписанные выражения относятся к импульсному представлению пропагатора. В некоторых случаях удобно пользоваться смешанным частотно-координатным представлением, т, е. функцией Рн,(н5, г) = РРР(о5, 1с)е5и" В фейнмановской калибровке (76.10) РЙР(о55 г) = я55„Р(о5, г), (76.15) где е*"' Н' А. г е5"' — е Р(щ г) — 4к — — — Ый / е55 — йе -~- 50 (255)е ею е55 — Ь5 -~- 20 0 или, после замены А -э — 5е во втором слагаемом подынтеграль- ного выражения: Е'~" ЫА Р(В5,г) = — ~ ке / е55 — Ье -~- 50 Последнее интегрирование производится путем замыкания контура интегрирования бесконечно удаленной полуокружностью в верхней полуплоскости комплексной переменной Й и сводится к взятию вычета в полюсе к = Ц + 10.
Окончательно получим Р(о5, г) = — е' '55г. (76.16) В связи с этим выражением сделаем следующее замечание. Описываемый диаграммами (73.13), (73.14) процесс можно рассматривать наглядею как рассеяние электрона 2 в поле, создаваемом электроном 1 (или наоборот). Функция (76.16) соответствует обычному езапаздывающему» потенциалу ех е' " (см. П, (64.1), (64.2)) только при В5 ) О. Знак Н5, однако, зависит от условного выбора направления стрелки й па диаграмме.
Отмеченное свойство функции Р(н5, г) означает, что в квантовой электродинамике следует считать источником поля ту из частиц, которая отдает энергию, т. е. испускает виртуальный фотон. В заключение остановимся на вопросе о пропагаторе частиц со снином 1, но с отличной от нуля массой. В этом случае калибровочный произвол отсутствует и выбор пропагатора однозначен.
Подставив уУ-операторы (14.16) в определение С„= — 1(0 ~ Т ф„(т) уУ ~ (т') ~ О), (76. 17) 345 1 77 ОВЩИЕ НРАВИЛА ДИАГРАЪ|МНОЙ ТЕХНИКИ получим выражение, отличагощееся от (76.7) лишь заменой стоящей в подынтегральном выражении суммы по поляризациям на .2." . ' и|~ги|~г . р ы Суммирование по поляризациям эквивалентно усреднению с последующим умножением на 3 — число независимых поляризаций. Усреднение дает матрицу плотности неполяризованных частиц (14.15). Таким образом, в результате найдем следующее выражение для пропагатора векторных частиц: Ссги(Р) = г г (Кри г ) ' Обратим внимание на аналогичную структуру пропагаторов (75.17) и С76.18): в знаменателе стоит разность РЯ вЂ” пг'| а числитель есть, с точностью до множителя, ыатрссща плотности неполяризованных частиц с даш|ым спином.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
