IV.-Квантовая-электродинамика (1109681), страница 66
Текст из файла (страница 66)
3 77. Общие правила диаграммной техники Произведенное в 3 73, 74 для некоторых простых случаев вычисление элементов матрицы рассеяния содержит в себе все принципиальные моменты общего метода. Не представляет особого труда установить путем соответствующих обобщений правила вычисления матричных элементов в любом порядке теории возму щений. Как уже указывалось, матричный элемент оператора рассеяния У для перехода между любыми начальными и конечными состояниями совпадает со средним по вакууму от оператора, получающегося умножением о' справа на операторы рождения всех начальных частиц и слева- на операторы уничтожения всех конечных частиц. В результате такого приведения элемент Я-матрицы в и-м порядке теории возмущений принимает вид фЯ~ ~ )г) = — (О!...
ЬцЬсу... очи... осу х х с|ах| ... с1Ах„Т1Я|( — ге уА|)г)гс)... (ф„( — геуА„)грв)) х х с~,'... а~,... Ь,";... ~0) (77.1) (индексы 1г, 2г, ... нумеруют начвльныс частицы (отдельно позитроны, электроны, фотоны), индексы 1АГ", 2)', ... конечные частицы; индексы 1| 2, ... у операторов гр и А означают: грс = = уг(тс), ...
). Входящие сюда операторы ф, А представляют 346 ИНВАРИАНТНАЯ ТЕОРИЯ ВОЗМУЩЕНИЙ Гл. утн собой линейные комбинации операторов рождения и уничтожения соответствующих частиц в различных состояниях. Таким образом, получаем для матричных элементов выражения в виде средних по вакууму от произведений операторов рождения и уничтожения частиц и их линейных комбинаций.
Вычисление таких средних осуществляется с помощью следующих утверждений, составляющих содержание теоремы Вика (С. С. ИЧЕА, 1950). 1. Среднее по ваку.уму от произведения любого числа бозонных операторов с+, с равно сумме произведений всех возможных попарных средних (сверток) этих операторов. При этом в каждой паре множители должны стоять в той же последовательности, что и в первоначальном произведении.
2. Для фермионных операторов а+, а, 6+, Ь (одних и тех же или рязличных чястиц) прввило меняетгя линн, в том, что кяждый член входит в сумму со знаком плюс или минус в зависимости от четности или нечетности числа перестановок фермионных операторов, необходимых для того, чтобы поставить рядом все попарно усредняемые операторы. Ясно, что среднее значение может быть отлично от нуля, лишь если наряду с каждым множителем аз и, с в произведении имеется также по множителю ат, 1гУ, сс. При этом свертывать следует только пары операторов (а,а+), ..., относящихся к одинаковым состояниям, причем лишь такие, в которых аь, ...
стоят справа от а, ...: частица сначала рождается, а затем уничтожается (средние же значения (О~а+а~О) = О, ... ). Если каждая пара (а,й), ... входит в произведение всего по одному разу, то теорема Вика очевидна (среднее значение сводится при этом к одному произведению попарных средних). Она очевидна также и в случае, когда все операторы уничтожения стоят н произведении справа от операторов рождения (такое произведение называют нормвльньми); среднее значение при этом равно нулю.
Отсюда легко путем полной индукции доказать теорему Вика для общего случая, когда одна и та же пара операторов входит в произведение несколько (А:) раз. Рассмотрим среднее значение (0~ .. се~.. ~0), в котором пара бозонных операторов входит й раз (для фермионных операторов дальнейшие рассуждения вполне аналогичны). Переставив множители с, с+ в некоторой паре, получим на основании правил коммутации (О/., ссь., /0) = (О/., сьс ..
!0) + (О/ .. 1., /0). (77.2) Среднее значение (0~ .. 1 .. ~0) содержит й — 1 пару, и для него теорема Вика предполагается справедливой. С другой стороны, 347 1 77 ОВЩИЕ ПРАВИЛА ДИАГРАММНОЙ ТЕХНИКИ если раскрывать среднее значение (0) .. сс~ .. )0) по теореме Вика, то оно будет отличаться от среднего значения (0) .. сьс ..
)0) как раз членом (О~.. 1 ..~0)(0!сс ' !0) = (О~.. 1 ..~0) (0(Ась(0) = А, (О/(Ра !0) = 7(зр, (0!б Фо) =Ф- (О!ЕрА/0) = А„*, (О/арфО) = ф„', (о!фу~о) = Ф гл (77.3) где Ар, 7()р фотонные и электронные волновые функции с импульсами р (поляризационные индексы, как и в 3 73, 74, для краткости не выписываем). Будут также встречаться свертки «внутренних» операторов, стоящих под знаком Т-произведений.
Поскольку при применении теоремы Вика последовательность множителей в каждой свертываемой паре сохраняется, в этих свертках сохранится хронологическая последовательность операторов, так что опи заменяются соответствующими пропагаторами ') . 1 ) По поводу последнего утверждения надо сделать следующее замечание. При доказательстве теоремы Вика мы использовали правила коммутации операторов с, с, которые имеют смысл лишь для реальных («поперечных>) фотонов.
«Внешние» операторы с,, сг отвечают, разумеется, именно таким (начвльным и конечныъ1) фотонам. Операторы же Л (входящие под знаком Тчзроизведения) опись1вают, как было указано в 1 76, не только поперечные (при раскрытии (О) .. с "с .. (О) аналогичный член (О! .. 1 .. (О) х х (0)с+с(0) = 0). Поэтому из (77.2) следует, что если теорема Вика справедлива для матричного элемента (0( .. с ~с .. )0), то она остается справедливой и после перестановки с и с+. Поскольку для одного определенного (нормального) порядка множителей теорема Вика заведомо справедлива, то она тем самым верна в любом случае.
Будучи верна для произведений операторов а, Ь....., теорема Вика верна и для любых произведений, содержащих наряду с самими а, (з,... также их линейные комбинации у), у), А. Применив эту теорему к матричному элементу (77.1), мы представим его в виде суммы членов, каждый из которых будет произведением некоторых попарных средних. Среди последних будут встречаться свертки операторов у), щ, А с «внешнимив операторами— операторами рождения начальных или уничтожения конечных частиц. Эти свертки выражаются через волновые функции начальных и конечных частиц согласно формулам; 348 ИНВАРИАНТНАЯ ТЕОРИЯ ВОЗМУЩЕНИЙ ГЛ. У!!! Каждый из членов су.ммы., на которую разбивается матричный элемент в результате его раскрытия по теореме Вика, изображается определенной диаграммой Фейнмана. В диаграмме и-го приближения содержится и вершин, каждой из которых ставится в соответствие одна из переменных интегрирования один из 4-векторов лы хз, ...
В каждой вершине сходится три луча два сплошных (электронных) и один штриховой (фотонный), которым соответствуют электронные ф и су) и фотонный (А) операторы как функции одной и той же переменной ан При этом оператору ф соответствует приходящая в вершину, а 575.—. выходящая из нее линия. Для иллюстрации приведем несколько примеров соответствия между членами матричного элемента третьего приближения и диаграммами. Опустив знак интеграла, знаки операторов и знак Т, а также множители — ее у и пе выписав аргу.
ментов у операторов, напишем эти члены символически в виде а, (ЯАМИ)ЯАфИ555А5)г) = 1 — + — — м- фА 5рИ5)г А 5~5) Я А 75) = фАф)(фА~)фАф) =-+с. )-~+ Для наппядности электронные и фотонные свертки изобрагкены, как и на диаграмме,. соответственно сплопшыми и штриховыми дугами. Направление стрелок на электронных свертках (от ф к уг) соответствует их направлению на диаграммах. Для внутренних фотонных сверток направление безразлично (что проявляется и в четности фотонного пропагатора как функции х — ю').
Среди получаемых таким образом членов есть эквивалентные, различающиеся лишь перестановкой номеров вершин — соответствием между вершинами и номерами переменных хмюз,..., т. е. попросту обозначением переменных интегрирования. Число таких перестановок равно пй Оно сокращает множитель 1)п7 фотоны. Ситуация здесь такая гк, как и при вычислении Тге„в З 76. В силу релятивистской и калибровочной инвариантности достаточно доказать теорему для тех произведений (т. е. компонент тензора (О~ТА„А,... ~О)), которые определяются поперечныъ5н частями потенциютов.
Тем самым она будет доказана и для любых произведений. 1 77 ОНЩИЕ НРАВИЛЛ ДИЛГРАЪ|Ъ|НОЙ ТЕХНИКИ в (77.1), после чего учитывать диаграммы с перестановкой вер- шин уже не надо. С этим обстоятельством мы уже сталкивались в ~ 73, 74. Так, эквивалентны две диаграммы второго приближе- ния: (фАф)(фАф) = /; фАф) фАф) = 1. ( (77 5) |ФЛФ||Ф |Ф| =---С:.-- имеет петлю с двумя вершинами. Сохранение направления вдоль электронной линии является графическим выражением сохранения заряда: «входящий» в кажду|о вершину заряд равен «выхо- дящему7Ф из нее заряду. Расположение биспипорных индексов вдоль непрерывной электронной линии соответствует записи матриц слева напра- В (77.4) и (77.5) изображены только внутренние свертки, которым соответствуют внутренние линии диаграмм (виртуальные электроны и фотоны). Оставшиеся свободными операторы свертываются с теми или иными внешними операторами, н результате чего устанавливается соответствие между свободными концами диаграмм и теми или иными начальными и конечными частицами.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
