IV.-Квантовая-электродинамика (1109681), страница 63
Текст из файла (страница 63)
2 76). Линии, отвечаю1цие начальным и конечным частицам, называют онеи1ннмн 5п1ниями или свободными концами диаграммы. Диаграммы (73.13) и (73.14) отличаются друг от друга обменом двух свободных электронных концов (рз н р4). Такая перестановка двух фермионов меняет знак диаграммы; это правило соответствует тому, что в амплитуду (73.11) оба члена входят г разныл1и знаками. л4ы будем в дальнейшем всегда пользоваться диаграммами Фейн»1ана в описываемом, импульсном, представлении. Отметим, однако, что эти диаграммы могут бытытриведены в соответствие с членами амплитуды рассеяния также и в их первоначальном --. координатном представлении (интегралы (73.10)). Роль электронных амплитуд при этом играют соответствующие координатные волновые функции, а пропагаторы берутся в координат- ленные к вершине, отвечают начальным электронам; им сопоста; вляются множители и биспинорные амплитуды соответствующих электронных состояний.
«Выходящие» сплошные линии, направленные от вершин - конечные электроны, этим линиям сопоставляются множители и. При «прочтении55 диаграммы указанные множители записываются слева направо в порядке, соответствукпцем передвижению вдоль сплошных линий против направления стрелок. Обе вершины соединены штриховой линией, отвечающей оиртуаль51ому (промежуточному) фотону, «испускаемому» в одной вершине и «поглощаемому» в другой; этой линии сопоставляется множитель — »Р (к).
4-импульс виртуального фотона к определяется Всохранением 4-импульса в вершине»: равенством суммарных импульсов входящих и выходящих линий; в данном случае й = р1 — рз = ра — рв. Помимо всех перечисленных множителей, диаграмме в целом приписывается еще общий множитель ( — »е)~ (показатель степени —.число вершин в диаграллме), и в таком виде она входит слагаемым в 1МЛ. Аналогичным образом второй член в (73.11) представляется диаграм- мой 330 ИНВАРИАНТНА51 ТЕОРИЯ ВОЗМУЩЕНИЙ гл. Мн! ном представлении. Каждой вершине отвечает одна из переменных интегрирования (х или т' в (73.10)), множители, приписываемые пересекающимся в одной вершине линиям, берутся в функции этой переменной.
Рассмотрим теперь взаимное рассеяние электрона и позитрона; их начальные импульсы обозначим соответственно р и рь, а конечные р и р 1 1 Операторы рождения и уничтожения позитронов входят в л)5-операторы (73.6) вместе соответственно с операторами уничтожения и рождения электронов. В то время, как в предыдущем случае уничтожение обеих начальных частиц обеспечивалось оператором лр, а рождение обеих конечных-- оператором л)1, здесь роль этих операторов противоположна по отношению к электронахл и позитронам. Поэтому сопряженной функцией ф( — рл.) будет описываться теперь начальный позитрон, а конечный позитрон функцией л)5( — рт~) (причем обе от 4-импульса с обратным:знаком).
С учетом этого различия получим в результате амплитуду рассеяния ') М71 = — е. (й(р' )-~ли(р ))Р„,(р — р' ))(й( — рл )7'и( — ра)) + +ее(и( — Рт)УИН(Р )))л,1Р +Рт)(и(Р' )У'и( — Р',)). (73.15) Первый и второй члены в этом выражении представляются следующими диаграммами: (73.16) р'- и- -Рр« Р-1- — и-1- Правила составления диаграмм меняются лишь в части, касающейся позитронов.
По-прежнему входящим сплошным линиям сопоставляется множитель и, а выходящим и. Но теперь входящие линии отвечают конечным, а выходящие начальным пози- 1 ) Для рассеяния нетождественных частиц общий знак амплитуды однозначен. Ои определяется тем, что в Л73.3) «внешние» операторы должны быть расположены «аким образом, чтобы оба электронных оператора стояли по краям: (0)а ь ...6~а !О) (или же оба в середине), этим условием обеспечивается «одинаковый знак» иачшп ного и конечного состояний вакуума. Общий знак амплитуды можно проверить и по перелятивистскому пределу: мы увидим далее (см.
3 81), что в этом пределе второй член в (73ялб) стремится к нулю, а первый - к борновской амплитуде резерфордовского рассеяния. ДИАГРАММЫ ФЕЙНМАНА ДЛЯ РЛССКЯНИ51 ЭЛЕКТРОНОВ 331 1тз тронам, причем импульсы всех позитронов берутся с обратным знаком. Обратим внимание па различный характер двух диаграмм (73.16). В первой диаграмме в одной из вершин пересекаются линии начального и конечного электрона, в другой вершине то же самое для позитрона. Во второй же диаграмме в каждой из вершин пересекаются линии электронов и позитронов — начальных и конечных; в верхней как бы происходит аннигиляция пары с испусканием виртуального фотона, а в нижней рождение пары из фотона.
Это различие отражается и в свойствах виртуальных фотонов в обеих диаграммах. В первой диаграмме (диаграмма Врассеиватсльного» типа) 4-импульс виртуального фотона равен разности 4-импульсов двух электронов (или позитронов); поэтому И < О (ср. (73.1)). Во второй же диаграмме («аннигиляционной») й~ = р +рэ, и потому 1е'~ ) О. Отметим в этой связи, что для виртуального фотона всегда е~ у= О, в отличие от реального фотона, для которого А~ = О. Если сталкивающ)леся частицы не тождественны и не являются частицей и античастицей (скажем, электрон и мюон), то амплитуда рассеяния изобразится всего одной диаграммой: (73.17) „ьу оо Диаграмела же аннигиляционного или обменного типа в этом случае невозможна. Мы получим этот результат аналитически, написав оператор тока как сумму электронного и мюонного токов 5В) + .(Р) фВ)„,~(В)) + (1)(Р),у,~фв)) и взяв в произведении у" (х)~т~(х') матричные элементы от членов, производящих требуемые уничтожения и рождения частиц.
Вернемся к процессам первого порядка, запрещенным, как было указано в начале параграфа, законом сохранения 4-иьшульса. Матричные элементы оператора У~5 = — ге 5(х)А(л) д~л (73.18) для таких переходов отвечают рождению или уничтожению «в одной и той же точке т55 трех реальных частиц: двух электронов я одного фасона. Они возникают в результате свертывания операторов у5(х) и 5)1(сн) в одной точке х и определяются (например, 332 ИНВАРИАНТНАЯ ТЕОРИЯ ВОЗМУЩЕНИЙ ГЛ. ЧН! для испускания фотона) интегралами Вида О71 = — 1е фз(х)Ф1 (хн уА*(х)) 11Ах, обращаю1цимися в нуль благодаря наличию в подынтегральном выражении множителя ехр( — 1(р1 — рз — к)х) с отличным от нуля показателем.
На языке диаграмм это значит, что равны нулю диаграммы с тремя свободными концами ! 4'Й (73.19) Р1 Я1 По этой же причине невозможны процессы второго порядка, В НОтОрых участВОВали бы (В на.1альнОм и 11Онс п10М сОстояниях) шесть частиц. В матричном элементе О7,; соответствующих пе- реходов интеграл по 11~х 11~х' распался бы на произведение двух обращающихся в нуль интегралов по 114х и О14х' от произведений трех волновых функций, взятых в одной и той же точке. Други- ми словами, соответствующие диаграммы распались бы на две независимые диаграммы вида (73.19). й 74.
Диаграммы Фейнмана для рассеяния фотона Рассмотрим другой эффект второго порядка — рассеяние фохопа на электроне (эффект Комптонп). Пусть в начальном состоянии фотон и электрон имеют 4-импульсы Й1 и р1, а в конечном Йз и рз (а также определенныс поляризации, которые для краткости не указываем). Фотонный матричный элемент (2~ТАЙ(х)А„(х')~1) = (О~СЙТАЯ(х)А„(х')СР~О), (74.1) де А = ~(СИАЙ+ с,~А,*,). Свертывая внешние и внутренние операторы, получаем (74.1) = сгАН А',,С1~ +С2 АНА',,с~~ —— Аз А'„, + А1НА~Р (74.2) (при этом учтена коммутативность операторов с1, сз, по этой жс причине знак Т в данном случае может быть опущен). Электронный матричный элемент (2~Ту" (х)1 (х')~1) = (О~ОП(1(Руиф)(ф у'Ч1')а~1~0).
(74.3) ДИАГРАМА)Ы ФКЙНМАНА ДЛЯ РАОСЕЯНИЯ ФОТОНА В нем фигурируют четыре ф-оператора. Только два из них будут заняты уничтожением электрона 1 и рождением электрона 2, т. е. будут свернуты с операторами й~~ и аг. Это могут быть операторы 7)7, 7)7 или 7)7', 7)7 (но не 7(), 7у) или «у7', «у7'; рождение и уничтожение в одной и той же точке я: или х двух реальных электронов вместе с одним реальным фотоном приводит к равному )7ул7о выражению).
Произведя свертывание двумя способами, получим в матричном элементе (74.3) два члена; выпишем их сначала в предположении 1 > 1'. (74.8) )777) = Я7"«)Я7" «), 7 )«7Ф«))«7"«), . )7А7) В первом члене свертываются операторы а27Р— ) а~а7 фэ7 7)7 а4 — + й)а7' «Р). Поскольку операторы йэйэ~ и йуй44 диагональны и стоят на краях )троизведения, они заменяются их средним по вакууму значени- ем, т. е. единицей.
Для аналогичного преобразования второго члена в (74.4) надо сперва «протащить» оператор йз» налево, а йу направо. Это осуществляется с помощью правил коммутации операторов йр, а+р, в силу которых (йр, ф(~. = (йрт, ф(~. = О, (74 5) (йр,«У))4 — — 7)7р, (йр,7(7)4. — — 7))р.
В рсзульнате выражение (74.4) преобразуется к виду (О~Я;у"Иксу'4) — (~у"~,)Му'~')~О), у > у' (74.8) (разумеется, усреднению подвергаются лишь операторные мно- жители). Аналогичным образом при 7', < 77 получим выражение, отличающееся перестановкой штриха и индексов у«, Рл (О~ — (7(7сУ 7(77)(7777 УР7)7) + (7)77 У'7)) )(ф'Ун«)7')))О) 1 < 1.
(74 7) Оба выражения можно записать в едином виде, введя хроно- логическое произведение 7(7-операторов согласно определению Тф,(х),)в(х') = 1 Ь«(")~"(') ~-~ь(*)й(-), > (47 й --биспинорные индексы). Тогда первые и вторые члены в (74.6)7 (74.7) можно записать единым образом: 7)77 ур(О~Т7(7 ф /О) у'7))7 + ф~ у'(О/Т~!' ЯО)у" фу (74.9) (7)7 7)7 обозначает матрицу ффь). 334 ИНВАРИАНТ55А5С ТЕОРИЯ ВОЗМУЩЕНИЙ гл.
'сс!! Об)сатин внимание на то, что в естествеггно Возни~ше~ оп)зеделении 174.8) произведения операторов при 1 ( 1' и 1 ) 1' берутся с различными знаками. Этим оно отличается от определения Т-произведения, которым мьг пользовались для операторов А и у. Происхождение этого различия связано с тем, что фермионные операторы с)2, 2)2 антикоммутируют вне светового конуса 1в отличие от коммутирующих бозонных операторов А, а также билинейных операторов ) = 2)572)2) ') . Тем самым обеспечивается релятивистская инвариантность определения 174.8) (формальное доказательство правил комму.тации с)2-операторов будет дано в 75) ') . Введем электроннунз функцию распространения 1или электронный прсзиагатор) — биспинор в горого ранга Ссь(х — х') --- согласно определению С,ь(х — х') = — 2(О~Тф,(х)фь(хУ)~0).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
