IV.-Квантовая-электродинамика (1109681), страница 58
Текст из файла (страница 58)
Поэтому результат воздействия оператора перестановки частиц (Рш) на функцию (69.1) можно записать как Р5ЛФЗМЛ5Лг = и ( П)55ААГ( П)1/ — ( л~ — лг) (у) 2.1+ 1 СИММЬТРИЯ СПИРАЛЬНЫХ АМПЛИТУД РАССЕЯНИ5! 307 где по-прежнему Л = Л5 — Лз. Использовав затем (69.3) и (16.10), найдем Р5гФуАГЛ,Л, = ( — 1)см ФЗМЛ,Л„ (69.5) где в5 =за=а Для тождественных частиц допустимы состояния ли5пь симметричные (для бозопов) или лишь аптисимметричные (для фермиопов) относительно перестановки. Поскольку первый случай имеет место при целом, а второй при полуцелом спине частиц в, в обоих случаях допустимые спиральные состояния системы двух частиц можно записать в виде линейных комбинаций (1+ ( — 1) Р5з)5755мл5л„ или, согласно, (69.5) 575змл,А, + ( — 1) Юлил,л5.
(69.6) Заь5ечательно, что эта комбинация имеет единый вид для бозонов и фермионов. Для системы из частицы и античастицы результат перестановки выражается той же формулой (69.5). Однако, в отличие от случая тождественных частиц, здесь допустимы состояния обеих перестаповочных симметрий, т. е. обе комбинации 555 — 5Р',5АТА5АР ~ ( — 1) 5РзАТАРА5. (69.7) Эти состояния обладают определенными зарядовыми четностями С. Операцию зарядового сопряжения можно представить как результат полной перестановки всех переменных (спиновых и зарядовых) двух частиц с последующей обратной перестановкой спиновых переменных (спирвльностей). Результат первой операции должен совпадать с результатом порестановки в системе двух тождественных частиц.
Отсюда ясно, что при верхнем знаке в (69.7) (совпадающем со знаком в допустимом дпя тождественных частиц состоянии (69.6)) система будет зарядово-четна, а при нижнем знаке зарядово-нечетна; Сч5 = и-у5 Наконец, рассмотрим операцию обрап5ения времени. Волновая функция покоящейся частицы со спином я и его проекцией с преобразуется согласно тР,. = (-1)' ФА, .
(см. П1, (60.2)). Волновую функцию двух частиц в системе их центра инерции тоже можно рассматривать (в отношении трансформационных свойств) как волновую функцию «покоящейся частицы» с моментом 7 и его проекцией ЛХ. Что касается спиральностей Лы Лз, то они пе меняются: обращение времени меняет знак векторов импульса и момента, а потому произведения 308 Ъ|АТРИЦА РАССВЯНИ5! Гл.
Цп 1р це меняются. Таким образом, ТФ~мл,л, = ( — 1)' "Ф,55ил,л . (69.8) Теперь можно сразу написать соотношения симметрии для спиральных амплитуд. Если взаимодействие Р-инвариантно, то для реакции а+6 — 5 с+0 должны совпадать (при заданных 1 и е) амплитуды переходов !ЛРЛА) -+ !ЛАЛИ) и Р~Л,ЛА) -+ Р!ЛРЛД. Использовав (69.4), найдем поэтому (ЛРЛ ~Ь' ~Л,Л ) = = — '5"55( — 1)"~'" '" "( — Л вЂ” Ли~Я~~ — ЛА5 — ЛЬ).
(699) Ч 515 Если же вместо состояний с определенными спиралыГостями выбрать состояния с определенными четностями, т. е. комбинации 1 —;(Фпмл,л, ~ РФглтл,л,) А/2 (где ЛГЛ2 = Л ЛА или Л,Ли), то обратятся в пуль амплитуды переходов, не сохраняющих четность. Обращение времени преобразует каждое состояние согласно (69.8) и, кроме того, переставляет начальные и конечные состояния. Поэтому Т-инвариантность приводит к соотношениям (Л ЛН~ЯГЯ~Л ЛА) = (Л ЛА|Б'5Я~ЛРЛН) (69.10) Эти две амплитуды, однако, относятся к разли 5ным процессам (прямая и обратная реакции). Лишь в случае упругого рассеяния оба процесса по существу совпадают, и тогда (69.10) представляет собой определенную связь между спиральными амплитудами одной и той же реакции.
При упругом рассеянии двух тождественных частиц число различных амплитуд уменыпается еще и в силу перестановочной симметрии. Мы видели, что при заданном,7 осуществляются либо только симметричные, либо только антисимметричные по Л1, Л2 состояния. Тем самым сохранение момента автоматически означает сохранение также и симметрии по отношению к перестановке спиральностей. Ана55огичная ситуация имеет место при упругом рассеянии частицы на античастице (или при превращении такой пары в другую пару, т. е, при реакции вида а + а -э 6 + 55). При заданном 1 существуют как симметричные, так и антисимметричные по Л1, Л2 состояния, но этим состояниям отвечают разные ЗО9 СИМУ|ЬТРИЯ СПИРАЛЬНЫХ АМПЛИТУД РАССЕЯНИ5! значения зарядовой четности системы.
Отсюда следует, что если взаимодействие частиц С-инвариантно, так что зарядовая четность сохраняется, то переходы между состояниями различной симметрии по Л1, Лз запрещены ') . Подчеркнем, однако, отличие от шгучая тождественных частиц, когда при каждом заданном 5 состояния одной из симметрий вообще отсутствуют.
В случае же «частица — античастица!5 запрещены лишь переходы между состояниями различной симметрии, хоти сами эти состояния (для каждого,7) существуют. В силу универсальной СРТ-инвариантности существование Т-инвариантности означает также и СР-инвариантность. Последняя приводит к равенству амплитуд двух реакций, из которых одна получается из другой заменой всех частиц античастицами (и изменением знака спиральностей), причем Л вЂ” = — Ла, ... '): (Л«Л„~~'~Л«Л,) = (ЛаЛ-„/Ф/ЛПЛ-,). (69.11) Число независимых амплитуд одинаково для всех кросс-каналов одной и той же обобщенной реакции; поэтому для оп)>еделения этого числа можно рассматривать любой из каналов.
Так, одинаковым числом независимых амплитуд описываются упругое рассеяние и + Π— Э а + 15 и аннигиляция а + а — Э 6+ б. При этом ограничения, налагаемые в первом случае Т-инвариантностью, эквивалентны ограничениям, налагаемым во втором случае С-инвариантностью. Остановимся еще на реакции распада одной частицы на две: а — 1 б+ с. В системе центра инерции (система покоя частицы а) ИМЕЕМ РЬ = — Рс.
УМНОЖИВ На Р!, РаВЕНСтВО ) =1Ь+ )с, ПОЛУЧИМ Л = Ль — Л (69 12) (спиральность Лв первичной частицы определена как проекция ее спина па направление импульса одной из вторичных частиц). Это соотношение является, можно сказать, следствием дополнительной симметрии, которой обладает данный процесс: аксивльной симметрии вокруг направления рь и р . Если спин первичной частицы за ( за + зс, то соотношение (69.12) уменыпает число допустимых наборов значений Л„Лм Лс и тем самым число независимых спиральных амплитуд распада. Полный момент 1 в данном ш5учае совпадает со спиноы первичной частицы з, так что является фиксированной величиной. ) йню5огичный запрет может возникнуть и как следствие нзотопической ннвариаптпоети взаимодействия нетождвственных частиц.
Так, с точностью до этой инвариантности запрещены переходы между состояниями различной симметрии по Л5, Ле при рассеянии нейтрона протоном. ~) Поскольку эти две амплитуды относятся к различным реакциям, интереренция между которыми тем самым невозможна, фазовый! Множитель в 69.11) вообще не имеет смысла и его можно положить равным 1.
Реальным смыслом обладает лишь следующее из (69.11) равенство сечений. мАТРицА РАссвяни55 Гл. Мп Р-инвариантность при распаде выражается соотношением (ЛьЛс)Я (Л„) = — "' '( — 1)'" " в"'( — Ль — Лс)Я ( — Л„) (69.13) <Л„Л,~Я'~Л.) = <Л-,Л-,~Ф~Лн) (69.14) причем Л вЂ”, = — Л„... ), т. е.
к равенству вероятностей распада частицы и античастицы. Если частица может распадаться различными способами (по разным каналам), то это равенство относится к каждому из каналов. Подчеркнем, однако, что этот результат предполагает соблюдение СР-инвариантности, нс являющейся универсальным свойством природы. Универсальный характер имеет лишь СРТ-инвариантноствб это требование само по себе привело бы лишь к равенству (Л,Л,~Ф~Л.) = <Л-.~Ф~Л-,Лв), в котором правая сторона относится к процессу.. .обратному распаду. )Лйы увидим ниже (см. 9 71), что условие СРТ-инвариашгности вместе с требованиями унитарности все же приводит к некоторому, хотя и более ограниченному соотношению для вероятностей распада частицы и античастицы. Задачи 1.
С помощью (69.6) получить классификацию возможных состояний системы двух фотонов. Р е ю е н и е. В этом случае Л5, Ле = х1. 11ри четных,1 (1 > 0), согласно (69.6), допускаются три симметри щых по Л5 Лэ состояния: а) 5555555 б) 5й5м 5.-Р в) щзА55-5 -Ь 5р555-55. (здесь использован наряду с (69.4) также и закон преобразования волновой функции одной частицы (16.16)).
Когда первичная частица истинно нейтральна, дальнейшие ограничения возникают, если сохраняется С-четность. Здесь надо различать три случая. Если продукты распада тоже истинно нейтральны, то должно быть С = САСс; это условие либо запрещает распад вовсе, либо удовлетворяется, не приводя к новым ограничениям. Еспи частицы 6 и с вообще различны, то С-инвариантность устанавливает соотношение между амплитудами различных процессов: а -+ 6+с и а -э 15+С. Наконец,. для распада а — э 6+6 во:зннкает ограничение, связанное с тем, что при заданной зарядовой четности С и заданном полном моменте 7 = ва система может находиться .лишь в состояниях либо симметричных, .либо антисимметричных по спиральностям — в зависимости от четности числа 1 и знака С. СР-инвариантность приводит к равенству амплитуд распадов а -Э 6+ с и а -Э 55+ с: СИММЕТРИЯ СПИРАЛЬНЫХ АМПЛИТУД РАССЕЯНИ5! При нечетных,7 (,У > Ц допускается одно антисимметрнчное состояние: г) гымг-! — 6ггм-г! Состояния в) и г) обладаю! в то же время определенной (+Ц четиостью! согласно (69А) Р(йгмг-! ~бгггг-г!) = ~( — Ц (бцмг-! ~~Ум-и)! множитель х( — Ц = 1, так как верхний знак относится к четным, а ниж- 5 ний — к нечетным значениям У.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
