IV.-Квантовая-электродинамика (1109681), страница 53
Текст из файла (страница 53)
Отметим, что ширина линии оказывается, вообще говоря, не равной вероятности Г1,2 самого перехода 1 — > 2, т. е, не пропорционалыгой интенсивности линии [как это было бы в классической теории). Поскольку Гг+ Гэ ) Г! гз, линия может иметь большую ширину при сравнительно малой интенсивности. ') В более сложных случаях игг -- полная вероятность всех каскадов, начинающихся с перехода 1 — ! 2 и заканчивающихся на уровне О.
жизни состояния 2, то это приведет в [62.11) только к замене Е2 — 'г Е2 — гТ2)г2г так что 281 РЕЗОНЛНСНЛ55 ФЛУОРВСЦЕНЦНЯ 9 63. Резонансная флуоресценция Учет конечной ширины уровней в задаче о рассеянии света существен в случаях,. когда частота, ь5 падающего света близка к одной из Епромежуточных» частот ц5Н5 или ь52„так называемая резонансная ф55уоресз?енцил ( ?х.
Б'е»ззеор~, 193Ц. Рассмотрим несмещенное рассеяние системой ?скажем, атомом) в основном состоянии, так что начальный и конечный уровни совпадают и строго дискретны. Пусть частота света близка к некоторой частоте ц5„ы где уровень н возбужденный, а потому квазидискретный. Этот вопрос можно было бы решить методом, изложенным в предыдущем параграфе. В этом, однако, нет необходимости, поскольку задача полностью аналогична рассмотренной в т. П1, 8 134:задаче о перелятивистском резонансном рассеянии на квазидискретном уровне. Согласно полученным там результатам амплитуда рассеяния должна содержать полюсный множитель ~о5 — (Е51 — » — ' — Е4) ~ (5?»„е'")?54 5е) 5?о = ц5 5?о. (»5„~ — и)» + Г», /4 (63.1) Суммирование производится по всем состояниям ?с различными проекциями момента М„), отвечающим резонансному уровню Е„: состояния 1 и 2 относятся к одному и тому же (основно5му) уровню, по могут различаться значениями М4 и М2.
Сечение (63.1) максимально при оз = оз„п По порядку величины его значение в максимуме равно оя5., 5о о? /Гн. Поскольку 4 4 2 вероятность спонтанного перехода п — » 1, а с ним и ширина Г„ имеют порядок 5о 5?, это значение — 2 52 ОЯ5ах Ш Л (63.2) т. е. порядка квадрата длины волны света и не зависит от постоянной тонкой структуры вместо типичных зна 4ений г, впе области резонанса. Подчеркнем, что поскольку атом до и после рассеян5ля находится на строго дискретном (основном) уровне, то и частоты первичного и вторичного фотонов строго совпадают. Поэтому при С другой стороны, при ~оз — ь5„4 ~ >> Го формула должна переходить в нерезонансную формулу (59.5). Отсюда ясно, что искомое сечение рассеяния получится просто заменой Е„на ń— гГ„,52 в формуле (59.5), причем в сумме по п можно ограничиться лишь резонансными членами 282 гл.
ч! РАССЬ5!НИЕ СВЕТА облучении монохроматическим светом монохроматичным будет и рассеянный свет. Коли же падающий свет имеет спектральное распределение интенсивности г(го), причем функция г(го) мало меняется на ширине Гв, то интенсивность рассеянного света будет пропорциональна П<5в!)гл!5 (63.3) ( — „,)в Л-Г„,Ч' Другими словами, форма линии рассеяния будет совпадать с ес'тественной формой линии ггри спонтанном испускании с уровня Е„,. Сечению (63.1) отвечал.т тснзор рассеяния Е „64) -И )- 1С7ь)йг ьг„! — ьг — гГ Г!2 (63.4) В частности, тензор поляризуемости ЕА5„(4*) -Иг).
гггь = 1сикц! = ы ! — ьг — гГ„552 (63 5) (погл) 4 2 ~~, з ~с) ~2„Г 52 АЛ„, к)(ы — ыю)' л- Г'гг4) В пределе Г, — л 0 последний множитель в этой формуле стремится к д-фу!!ниии б(го — нгггг), в соответствигл с тем, что в этом случае может поглощаться .лишь фотон строго определенной частоты. Пусть на атом падает свет со спектральной и угловой ) Подчеркивал, что речь идет о поглощении системой, находящейся в стабильном, основном состоянии. Ввиду конечности времени опыта постановка вопроса для возбужггениого состояния была бы другой.
Сразу же отметим, что прибавление мнимой части к уровням энергии промежуточных возбужденных состояний нарушает эрмитовость тензора поляризуемости и при частотах ниже порога ионизации. У него появляется мнимая часть, непосредственно связанная с поглощением света. Поглотив квант, атом рано или поздно вновь перейдет в основное состояние с испусканием одного или нескольких фотонов. Поэтому с такой точки зрения сечение поглогцения есть просто полное сечение ог всех возможных процессов расс'еяния ') .
С другой стороны, согласно формуле (59.25), выражающей собой оптическую теорему, это сечение определяется антиэрмитовой частью тензора поляризуемости. Подставив в (59.25) тензор сггь из (63.5), найдем следующую формулу для сечения поглощения фотона частоты ог, близкой Озш: 283 РЕЗОНАНСНАЯ ФЛУОРЕСЦЕНЦНЯ плотностью потока энергии 1а (ср. ~44.7)). Тогда плотность потока числа фотонов равна — Йыдо, и вероятность поглощения 7 (погл) (погл) 1м (63.7) Если функция 1и (го) мало меняется на ширине Гп, то после ин- тегрирования по частотам получим ЙН вЂ” 4я ~ ~агин~ 1не(ЫЯ1) ГАНГ 4О.
АГ„ Заметив, с другой стороны, что, согласно (45.5), з , з д~~'"~ = ы ~~~ ~С$ГЯЕ*~ЕДО = ы ~~ ~С$п1Е~ЕДО 2л 2. м.„ М. есть вероятность спонтанного испускания фотона частоты гопы мы вернемся к формуле (44.9). ГЛАВА ЧП МАТРИЦА РАССЕЯНИЯ ~ 64.
Амплитуда рассеяния Общая постановка задачи о столкновениях состоит в том, чтобы по заданному начальному состоянию системы (некоторая совокупность свободных частиц) найти вероятности различных возможных конечных состояний (друтис совокупности свободных частиц). Если символ ~г) обозначает начальное состояние, то результат столкновения можно представить как суперпозицию ~Д(~~Я~г), (64.Ц Х где суммирование производится по различным возможным конечным состояниям ( Д. Коэффициенты этого разложения (((Я)г) (или в краткой записи оу,) составляют матрицу рассеяния, или о'-матрицу ') . Квадраты ~Яу,~2 дают вероятности переходов в определенные состояния ~Д.
В отсутствие взаимодействия между частицами состояние системы не менялось бы, чему соответствовала бы единичная о-матрица (отсутствие рассеяния). Удобно всегда выделять эту единицу, представив матрицу рассеяния в виде оу, = бгг + г(2л) б( )(Ру — Р)Три (64.2) где Тг, новая матрица. Во втором члене выделена четырехмерная б-функция, .выражающая закон сохранения 4-импульса (Р, и Рг суммы 4-импульсов всех частиц в начальном и конечном состояниях); остальные множители введены для удобства в дальнейшем.
В недиагональных матричных элементах первый член в (64.2) выпадает, так что для перехода г — г ~ элементы матриц о' и Т связаны друг с другом соотношением Я~, = г(2л) б(~~(Ру — Р,)Ту, (64.3) Матричные элементы ТВ, остающиеся после выделения б-функции, будем называть амплитудами рассеянии. При возведении модулей ~Яу,~ в квадрат появится квадрат д-функции. Его надо понимать следующим образом.
б-фу.нкция ) От английского слова всвмеппя или немецкого 61гепппя. 285 АМНЛИ'ГУДА РАСОКЯН145! возникает от интеграла, 5Н)(Р, — Ре) = — ' /.Ц' -")Ч'*. (64.4) (2я)4 1 Если же вычислять другой такой же интеграл пр14 Р) = Р, (в силу наличия уже одной о-функции), причем распространить интегрирование по некоторому большому, но конечному обьему Ъ' и интервалу времени г, то получится )'155(2я)4 ') . Поэтом1у можно написать ~2 12 )45(4)(р р)~Т ~2)г1 Разделив на $, получим вероятность перехода в единицу времени пз,,у = (2я)~оН)(Р1 — Р1)~1Ту;~ Ъ'. (64.5) Каждая из свободных частиц (начальных и конечных) описывается своей волновой функцглей плоской волной с некоторой амплитудой и (для электрона это биспинор, для фотона 4-вектор и т.
п.). Амплитуда рассеяния Ту; имеет структуру вида Туч = и1 из... Яи1иг (64.6) где слева стоят амплитуды волновых функций конечных, а справа — начальных частиц; сь5 есть некоторая матрица (по отношению к индексам компонент амплитуд всех частиц).
Наиболее важны случаи, когда в начальном состоянии имеется всего одна или две частицы. В первом случае речь идет о распаде, во втором о столкновении двух частиц. Рассмотрим сначала распад частицы на произвольное число других частиц с импульсами р', в элементе импульсного пространства П 41зр' (индекс а нул1ерует частицы в конечном состоянии, так что 2,р', = Ру).
Число состояний, приходящихся на этот элемент (и на нормировочный объем Г '), есть П' " 1543 5 (2я)з а На, эту величину надо умножить выражение (64.5)1 12 )45~4)(Р Р)1Т 125-П р а ) Это можно показать иначе. вычислив сначала интеграл по каждой из координат в (64.4) в конечных пределах и затем устремив пределы к бесконечности с помощью формулы (42.4) (см. 111): зш 156 11ш, = яа(о).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
