IV.-Квантовая-электродинамика (1109681), страница 48
Текст из файла (страница 48)
Его матричные элементы: 'Р'„1 = — Ьъ 2лог (ег1„1), Ъ~„= гН 2иог' (е'*ггзн). Подставив эти выражения в (59.2), (59.3), получим сечение рассеяния (пишем его в обычных единицах) '); 51 = ~(1 '" )1 ' ) 1 '" )1 ' )) — 51о' (595) м„г — ог — го аг„г + ы — гО йгсг п I нг — ог = нг12.
бог„г = ń— Ем ') Эта формула была впервые получена Кремерсом и Гейзенбергом ЬН. А. Кгопгег»., Иг. НегаеггЬегй, 1925) ееде до создания квантовой механики. 256 Гл. Ч! РАссь5!нне с!Вита Суммирование производится по всем возможным состояниям атома, включая состояния непрерывного спектра (при этом состояния 1 и 2 автоматически выпадают из суммирования, поскольку диагональные матричные элементы с111 = дая = 0). Бесконечно мш!ые мнимые добавки в знаменателях соответствуют обычному правилу обхода полюса в теории возмущений (сы. П1, 3 46): к энеРгиЯм пРомежУточных состоаний Еп, по котоРым происходит суммирование, добавляется бесконечно а!алая отрицательная мнимая часть. Правило обхода существенно, когда полюсы выражения (59.5) по переменной Ев попадают в область непрерывного спектра (так, если состояние 1 основное состояние атома, то для этого г!о! должно превышать порог ионизации атома) ') .
Введем обозначение (обычные единицы) ') ( ) = — з ! ~ *)'"'~ О"' ~ ')'*'! *)гм 1 (59.6) 6 ~ — ~ ~ы„! — ы — гО и !+ы' — г01 (!з к = т, у, з трехмерные векторные индексы). С его помощью формула (59.5) перепишется в виде (59.7) Обозначение (59.6) оправдано тем, что эту сумму действительно можно представить как матрн пгый элемент некоторого тензора. В этом проще всего убедиться, введя векторную величину Ь, оператор которой удовлетворяет уравнению зЬ + и!Ь = с1. Ее матричные элементы с1„! Ьв! ы — ы ! с1з„ Ь2в— ыз-ы з так что (сгв)91 = (5ап! — с!!51)з! (59.8) Матричные элементы (сгв)з! будем называть тензором, рассея; ния света.
Из сказанного следует, что правила отбора для рассеяния совпадают с правилами отбора для матричных элементов произвольного тензора второго ранга. Сразу же отметим!, что если система имеет центр симметрии (так что ее состояния могут ) Длн молекулы роль порога иопизации в данном аспекте играет порог диссоциации на атомы. ') Болыпинство результатов, излагаемых в 9 39-61, принадлежит Плевену (С, Р1асхек, 1931 — 1933). 257 1 59 тьнзоР РАссеяния классифицироваться по четности), то переходы возможны лишь между состояниями одинаковой четности (в том числе без изменения состояния).
Это правило противоположно правилу отбора по четности при излучении (электричсски-дипольном), так что имеет место а.льтернативный запрет: переходы, разрешенные в излучении, запрещены в рассеянии, а разрешенные в рассеянии †запреще в излучении. РаЗЛОжИМ тЕНЗОр Сгь. На НЕПрИВОдИМЫЕ ЧаетИ: сгь = с дгй + с.ь + сгьг О и а (59.9) где с = -с;гг сгь — — -(сгь+ сьг) — с дгь, с;„= -(суь — сы) (59.10) ,О 1 ,и 1 О ,а 1 —. соответственно ока,ляр, симметри шый тепзор (с равным «гулиг следом) и антисимметричный тензор. Их матричные элементы: (~та)21 ~, Мг)зп(С)гг)гг1+(511)2п(11г)п1] (С )21дгйг 2 (ог„г — аг)(аг„г + аг) п, (59.12) (59.13) г а г 2ш+агг ~з ~(гг )г (ггг) г — (ггг)г (гг )„г (Сга)21 2 (ш„г — аг) (ог„г + аг) гг 1 1 [(Сгк)2п(ггг)п1 (Сгг)2п(ггЬ)гг1) = (Сгвггг', гггггЬ)21 и ') Случай резонанса (когда аг близко к одной из частот ш„г или агг„) будет рассмотрен в З бз.
9 Л. Д. Ландау и Н.М, Лифшиц, том 1 г' (знаки обхода полюсов для краткости опускаем). Рассмотрим некоторые свойства тензора рассеяния в предельных случаях малых и болыпих частот фотона ') . Для несмещенного рассеяния (ог12 = 0) антисимметричная часть тензора при ог — 1 0 обращается в нуль (из-за множителя оз перед суммой в (59.13)). Скалярная же и симметричная части тензора рассеяния стремятся при ог — у 0 к конечным пределам. Соответственно сечение при малых ог пропорционально ог~.
В обратном случае, когда частота ог велика по сравнению со ВСЕМИ СущЕСтВЕННЫМИ В (59.6) ЧаСтОтаМИ Огп1, гап2 (НО, КОНЕЧНО, по-прежнему длина волны» о), мы должны вернуться к формулам классической теории. Первый член разложения тензора рассеяния по степеням 1/го равен 258 РАССЬ5!ВНЕ С!ВЕТА ГЛ. 551 и обращается в нуль в силу коммутативности В5ч, ХЬ. Следующий член разложения 1 х (с5ь) 2! .
7 (В52п (51ь)2п (515)55! (51!) ЕВВ5В! (!аде) и !) = —., (51ьь!! — 51551ь)з! 1 Используя определение с1 = 2 ег (сумма по всем электрона.м в атоме) и правила коммутации между импульсами и координатами, получаем (с5ь) 5! = — В5ь, (с5ь)2! = 05 (59.14) где Я общее число электронов в системе, т масса электрона. Таким образом.
в пределе болыпих частот в тензоре рассеяния остается лишь скалярная часгь, причем рассеяние происходит без изменения состояния системы (т. е. рассеяние целиком когерептно —. см. ниже). Сечение рассеяния в этом случае 51о = ! 22з~е5*е~~с1о5, (59.15) где г, = ее/Еп. После суммирования по поляризациям конечного фотона получим формулу а55т = Его(1 — (еп') )51о' = Т~У~В5п 0 51о'„(59.16) действительно совпадающую с классической формулой Томсона (см.
П, (80.7); 0 -- угол между направлением рассеяния и вектором поляризации падающего фотона). Рассмотрим рассеяние света совокушюстью Х одинаковых атомов, расположенных в объеме, размеры которого малы по сравнению с длиной волны. Тензор рассеяния такой совокупностью будет равен сумме тензоров рассеяния каждым из атомов. При этом, однако, надо учесть, что волновые функции (с помощью которых вычиш5яются матричные элементы дипольного момента) для нескольких одинаковых атомов, рассматриваемых одновременно, нельзя считать просто одинаковыми. Волновые функции по самому своему существу определены лишь с точностью до произвольного фазового множителя, и эти множители у каждого атома свои.
Сечение рассеяния должно быть усреднено по фазовым множителям каждого атома независимо. Тензор рассеяния (с5ь)з! каждого атома содержит множитель ег~"и ""), где !р5, !рз -фазы волновых функций на5ального и конечного состояний. Для смещенного рассеяния состояния 1 и 2 различны, и этот множите.ль отличен от единицы. В квадрате елодуля )е,*еь ~~5 (с5ь)25! 259 1 59 тензоР РАссеяния (сумма.. по всем Х атомам) произведения членов суммы, относящихся к различным атомам, будут содержать фазовые множители, которые обратятся в нуль при независимом усреднении по фазам атомов; останутся, лишь квадраты модулей каждого из членов.
Это значит, что полное сечение рассеяния гу' атомами получится умножением на Лг сечения рассеяния па одном атоме (рассеяние некогерентно). Если же начальное и конечное состояния атома совпадают, то множители е'('" "') = 1. Множителем йг будет отлглчаться в этом случае амплитуда рассеяния совокупностью атомов от амплитуды рассеяния на одном атоме, сечение же рассеяния— соответственно множителем Хз (рассеяние когерентно) ') . Если уровень энергии атома пе вырожден, то несмещенное рассеяние будет, таким образом, полностью когерентным. Если же уровень энергии вырожден, то будет иметься также некогерептное несмещенное рассеяние, происходящее от переходов атома между различными взаимно вырожденными состояниями.
Отметим, что последнее представляет собой чисто квантовый эффект: в классической теории рассеяние без изменения частоты всегда когерентно. Тензор когерентного рассеяния дается диагональным матричным элементом (ось)11, обозначим его через сггь (опустив для упрощения обозначений индекс, который должен был бы указывать состояние атома). Согласно (59.6) ( ) ( ) Хт ~(А)п 0)г);1 (г(е)н(ш)РН1 (59 17) ~-~ ~и 1 — ш — 10 ш 1 -'и ш — 10) Это выражение можно представить также в виде Г Г ее )' ~5 „1 С ((р)ы(ре) ~ (рг)1-(15)-11), тше ). ки ~-~ (ш,п — ш — 10 ш„1 + ш — 10) .) и (59. 18) где выделено предельное выражение (59.14).
Здесь р — — суммарный импульс электронов атома, в эквивалентности этих формул легко убедиться, заметив, что матричные элементы импульса и дипольного момента связаны друг с другом соотношениями ЕРги/т = Маг С1пм и учтя соотношения, использованные при выводе (59.14). Если сумма или разность Е1 асс не совпадают пи с одним из уровней энергии атома Е„(в том числе в области непрерывного ) Заметим, что множитель У в формулах (59.15), (59.16) имеет ту же природу: сечение когерснтного рассеяния на У электронах одного атома в о~ раз больше сечения рассеяния на одном электроне. 260 Гл.
(г! Рлссьяние светл Это означает, что его скалярная и симметричная части вещественны, а антисимметричпая -- мнима. Отметим, что антисимметричная (асть заведомо обращается в нуль, если атом находится в невырожденном состоянии; волновая функция такого состояния вещественна, а тем самым вещественны и диагональные матричные элементы. ТензоР о,ь свмзан с полЯРизУемостью атома во внешнелг электрическом поло.
Чтобы установить эту связь, вычислим поправку к среднему значению дипольного момента системы, еш(и система помещена во внешнее электрическое поле — (Ее * '+ Е'ег"'). (59. 20) 2 Это можно сделать, воспользовавшись известной формулой теории возмущений (см. Ш, 2 40): если на систему действует возмущение рс — иМ + и'"з-Егг( то поправка первого порядка к диагональным матричным эле- ментам некоторой величины 2 равна (о> (о( ~11) г1) ~~ ~ г(„гьг + Х г гг„1 гегг + (.
(лгго — аг — гО ю„( + м + гО) (0( * (е(,„ „ Г уг. Рг' , ~; 2"-' 1,г 1) Гьг,г -Ьыг — гО ю„г — ы+гО) (возмущение гг должно рассматриваться как бесконечно медленно включающееся от 2 = — оо, так что в первом члене аг должно пониматься как о(+ 10, а во втором как ог — 10; в соответствии с этим и написаны мнимые добавки в знаменателях). В данном случае Р = — с1Е((2 и поправка к диагональному матричному элементу дипольпого момента оказывается равной 0<1) 1( —,1 — г+ —,1* 1 1) (59.21) ы 2 где 11 - вектор с компонентами — (гг) (1г = Огь Еьг (59.22) ') Этот результат связан с пренебрежением естественной шириной линии, а тем самым и с возможностью поглощения падаюгдего света (слг.
1 62). спектра), можно опустить члены 10 в знаменателях. Заметив, что Р(В = РВ(г НайДЕМ тОГДа, ЧТО тЕНЗОР Стг(г ЭРМИТОВ ): стг(г = гт(гг' (59.19) 261 1 59 тьнзоР РАссеяния причем выражение для тепзора гг,ь (со) отличается от выражения (59.17) для сгсв обратным знаком мнимой добавки в знаменателе второго члена.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
