IV.-Квантовая-электродинамика (1109681), страница 46
Текст из файла (страница 46)
Икиклятивистский ссгучая 1 56 Нужный нам интеграл вычисняотся с помощью формулы е 'кт г (сг, 7. Ьск)61к = Г(7)Л т(Л вЂ” Ь) о (см. П1, (1. 3)). Заметив также, что и + 7 ) — 2Р агсгак и ( =е и — 7 ПОЛУЧИМ 2779 а е — 2иагссгв и 2 7ги (пе) ,а ( ° "Гм 97 -.- * Энергия ионизации с основного уровня атома водорода (или водородоподобного иона) 1 = Хзе4тп72.
Поэтому 9 2 Р +аг Й (1+ 2) (56.10) 2т 2гк Учитывая это соотношение, пишем окончательное выражение для сечения фотоэффекта с испусканием электрона в элемент телесного угла 74о; — 4и агсссв и аг 27 2(4 ) ( )21 (56.11) (пе) -+ — [пвп), 2 где пе = 1677Ь (см. (45.4б)). Интегрирование же формулы (56.11) по углам дает полное сечение фотоэффекта: 9 7 7 4 е — 4РагссгаР Сг= — Оа ( — ) (56.12) 1 — с 2Р (М. СтсЬЬК, 1930). Предельное значение о при ггсс — 7 4 (т. е.
и — ~ сс): 9 9, 9 9 9 9 2К 2 2Я "аа 0,23"9 Зс' Зса га ' га (56.13) где а = 74277(тИ 62) = а6774 (здесь и ниже обычные единицы). Отметим, что угловое распределение фотоэлектронов определяется множителем (пе) . Он максимален в направлениях, параллельных направлени7о поляризации падающих фотонов, и обращается в нуль в перпендикулярных вектору е направлениях, в том числе в направлении падения. Для неполяризованпых фотонов формула (56.11) должна быть усреднена по направленияаи е, что сводится к замене гл у излу !ение (в знаменателе е = 2,71...!). Как и должно быть для реакции с образованием заряженных частиц (см. П1, 8 147), сечешле фотоэффекта вблизи его порола стремится к постоянному пределу.
Случай же око» 1 (причем по-прежнему бгс « пчс2) отвечает борновскому приближению (и = Ле2/(йе) « 1). Формула (56.12) принимает вид (56.14) 21лз о рок — пф рз (р = гптг импульс падающего электрона, 1с емого фотона). (56.15) импульс испуска- Задачи 1. Получить формулу (56.14) путем прямого использования борновского приближения в нерелятивистском случае. Р е ш с н и в. В борновском приближонии в качество ЛУ в формуле (56.5) надо писать просто плоскую волну лс = с и, а Л5 - по-прежнему функция (56.6).
Тогда 1 /, з р (Хс'т)'~' я,л, т~з = ч,л = — ~ фри'г1' в = — (с ' ')р. т,/ т угя Фурье-компонента дается формулой (57.66), так что уг, — 8угяр зт~Лз(2е~)ывп. Подставив в (56.5) и проинтегрировав по до, получим (56.14) (при этом, с достаточной точностью, р 7(2т) и). 2. Определить полное сечение радиационной рекомбинации быстрого перелаз ивистского электрона (1 « пир « тсз) с ядром (заряд Я « 137).
(1е = елт/(262) энергия ионизации атома водорода). Процессозл, обратнывл фотоэффекту, является радиационная рекомбинация электрона с неподвижным ионом. Сечение этого процесса (ор„,) можно найти лю сечению фотоэффекта (оф) с помощью принципа детального равновесия (Ш, 8 144). Согласно этому принципу сечения процессов г — э 7 и 1 -+ 1 (с двумя частицами в каждом из состояний л и 1) связаны соотношением 2 2 ЙРл о~-~7 = Куруггр-лб где Р,, Рг-- импУльсы относительного движениЯ частиц, а Ям 67 .-спиновые статистические веса состояний г и 1.
Учитывая также, что для фотона я = 2 (два направления поляризации), а статистический вес свободного электрона и иона равен статистическому весу основного состояния атома водорода, получаем для этого состояния 245 1 57 ФОТОЗФФвкт Релятивис'Гский случАЙ Р е ш е н и е. Сечение захвата на Л-оболочку (главное квантовое число и = 1) получается подстановкой (56.14) в (56.15): (е = тплл~/2 — энергия падающего электрона; йш с). Из других состояний образующегося атома существенны лишь з-сол:тояния: при вычислении матричного элемента в борновском приближении существенны зна гения волновой функции связанного состояния при малых г (как это будет видно из вычислений в 3 57), а при 1 > 0 зги значения малы по сравнению со значениями функций с 1 = 0; при атом достаточно учитывать два первых члена разложения лр по степеням г.
Для состояний с 1 = 0 и произвольным и эти члены т. е. содержат и лишь в виде общего множителя лл зг (написанное выражение получается разложением функцилл (36.13) (см. ШП). Поэтому полное сечение рекомбинации РР'" = ~ ~пг'" = игл" Д ~— = Г(3)ог' пз =1 (значение Г-фупкции: Г(3) = 1,202). 3 57. Фотоэффект. Релятивистский случай Обратимся к случаю (57.1) пл )) 1. При этом также е = оз — 7» 7, и потому влияние кулонова поля ядра на волновую функцию фотоэлектрона (ул') может быть учтено с помощью теории возмущений. Пишем л(л' в виде ул = (и е р + л(л( )).
(57.2) ул2е лРотоэлектрон может быть релятивистским; поэтому невозмущенная функция в (57.2) написана в виде релятивистской плоской волны (23.Ц. Хотя в начальном состоянии электрон нерелятивистский, в его волновой функций ул тем не менее должна быть (по выясняющимся ниже причинам) учтена релятивистская поправка ( Яе~).
Такая функция дается формулой (см. задачу к 3 39) У5 = (1 — — 'У~'У'У") У)пр. (57.3) где у)„р нерелятивистская функция связанного состояния (56.6), а и-- биспипорная амплитуда покоящегося электрона, нормированная принятым нами условием йи = 2тп. 246 гл и излу !ение Подставим функции (57.2), (57.3) в матричный элемент (56.2) '): Лн /(е ~т' (( ( ф~)( ) гйг ~ )йэ Имея в виду получить первый член разложения этой величины по Яе~, мы можем во втором члене в фигурных скобках заменить гр„р просто постоянной (Яе~т)ь~~7'л(л.
Первый же член в результате такой замены обратился бы (при р — 1с ф 0) в нуль (именно поэтому в ф необходимо учитывать также и первую релятивистскую поправку, пропорциональную Ее; при и 1 эта поправка дает вклад в сечение того же порядка, что и следующий член разложения Чзир по Яс ). В первом члене в (57.4) производим интегрирование по частям, переводя действие оператора ~7 с ф„р на экспопенциальный множитель.
В результате получим Му, =, )й (7е) (1+ — у~7(р — 1с)) и (е яе '"") + + ч5 1,(уе)и), (57.5) где векторный индекс означает пространственную компоненту Фурье. С точностью до члена Уе ') — Иеегп 8ЯУеет (57.6) (и- 1с)' получим (57.6а) Дифференцирование этого выражения по параметру Л дает 8хЛ (ч гЛ) (57.6б) ') Функция (57.3) была получена для расстояний г 17(гное~), на которых пОправочный члЕн в нЕй отвоеительного порядка величины Лез. Но для основного состояния (а также и для всех вообще а-состояний) формула (57.3) пригодна для любых г, поскольку производная от чисто экспоиенциальной функции (56.6) (а с нею и поправочный член в (57.3)) всегда пропорциональна Яе~. Это обстоятельство позволяет воспользоваться формулой (57.3) в рассматриваемой задаче, в которой существенны малые г. (При е 1 существенны г 1/пь) ) Взяв компоненту Фурьо от обеих сторон равенства (Ь вЂ” Л') — = — 4~5(~), 247 1 57 ФстсэФФект.
РелятиВистский случАЙ Для вычисления же компоненты Фурье 4»2~ пишем уравне- (1) ние, которому удовлетворяет функция 2»2( ): гт 2 (у е+ гуу — т)2»г( ) = е(уиА„)и'е"'" = — ' » ие'и' (оно получается подстановкой (57.2) в (32.1)). Применив к обеим сторонам этого уравнения оператор (уое + гу47+ т), получим (Ь+ р )4»2( ) = — е е ( у е+ 2 уА2+ га)(у и') — е'"'. г умножим это уравнение на е ™ и проинтегрируем по е»зт, причем в членах с Ь и у производим обычным образом интегрирование по частям: (р — 1с )ф, = — Хе (у е — у1с+ т)(» и') (-1 се/ И вЂ” и = — ее (2еу — у(1с — р))(у и') (1 — р)' В последней строке учтено, что амплитуда и' удовлетворяет уравнению (е'у — р'у — т)и' = О, или (еу~+ р'у — гп) уои' = О Отсюда находим , »1), »1)4 о 4 ~ 24 2е'у -~- у(14 — р) о (57.7) 2»8 1,— — 2»гк у = ге еи у. Жг — ргН1 — р)2 Подставив (57.6), (57.7) в матричный элемент (57.5), представим его в виде 4~ В(2е~иг)»г уг= и и (ет)»2(1с — 12) де А = (уе)+ (М7'(ууг)+ (усЬ'(-» ), а= 1 е 1 Р 1с— (14 12)2 т )ег 122 ' 2т(14 р)2 ' Сечение 12 — р 2т(142 — рг) Е» 8ег(Хе'тУ'~Р~ (игАи)(24 ~и')Е»О ег(14 р)епг где А = уоАЧ уо (см.
8 65). Это выражение надо еще просуммировать по конечным и усреднить по начальным направлениям спина электрона. Эти действия производятся по описанным ниже, в 8 65, правилам с помощью поляризационных матриц плотности на сального и конечного состояний: р = — ( у + 1), р' = -( у е — ~р + та) 2 2 1 58 Фотоглсщкплениь лей'ГРонл полного сечения 1г) Бии/ет, 1931): 2 я5 4„2Ь'-1) в х е ~ 1)е х — + г~з ) (1 — 1п ~ г/~ )1, 157.10) х(- ( — )), о. /г 1 З /г 1/!' где для краткости введен елоренцев множительа 157.11) т/1 — ог гп т В ультрарелятивистском случае эта формула сводится к простому выражению о.
= 2ттХ5ойт~~!"/ 157.12) В случае же 1 « ог « тп переход в 157.10) к пределу малых / — 1 приводит к известному уже нам результату 156.14). й 58. Фоторасьцепление дейтрона Характерной особенностью дейтропа является малость его энергии связи (по сравнению с глубиной потенциальной ямы). Это обстоятельство позволяет описывать происходящие с участием дейтропа реакции без детального знания хода ядерных сил, с помощью одной лишь энергии связи 1см. П?, 3 133). При этом предполагается, что длины волн сталкивающихся частиц велики по сравнению с радиусом действия ядерных сил а. Это относится и к расщеплению дейтрона у-квантами, для которых ка « 1.
Предполагается также, что и ра « 1, где р импульс относительного движения освободившихся нейтрона и протона 1это условие более сильное, чеал предыдущее ') ). Исходим из нерелятивистской формулы для сечения фотоэффекта 156.5), тгроинтегрировав ее по направлениям: ар М4яо ) ~2 2лъг 2 3 Здесь р импульс относительного движения протона н нейтрона '), а тп в (56.5) заменено их приведенной массой М,12 (где М класса нуклона). Матричный элемент берется от скорости протона чр, поскольку лишь протон взаимодействует с фотоном. Выразив ттр через импульс р15т, = и/2 = р/М), получим 158.1) ЗЛг аг ') Энергия фотона, при которой ра 1 1а = 1,5 10 'г см), составляет 15 51аВ. ) В атом параграфе р обозначает ~р~.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
