IV.-Квантовая-электродинамика (1109681), страница 42
Текст из файла (страница 42)
9 б2. Излучение атомов. Атом водорода Атом водорода представляет единственный случай, в котором вычисление матричных элементов перехода может быть произведено до конца в аналитическом виде ( И'. Согдоп, 1929). Четность состояния атома водорода равна ( — 1), т. е. однозначно определяется орбитальным моментом электрона (напомним, что число 1 как определяющее четность состояния сохраняет свой смышс и для точных релятивистских волновых функций, т. е.
при у сете спин-орбитального взаимодействия). Поэтому правило отбора по четности строго запрещает электрически-дипольные переходы без изменения 1: возможны лишь переходы с 1 — 2 1 х 1. Изменения же главного квантового числа п не ограничены. Дипольный момент атома водорода сводится к радиус-вектору электрона: с1 = ег. Поскольку волновая функция элексрона в атоме водорода представляет собой произведение угловой части и радиальной функции Явь приведенные матричные элементы радиус-вектора тоже представляются в виде прослзведения (гс'21 — 1(Нп1) = (1 — 1))сс))1) К 2 2ТК22г Йг О где (1 — 1О2251) приведенные матричные элементы единичного вектора сс в направлении г.
Последние равны (1 — 1/!22/!1) = (1/!22/!1 — 1) = 25Л (см. П1, (29.14)). Таким образом, (и',1 — Ц)1))о1)= — (н1!)~ ))и',1 — 1)=2527 Вссс 2К„ст' Й»5 (92.1) 0 224 изтту !ение гл у Нсрелятивистские радиальные функции дискретного спектра, атома водорода даются формулой (36.13) (см. П1) ') 2 (и ' 1)' 12г)! гIи х и' ' е(21+ 1)! (и — 1 — 1)! х Р( — и+1+ 1,21+ 2, — ). (522) п Интеграл (52.1) с произведением двух вырожденных гипергео- метрических функций вычисляется с помощью формул, приве- денных в т.
Ш, 9 1 ') . Вычисление приводит к результату (и,1 — 19'т''О'тт1) = и ( — Ц" ' (и+ Щи'+1 — 1)! (4пи') ы(и — тт')"~" 4(21 — 1)! 1т~ — 1 — П Цтя — 1)! (т~ + и')'"э"' ! (тт — тр) е — (" ") е~- ~~-1,— '~ск,— "" Л), эхт) где Г(о, 1з, у, г) —. гипергеометрические функции. Поскольку па- раметры а., тз в данном случае равны отрицательным целым чи- слам (или нулю), эти функции сводятся к полиномам ') .
Приведем для справок выражения, получатощиеся из (52.3) в некоторых частных случаях (значение 1 указываем спектроско- пи веским символом 8, р, д., ((1з'О'г'О'ттр) ! (52.4) 1(~Р~! ~~и~1) ~ 2 2'эи (и — 1Ни — 2)'" ~(2ХЧИ! ) !' = ') В этом параграфе пользуемся атомными единицами. В обычных едияицах написанные ниже выражения дня матричных элементов координаты должны бьгп, умножены на Гт~/(теэ) (если жс речь идет о водородоподобном ионе с номером л, то на тт !(тиХет)).
э) Во введенных там обозначениях речь идет о вычислении интеграла 3т ~~~э т,— и+1+1, — и+В. Опо осуществляется с помощью формул (б 12) - (б 1б). ) Численные таблицы матричных элементов и вероятностей переходов для водорода можно найти в книге: Бете Г., Солтттиер Э. Квантовая механика атомов с одним и двумя электронами. — М.: ИЛ, 19бо. 225 1 52 ИЗЛУЧЕНИЕ ЛТОМОВ. ЛТОЛ1 ВОДОРОДЛ Формула (52.3) непригодна для переходов без изменения главного квантового числа п (переходы между компонентами тонкой структуры уровня).
В этом случае (и = и') для осуществления интегрирования исходим из представления радиальных функций через обобщенные полиномы Лагерра; В интеграле о о заменяем один из полнномов его выражением через производяп1ую функцию (см. 111, 8 11): и — 1 — 1 ~21-511 ) (и + В1 р — 21 — 1 — р и;1-1 ВЧ1 После (и — 1 — 1)-кратного интегрирования по частям получим интеграл вида и и у 1 и — 1 — 1 . 'ри+'~ — ) Ф" 1' (р)ор иэ— о в котором заменяем полипом Лагерра его явным выражением согласно формуле После проведения дифференцирования в сумме остается всего три члена, после чего интегрирование элементарно.
Вычисление приводит к простому результату: (т1,1 — 1~~т~~п1) = 1Л вЂ” и,/~~ — 12. (52.6) Интеграл О О (где ти1 = тВВ1) представляет собой коэффициент разложения функции тзти1 по системе ортогональных функций оти51 1(п' = 1, 8 Л. Д. Ландау и Н.М, Лифшиц, тои 1 1' 226 излу !ение гл я 2, ... ). Сумма квадратов модулей этих коэффициентов равна интегралу от квадрата разлагаемой функции ') . Поэтому (52.7) Воспользовавшись известным выражением для среднего квадрата г в состоянии п1 (см. П1, (36.16)), найдем следующее правило сумм: е ((тг,',1 — 1((г((п1)(~ = 1— " (анв+ 1 — 31(1+ 1)).
(52 8) 2 и При заданных значениях и, 1 и больших значениях и' матричный элемент перехода п1 — г и'15 убывает по закону (52.9) в чем можно убедиться как из частных выражений (52.4), так и из общей формулы (52.3) . Этот результат вполне естествен: кулоновы уровни энергии Е' = — 1/2п'~ при болыпих и' расположены квазинепрерывно, и вероятность перехода на какой-либо уровень в интервале г1Е' пропорциональна плотности расположения этих уровней, которая сама сх и' з.
Эффект Штарка в водороде имеет, как известно, специфический характер (см. П1, 3 77) расщепление п)юггорционально первой степени электрического поля. При этом поле предполагается хотя и не сильным (ущговие применимости теории возмущений), но в то же время таким, чтобы расщепление уровней было велико по сравнению с их тонкой структурой. В этих условиях величина момента вообще не сохраняется и уровни должны классифицироваться по параболическим квантовым числам пм п2, т. Последнее из них магнитное квантовое число т по- прежнему определяет проекцию орбитального момента на ось г (направление поля), которая в данных условиях (пренебрежение спин-орбитальным взаимодействием) сохраняется.
Поэтому для него имеет место обычное правило отбора т,' — т = 0,~1. (52.10) Ограничений же для изменения чисел п~., пв не имеется. Матричные элементы дигюльного момента в параболических координатах тоже могут быть вычислены аналитически. Полу- ) Суммирование производится по состояниям как дискретного, так и непрерывного спектров. 227 1 52 ИЗЛУЧЕНИЕ АТОЛ|ОВ АТОМ ВОДОРОДА ча)ощиеся формулы, однако, очень громоздки, и мы не станем приводить их здесь ').
Задачи 1. Найти штарковское расщепление уровней водорода в случае, когда расщепление мало по сршлнению с интервалами тонкой структуры (но вели- ко по сравнение с лэмбовским сдвигом). Р е ш е н и е. В указанных условиях остается двукратное вырождение невозмущенных уровней с 1 = У Ъ 1/21 в связи с чем штарковское расщепле- ние остается линейным по полю. Значение расщепления 25 определяетг:я из секулярного уравнения — г5 — Е(В ))2 = 0, г5 = ~ЕИ22,) (индексы 1, 2 отвечают состояниям с 1 = У ш )/ и задшшым магнитным квантовым числом т; возмущение 1» = — Е)1, диа) онш)ьно по т и не имеет элементов, диагоншгьных по 1).
51атричный элемент орбитальной величи- ны 21, вычисляется с пол)ощью формул (29.7) и (109.3) (см. П1), согласно которым );1-1, )2.))2 )= ...Е,1 — 1))2)))1), ')) ))2'+ 1) )л — )) ° )))1)=-)и ° )(' ' 1 2)«- ))2))1), причем надо положить 1 = у Ч- 1)Ш величина (1 — Ц)11))1) берется нз (52.6). В результате получим )Л = х — пл — (1 -)- ',)2) Е.
2. Определить вероятность испускания фотона прн переходе между со- стояниями 2э 11 — ) 1в 1Ь атома водорода (С. Вгелй Е. Тейе); 1940). Р е ш е н н е. 1лассматриваемый процесс строго запрещен для Е1-пере- хода по четности, а для Е2-перехода по правилу (46.15). Поэтому следует вычислить вероятность И1-перехода, даваемую формулой (47.5). В данном случае (1 = О), однако, магнитный момент — чисто спиновая величина, и его матричный элемент в пренебрежении спин-орбиты)ьныл) взаимодействием обращается в нуль в силу взаимной ортогональности орбитальных волно- вых функций с ра)лич))ь)ми главными квантовыми числами. Это значит, что для получения отличного от нуля ответа было бы недостаточно прибли- жения уравнения Паули, и надо исходить из полного уравнения Дирака.
В стандартном представлении волновых функций ток перехода 2) 212 = 2))угхо) = Ээ))ТХ -Ь Х))т)р . Согласно (35.1), (24,2), (24.8) волновые функции состояний с 1 = О, 2 = 1))2 имеит вид у Х 1( йг)ш( ) Х»' 4)г Х вЂ” 28(г)()тп))и(гп) =( )= —.~ где и = г/г, а ш(т) вещественный единичный З-спинор, отвечающий значению т проекции спина. Такил) образом, 1 )д = —.Цуи,шугг(ггп)ш, — 8,~ и)у(ггп)гг)и,). 4)гл ') Эти формулы и соответствующие чиш)енные таблицы см.
в указанной выше книге Г. Бете и Э. Солпитера. '1 ) В этой задаче пользуемся релятивистскими единицами. 228 гл и излу !ение (2) Ц,~1 т 8,81)г' г1т = О, о первый член в (4) после иззтегрирования по частям переписываем как — — 1 71),г Йт = — 1 818,т Й вЂ” 1 Л1Л,г Й. 2дз/ ' 2дз/ ' 8дзз / о о о Вычисление интеграла с функциями з72 1 2 (см. П1, 3 36) и разностью энергий дзо~ зг 1 зз 3 ш=е — е1= 1 — = тпо 2 1, 2з( 8 дает 1 = 2зг ~о~ Д9гп), Отсюда вероятность перехода (обычные единицы) 2зозй оз здс сг з з з з з зз ЗопРсз 2" Ззй Соответствующее время жизни состояний 2ззд очень велико, и фактически гораздо вероятнее высвечивание путем одновременного испускания двух фотонов (сзь примеч. на с.
263). Подставив это выражение в (47.4) и произведя интегрирование по направлЕниям п,получим г. с р 1, = — —, шу )гггг) ш; 1 = — - ш 1 от ш, 1 бз 3 (в силу условий коммутации матриц Паули )стог) = 2иг); здесь 1 = ~Дую, -> 1;81')т г1т. (1) о Вероятность же испускания фотона (47.5), просуммированная по значениям ту, есть 4еаз з з 4еш з 3 з ш= шсг ш1 = 1. 27 9 Из (35.4) имеем (при зг = — 1) 8= 1 Я вЂ” гп + — ( с+т+о(т 2гп ) т( 4гпз' во втором члене точная функция 1 заменена нерелятивистской радзлааьной функцией Л. Воли ограничиться приближением 8 = Л'/2ю, интегразз 1 = — ~1 (Л1Л,) т й = — — 1 Л1Л,~ Ж = О (3) 2гп 1 2тп,/ о о в силу ортогональности функций Л1 и Л,.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
