IV.-Квантовая-электродинамика (1109681), страница 38
Текст из файла (страница 38)
(46.18) Правила отбора по полному моменту и по четности являются вполне строгими и должны соблюдаться при излучении любыми системами. Наряду с этими правилами могут существовать и другие, более жесткие, связанные с теми или иными особенностями структуры конкретных излучающих систем.
Такие правила неизбежно имеют лишь более или менее приближенный характер; мы рассмотрим их в дальнейших параграфах этой главы. Зависимость вероятности испускания от квантовых чисел Еп, М„ЛХХ всецело определяется тепзорным характером мультипольных моментов. Величины 4 4ХРП с заданным 4 составляют сферический тензор ранга 41 Зависимость его матричных элементов от указанных квантовых чисел дается формулой Е ХХХМХ~Ь,— ''~ гиУ4М4)~' = (д~;и ~) ~( Х УХИ~~ А)Г т, (46.19) (се4. П1, (107.6)), где буква и условно обозначает совокупность остальных, помимо У и ЛХ, квантовых чисел состояния системы. Стоящие в правой стороне равенства (46.19) приведенные 200 гл и излу !ение матричные элементы от чисел гпо М„М1 не зависят.
Подставленная в (46.9) эта форл1ула и определит искомую зависимость, которая оказывается пропорционалыюй 4 А м)' (при этом предполагается, конечно, что излучатель не находится во внешнем поле; тогда частота перехода со не зависит от чисел М и Ме). Просуммировав вероятность по всем значениям Му (при заданном М;), мы гюлучим полную вероятность испускания фотона данной частоты с начального уровня системы п„Уь В силу изотропии пространства очевидно., что эта величина не будет зависеть также и от начального значения М,. Суммирование осуществляется с помощью формулы )(п131М1Д~., ~п,Л,М,)( = ~(п131Ят))п„У,)) (46.20) (см.
П1, (107.11)). 'й' 47. Магнитное мультипольное излучение Волновая функция фотона магнитного типа А" = (О, А), где А дается формулой (7.6). Подставив ее в (46.1), получим для матричного элемента перехода Ъ7; = — е — Й х 41;(г) дон е ™Ъ','„(п). (47.1) Компоненты вектора Ъ~~"~ выражаются согласно (7.16) через шаровые функции порядка )1 Воспользовавшись снова разложением (46.3), получим для внутреннего интеграла 1 е '~"Ъ'(„„~ (п)дон = 4яг' «йуфт)Ку"~ 1 — ), и после подстановки я из (46.5) ') 2ш'т в 1.
т (м)е)г1 'у'1, = -е1 2 ~ 41з(г)ттЪ' две х. (21+ 1)!! / тш Ц Сюда надо подставить согласно определению (7.4): У(;„) — = (г~7У 1 ) Не смешивать ток 1 с моментом 1! 201 МАГНИТНОЕ МУЛЬГИПОЛЬНОЕ ИЗЛУЧЕНИЕ 1 47 После этого преобразуем под интегралом г137;(т~~У',„) = — (т37Д7(гг 1' ",и) и получим /~,( у)~пз,+ 1Е /~( у)~,пз + 4гл д 4т 1 + — ' / (т то1(1)1~в1(ЯЙ' х. 2е 1 (47.7) ( 1)1Л з (21+ 1)(д+ 1) м' " -(4)(м) ) (17 2) — 4 „Е где введены величины Я" )1, =, (т31;~'у(г~уу )и х. (47.3) ,1 Ч- 1 11 21 Ч- 1,/ Их называют 21-польными мнгнитпнъ1ми моментами перехода.
Ввиду аналогии между выражениями (47.2) и (46.6) для вероятности испускания получается формула, отличающаяся от (46.9) лишь заменой электрических люментов ъ1агнитными. Остается в силе также и формула (46.12) для углового распределения (как у.ке. было отмечено в связи с (7.11)). Рассмотрим структуру выражения (47.3) при 1' = 1. В этом случае функции 411 . Г4~г — г1'ш = 4е, 1~ — гУ1 ~1 = з= — (т ~ Зу), 3 ~l 3 ' У12 а их градиенты равны просто циркулярным ортам е( 1, е( (7.14).
Поэтому величины е(ф1",'л)11 представляют собой сферические компоненты вектора 447, — — — (т31, )дзх, (47.4) который по своей структуре аналогичен классическол1у магнитному моменту (см. П, 3 44). Полная вероятность 11Х1-излучения выражается через эту величину формулой (обычные единицы) (47.5) Покажем, каким образом формула (47.4) связана с обычным квантовым нерелятивистским выражением оператора магнитного момента. Выражение тока перехода (см. П1, 3 115): 371 = — — (Ф~~А — ~1~Ф1) + ~ го1(Ф~я1)1;), (47.6) где д магнитный момент частицы, г ее спин.
Поэтому 202 Изг!У !ЕНИЕ гл и Во втором члене пигпем г)г [г'Уф~г1зх = — г)г~[г~7~ф,г1йх+ го1(гг)г~ф;)~1вх. Погтедний интеграл преобразуется в интеграл по бесконечно удаленной поверхности и обращается в нуль. Таким образом, два первых члена в [47.7) одинаковы. В третьем члене преобразуем интеграл следующим образом (временно обозначаем Р = г)г~звф,): [г['ьгР]]с1ах = [г[п1' Р]] — [[Р~7]г]с~'х. Интеграл по поверхности обращается в нуль, а в последнем интеграле имеем: [[Р~7]г] = — Рбгчг+ Р = — 2Р. Таким обгразом, з [ггоФР]с1вх = 2 Рдзх. В результате выражение для р~ч принимает вид ч, = / гг ( — 'т ~- — г) Ф;дч, и7.8) где Х = — 1[г~7] оператор орбитального момента частицы.
Как и должно быть, ру, оказывается матричным элементом оператора Й= — 'Ь+/'в, (47.9) 2ги а складывающегося из операторов орбитального и собственного магнитных моментов частицы. Правила отбора для магнитного мультипольного излучения аналогичны правилам для электрического случая: для полного момента справедливы те гке правила [46.15),(46.16), а для четности †прави Рру=( — Ц ", [47.10) получающееся подстановкой в [46.17) четности Мг-фотона: Рф = = ( — 1)У" й 48.Угловое распределение и поляризация излучения Выведенные в з 46 и 47 формулы относились к испусканию фотона с определенными значениями момента г и его проекции нм Соответственно предполагалось, что и излучающая система (скажем, ядро) до и после испускания обладает не только определенными значениями момента,7, по и определенными поляризациями, т.
е. значениями М. УГЛОВОЕ РАСПРЕДЕЛЕННЕ И ПОЛЯРИЗАЦИЯ ИЗЛУЧЕНИЯ 203 1 48 Рассмотрим теперь более общий случай излучения частично поляризованным ядром (размеры которого по-прежнему предполагаются малыми по сравнению с длиной волны). Испускаемый фотон по-прежнему обладает определенным моментом 4', но может быть частично поляризован. Найдем вероятность испускания как функцию направления п фотона. Она должна быть выражена через матрицы плотности, описывающие поляризационные состояния ядра и фотона.
Для этого предварительно напишем вероятность испускания как функцию направления и и спиральности Л фотона (Л = ~1) для случая, когда начальное и конечное ядра обладают определенными значениям1и1,1,;М4 и,Х1М1. Матричный элеме1гг испускания фотона с определенными ут пропорционален матричному элементу 24-польного (электрического или магнитного) момента ядра; (,11М1;ут~Ъ'~Я;М4) сс ( — 1~)" (11М1Д, ГН~31М1). (48.1) Волновая функция испущенного фотона (в импульсном представлении) пропорциональна Ъ'уэа(п) или Ъ'1эл (и). Волновая же 4э4 4У1) функция фотона с импульсом в направлении и и спиральностью Л пропорциональна вектору поляризации е1~).
Матричный элемент испускания фотона пЛ получится перемножением (48.1) с проекцией волновой функции состояния (1т) на волновую функцию состояния )пЛ)1 (11Му:пЛЩ,УЭМ,) сх ( — 1) (31Мф~ . ~Л;М4)(е(л~ Ъ' и,). Согласно (16.23) для фотонов обоих типов е1АЭА~~Г (и) сГ 1107) (и) (48.2) Матричный же элемент мультипольного момента выражаем обычным образом через приведенный элемент. В резулытате получаем амплитуду вероятности перехода в виде (,1 М .пЛ~1Г~,1,М4) ОГ ( — 1)~Г АГГт"'( ~~ э "4) д11~~~ (и) (48.3) где ЕЗ обозначает (11!)Я!)11).
Теперь мы можем перейти к общему случаю смешанных поляризациопных состояний. Согласно общим правилам квантовой механики вероятность перехода будет пропорциональна 204 излу !ение гл и выражению ') У (Думу) ПЛт АМ )(Дум'; ПЛ'ЮЛМ;')* х (т) х (Мер(') /М,')(М~/р(У) /Му)(Л'!р(з) /Л), (48 4) где р('), р(»), р(") -. матрицы плотности начального ядра, конечного ядра и испущенного фотона; символ (т) под знаком суммы означает, что суммирование производится по всем дважды повторяющимся т-индексам (М,М МуМ~ЛЛ').
В (48.4) надо подставить (48.3). Обозначим вероятность испускания фотона в телесный угол а(о через и~(п) с(о. Полная вероятность испускания по всем направлениям и со всеми поляризациями фотона и вторичного ядра не зависит, очевидно, от начального поляризационного состояния ядра. Она дается уже известными нам формулами и нас здесь не интересует. Поэтому условимся нормировать вероятность н»(п) на 1. Для нее получается ') (24 -ь 1)(21, -ь Ц 'ь» ) ~2у,— м, -и' О(у) О(у)* ю(п) = 8я ,» Л( — ) ' * * Л Л l т т (т) "( Й и) ( и' — ' и') ~и'Эя~иэ" х (М,'/р(У) /Му)(Л'/р(з) /Л) 1 ) ЕСли начальное и конечное состояния системы описываются суперпозипнями Е" = ~" а йь' ф"' = ~6 Е'" то матричный элемент (ДЦ1) = ~ ~6 а„1' „, а его квадрат 1У!РЙ~ = ~ ~1, 1'„; ь а а,, 6,„6,"„.
Переход к онуча|о смешанных состояний осуществляется заменой ( >, ° со так что ((Д1»'г)) -э ~ ~1»,„Ъ'* „ар~''ар~',~ е) При преобразованиях знакового множителя можно пользоваться тем, что числа 2до 2ду, 2М„2ЛХ» одинаковой четности. Напомним также, что числа у, т палые, а Л = х1, 1 48 УГЛОВОЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЕ И ПОЛЯРИЗАЦИЯ ИЗЛУЧЕНИЯ 205 (в правильности нормировки мы убедимся ниже).
Преобразуем эту формулу, разложив произведение двух Р-функций в ряд (110.2) (см. П1) Лт Л'т' ~ ) Лт — Л' — т' (Я 00 л'-Р .' 00 О) =)-!)' 2 )ллл1) (! л, ) (! ', ) л'" в (индексы Л = Л вЂ” Л', р = т — т', 5 целые чи! 1а, 5 ) 2!). Таким образом, получаем окончательно )21-81)(2),4 1) ~ ~— ~ ~( — 1)24' 84 84,'-Р РГГ2Г +1) х 8Я ь )т) х (~м/р~Р~М1)(Л !р)з~/Л) (48 5) Как и выше, 2 < > означает суммирование по всем (дважды повторяющимся) т-индексам. При этом надо помнить об отличии индексов Л, Л! от остальных т;индексов: суммирование по ним производится не по всем 24+1 возможным (Г)ри данном 4-индексе) значениям, а лишь по двум значениям: Л, Л' = ~1, отвечающим двум поляризациям фотона.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
