IV.-Квантовая-электродинамика (1109681), страница 34
Текст из файла (страница 34)
Прямым вычислением найдем г)г*(Р»г — еАР)г)г Ь увар еАР)г)г еА»г = РР— еА" + а" ~Р' — у) г+ йр ' Р~, (гг*о и). 1 (ьр) 2(йр) ) 8(ьр)ро (40.13) Среднее по времени значение этого 4-вектора, которое обозначим через дрг есть и еА' (40.14) 2(ьр) Его квадрат; г 2 2 1 12, (40.15) пг» пг, играет роль «эффективной массы» электрона в поле. Сравнив (40.14) и (40.12), мы видим, гго ,'и = ,:/Ро. (40.
16) Отметим также, что условие нормировки (40.10), выраженное с помощью вектора с1, имеет вид ,),. »), ~З г2 )З 2»б~ г (40.17) Ре (переход от (40.10) к (40.17) проще всего произвести в указанной выше специальной системе отсчета). 8 41. Движение спина во внешнем поле Переход к квазиклассическому приближению в уравнении Дирака производится так же, как и в нерелятивистской теории.
В уравнение второго порядка (32.7а) подставляем»р в виде ') гзгга где о .скаляр, и .медленно меняющийся биспипор. При этом предполагается выполненным обычное условие квазиклассичности: импульс частицы должен мало меняться па расстояниях порядка длины волны 6Др~. В нулевом приближении по 6 получается обычное классическое релятивистское уравнение Гамильтона Якоби для действия о'. При этом все члены, содержащие спин (и пропорщь ональные 6), выпадают нз уравнений движения. Спин появился бы лишь в следующем приближении по 6.
Другими словами, ') Пользуемся сначала обычными единицами. 179 1 41 движкник апина во внкшнкм полк Й = Й вЂ” 4«стн, (411) где в Й' включены все члены, не содержащие спина 1сы. Ш, 2 111); 44 магнитный момент частицы. Этот вид гамильтониана не связан с определенным сортом частиц. Для электронов 14 = = еЦ2тс (заряд электрона е = — ~е~!), а у нуклонов 44 содержит еще и «аномальную» часть ') р ел 11 = 14 — —. 2ьчс (41.2) Согласно общим правилам квантовой механики операторное уравнение движения спина получается из формулы я = — '(Йв — вй) = — '(Й вЂ” Й) л 2л (41 3) Подставив сюда (41.1), найдем л = — — НЬ(сглп1 сггсгл) — — е~ЫНЬп1, 4р и 2й л или 2р~ 6 (41 1) Усредним это операторное равенство по состоянинэ квази- классического волнового пакета, движущегося вдоль заданной траектории. Эта операция сводится к замене оператора спина его ) С учетом радиационных поправок очень малая «аномальная часть» содержится также н в магнитном моменте электрона.
влияние магнитного момента, электрона на его движение. - всегда того же порядка величины, что и квантовые поправки. Это вполне естественно ввиду чисто квантовой природы спинового момента, который пропорционален гг. В связи с такой ситуацией приобретает смысл постановка задачи о поведении спина электрона, совершающего заданное квазиклассическое движение во внешнем поле. Решение этой задачи содержится в следующем приближении по 6 в уравнении Дирака. Мы применим, однако, другой способ, более наглядный и не связанный не1шсредственно с уравнением Дирака. Он обладает тем преимуществом, что позволяет рассматривать движение любой частицы., в том числе обладанлцей «аномальнымь гиромагнитным отношением, не описываемым уравнешлем Дглрака.
Наша цель состоит в установлении «уравнения движенияя для спина при произвольном (заданном) движении частицы. Начнем с нерелятивистского случая. Нерелятивистский гамильтоннан частицы во внешнем поле 180 частица во внешнем полк гл. 1~ (41.5) В таком виде это уравнение имеет, по сугцеству, чисто классический характер. Опо означает, что вектор магнитного момента прецессирует вокруг направления поля с угловой скоростью — 2)гН/6, оставаясь неизменным по величине ') . В том же нерелятивистском случае скорость ч частицы меняется согласно уравнению — = — ~мН), 4ч е 41 тс т. е. вектор ч вращается вокруг направления Н с угловой скоростью — еН(глс. Если )г' = О, то )г = еГь(2гпс, и эта угловая скорость совпадает со скоростью — 2)гН/6 вращения вектора ~; другими словами, вектор поляризации сохраняет постоянный угол с направлением движения (ыы увидим ниже, что этот результат остается в силе и в релятивистском случае).
Произведем теперь релятивистское обобщение уравнения (41.5). Для ковариантного описания поляризации надо при этом пользоваться введенным в 8 29 4-вектором а, а уравнение движения спина должно определять производную г)иуг4т по собсгвенному времени т ') . Возможный вид этого уравнения может быть установлен уже из соображений релятивистской инвариаптности, если учесть, что его правая часть должна быть линейна и однородна по тензору электромагнитного поля Р"г и по 4-вектору ал, .а, помимо них, может содержать только 4-скорость и" = р'"(гп.
Этим условиям удовлетворяет лишь уравнение вида дае — = сер'" и, + 1)наг"'ли а1, Ит (41.5) ') Классически уравнение (41.5) получаетси непосредственно из равенства 4М141 = ~мн), где М вЂ” момент импульса системы. и -ее магнитный момент, )1тН) действуавций на систему момент сил. Положив М = уль, и = Ь-~ = рь, получим (41.5). ) Ниже снова полагаем с = 1, й = 1. средним значением в, а вектора Н -- функцией Н(1), представляющей собой изменение магнитного поля в точке нахождения частицы (волнового пакета) при ее заданном движении вдоль траектории.
В нерелятивистском приближении, т. е. в рамках уравнения Паули, я = а /2 есть оператор спина частицы в ее системе покоя, среднее значение которого мы обозначили в 8 29 как ~/2. Таким образом, мы приходим к уравнению 181 1 41 движение апина во внешнем полк — = сер,Н]. Сравнив с (41.5), найдем; ег = 2)4. Для определения Д учтем, что апир — — О.
Продифференцировав это равенство по т и воспользовавшись классическим уравнением движения заряда в поле р тп — = ег' и, ре Йт (см. П, 8 23), получим бв" е трр е, рю ир — — — — ар — — — ар,— г' и„= — г' пра,. йт бт т т Поэтому, умножив уравнение (41.6) с обеих сторон на ир, учтя равенство ирин = 1 и сократив общий множитель РР арап, по- лучим )3 = — 2 ()4 — — ') = — 2)4'. Таким образом, находим окончательно релятивистское уравнение движения спина пор — = 2ИГР'а, — 2ргиРРРхи.ох г4т (41.7) ()т. Ватутапп, 7. МгсЬе1, Г Те1еуг)4, 1959) ') .
Перейдем от 4-вектора а к величине ~, непосредственно характеризующей поляризацию частицы в ее «мгновенной» системе покоя; связь мекду а и 4, дается формулами (29.7) — (29.9). Сразу же отметим, что из (41.7) автоматически следует, что аре4аР741т = О, т. е.
арап = сопвг. Поскольку араР = — ~~, это означает естественный результат: при движении частицы ее поляризация ~ остается неизменной по величине. Уравнение. определяющее изменение направления поляриза; ции, получим, перейдя в (41.7) к трехмерным обозначениям. Рас- ') В другом виде подобное уравнение было впервые найдено Я.
И. Френкеле44 (192б). где гт, Д. постоянные коэффициенты. Легко видеть, что в силу условия ария = О и антисимметричности тензора г'РР (так что ГР'44 и, = 0) никаких других выражений требуемого вида составить нельзя. При и — > 0 это уравнение должно совпадать с (41.5). Положив ап = (О, ~), ип = (1, 0), т = 1, получим 182 частица во внвшнвм полк гл ш крыв пространственные компоненты этого уравнения, найдем — [аН1 + Р (ач)Š— Р ч1аЕ) + пг е 7И 2 ' + Р ч(ч~аН)) + 1ч(ач)(чЕ).
т т Сюда надо подставить (29.9), учитывая при дифференцировании равенства р = еч, е = р + т и уравнения движения Р = еЕ + е)чН), — = е(чЕ). (41.8) г)г пг Элементарное, хотя и довольно длинное вычисление приводит к следующему уравнению '): сК 2рт -~- 2п'(е — т) ~~Н) 2р'е ~ 11) ~ ~) йпт -~- 2п'е ~~~Е пг е е+т е+ т (41.9) Особый интерес представляет не столько изменение абсолютного направления поляризации в пространстве, сколько его изменение по отношению к направлению движения.
Представим ~ в виде ~ = п~~ +~т (41.10) (где и = ч)п) и выпишем уравнение для проекции Ч поляризации на наггравление движения. Вычисление с помощью (41.8), (41.9) приводит к следующему результату '); й = 2)з'К Лнп>) + — ( —, — )э') (С Е). (41.11) Ряд примеров применения полученных уравнений рассмотрен в задачах к этому параграфу.
Здесь же отметим лишь, что при движении в чисто магнитном поле поляризация частицы без аномального магнитного момента сохраняет постоянный угол со скоростью (~~ = сопвг). Таким образом, этот результат, указанный ') Если ввести, как это часто делается, лля заряженных частиц гиромагнитный коэффициент (множитель Ландо) Х согласно И = К вЂ”.,', т (= К вЂ”.„'„, тэ), то уравнение запишется в виде — = — ~ к — 2 4-2 — ) )ЧН) Ч- — (К вЂ” 2) * (чН))чч) -'г И~ е / т1 е 41 2гп ~, е 2т в+т е / 2е — ~ я — ~) (~)Еч]].
(41.9а) 2т е+ т/ ) Несколько короче это уравнение можно получить, раскрывая временную компоненту уравнения (41.7). 183 1 41 движение опинл ВО Внешнем полк уже выше для перелятивистского сиучая, действительно, имеет общий характер. Уточпиьл условия применимости полученных уравнений.
Упомянутое вначале требование достаточно медленного изменения импульса частицы сводится к определенному ушювию малости полей Е и Н; в частности, ларморов радиус в магнитном поле ( р>>еН) должен быть велик по сравнению с длиной волны частицы. Помимо этого, однако, должно выполняться, строго говоря, еще и условие не слишком быстрого изменения полей в пространстве: поле дол>кис мало меняться на размерах квази- классического волнового пакета.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
