IV.-Квантовая-электродинамика (1109681), страница 35
Текст из файла (страница 35)
Тем самым, поле должно мало меняться на расстояниях порядка длины волны частицы (1/р), а также на комптоновской длине волны, 1(т ') . Впрочем, в практических задачах о движении в макроскопических полях условие медленности их изменения заведомо выполняется, так что фактически требуется лишь достаточная их малость. В 8 33 были найдены первые релятивистские поправки для гамильтониана электрона, движущегося во внешнем поле.
Для электрона в электрическом поле приближенный гамильтониан имеет вид (см. (33.12)) Й = Й' — — (о [ЕР~), р = — Ю, (41.12) где в Н' включены члены, пе содержащие спина. В нашем случае в силу медленного изменения поля в Й' сщедуст пренебречь членом с производными от Е (т. е.
с 111чЕ); можно опустить также малый член с р, не илчеющий отношения к интересующим нас здесь эффектам поля, так что Й' (в отсутствие магнитного поля) сводится к перел>ггивистскому гамильтониану Й' = рз/(2т) + + еф. Формулу (41.12) можно получить также исходя из уравнения (41.9), не прибегая непосредственно к уравнению Дирака. Тем самым будет достигнуто ее обобщение (в квазиклассическом случае) для частиц с аномальным магнитным моментом. С точностью до членов первого порядка по скорости и уравнение движения спина в электрическом поле получается из 1 ) Последнее требование возникает из условия, чтобы разброс скоростей в волновом пакете в его системе покоя был мал по сравнению с с; в противнол~ случае в этой системе нельзя было бы пользоваться нерелятивистскими формулами.
Если поле меняется слишком быстро, в уравнениях могут оказаться существенными дополнительные члены, содержащие производные поля по координатам. 184 чхатицл во внешнем полк ГЛ. 1~ 141.9) в виде — = ()«+)з')фЕъг]] = ( — + 2)з') ~~[Еу]]. Если потребовать, чтобы зто уравнение получалось квантовомехапически путем коммутировапия оператора спина с гамильтонианом (согласно 141.3)), то, как легко проверить, надо положить Й = Й' = (д'+ — ) (о [Е1 ]) . 141.13) Это и есть искомое выражение. При р' = О мы возврашасмся к 141.12).
Обратим внимание на то, что «нормальныйэ магнитный момент е/2пт входит с лишним множителем 1,1 по сравнению с аномальным моментом )х' ') . Задачи 1. Определить изменение направления поляризации частицы при ее движении в плоскости, перпендикулярной однородному магнитному гюлю 1у Т Н).
Р е ш е н и е. В правой стороне уравнения 141.9) остается лишь первый член, т. е. вектор 4 прецессирует вокруг направления Н 1ось х) с угловой скоростью 2дт -Ь 2р'1е — т) 1 е Н = — — ' 4-21»' Н. в в С этой же угловой скоростью вращается в плоскости хд проекция Ь па эту плоскость 1обозначнвв ее С1). Вектор же я вращается в той же плоскости с угловой скоростью — еН!в 1как это видно из уравнения движония р = вр = = е)уН)).
Отсюда видно, чзо О поворачивается относительно направления ъ с угловон скоростгпо -21»'Н. 2. То же при движении вдоль направления магнитного поля. Р е ш е н и е. Прн совпадающих направлениях я и Н уравнение 141.9) приводится к виду ~4Н) »1» в т. е. ч прецессирует вокруг общего направления я и Н с угловой скоростью — 2дтН/е. 3. То же при движении в однородном электрическом поло.
Р е ш е н и е. Пусть поле Е направлено вдоль оси х, а движение происходит в плоскости ху 1при этом р„= сопя«). Из 141.9) видно, что вектор ь прецесснрует вокруг оси х с мгновенной угловой скоростью — ( -1-2р) Š— ". Снова разложим Ь на составляюгцне ~» н «» 1в плоскости ху). Тогда э» ~в = О сову, 4',Е= — С1в1пе» » ) Это и есть та «томасовская половинка», которая упоминалась в примечании на с.
151. Изложенный здесь вывод ясно демонстрирует ее происхождение. 185 РАССЕЯНИЕ НЕЙТРОНОВ ВЭЛЕК'ГРИЧЕСКОМ ПОЛЕ 1 42 Из (41.11) наледям, что б1 вращается относиге.п но направления ч с мгно- венной угловой скоростью й 42. Рассеяние нейтронов в электрическом поле При столкновениях нейтронов с ядрами рассеяние на большие углы определяется основным взаимодействием ---ядерными силами. При рассеянии же на малые углы становится существенным, как мы увидим, взаимодействие магнитного момента нейтрона с электрическим полем ядра (1.
Бс)4»п«пуег, 1948). Будем предполагать нейтрон перелятивистским, так что рассматриваемое взаимодействие описываотся приближенным гамильтонианом (41.13). Весь магнитный момент электрически нейтральной частицы является «аномальным», а оператор Й' сводится в этом случае к оператору кинетической энергии '): Й = — — Ь+ 4 Р 4т[Е~7). 2пг пщ (42.1) — 4Р г/1~ (' Р [Е~т)) 4рг/абаз, тс (см.
Ш, 2 126), или и[Ечр), Еч = Е(г)е 'ч"41зщ (42.2) 2ясЬ» (р, р' импульсы нейтрона до и после рассеяния, 44С1 = р'— — р). В написанном виде амплитуда ус является оператором по отношению к спиновой переменной. Прежде чем заняться дальнейппзм вычислением, сделаем следующее замечание. Формула (42.1) была выведена в предыдущем параграфе для медленно меняющихся полей (что фактически означало пренебрежение в гамильтонианс членами, содержащими производные от поля по координатам). В применении к кулонову полю ядра это значит, что длина волны й/р должна быть мала по сравнению с существенными в интеграле Е,, ') В этом параграфе пользуемся обычными елинипами, а буква тн обозначает массу нейтрона.
Ввиду малости электромагнитного взаимодействия нейтрона амплитуда у,п, обусловленного им рассеяния может вычисляться в борновском приближении: 186 частица во внкшнкм полк Гл гк расстояниями г 1/д. Отсюда 6д « р, так что утол рассеяния В 6д/р « 1. Таким образом, требуемое условие выполняется как раз для рассеяния на малые углы.
Для кулонова поля с потенциалом Ф = Уе/г компонента Фурье напряженности Бч — — — гс1Ф = — и1 4яЯе/д~ (см. П, (51.5)). Подстановка в (42.2) дает /с,. =1., ',( ~р )). .22са где ~ начальная по.ляризация пучка нейтронов (Р ски, в 1П, 8 140). Если начальное состояние не поляризовано (~ = О), то поляризация после рассеяния 261п~а В и.
(а)~Вк -ь Ьк (42.5) Эта поляризация максимальна при 0 = 5/(и), причем 1,в,в = 1цп а/(а). При малых углах рассеяния 6а — рд, [рр') — р2Ви, где и -единичный вектор в направлении 1рр'). Таким образом, . 2Усп /с~ =1 Влс К этому выражению надо прибавить амплитуду ядерного рассеяния. Ввиду быстрого убывания ядерных сил с расстоянием эта амплитуда стремится при малых углах к конечному (зависящему от энергии) комплексному значению, которое обозначим через а.
Поэтому полная амплитуда рассеяния /=а+1 — ~ти, 5= "=2Ъх — ". (42.3) са с Мы видим, что электромагнитное рассеяние действительно становится преобладающим при достаточно малых углах. Форма выражения (42.3) совпадает с рассматривавшейся в т. П1, 8 140. Поэтому мы можем прямо воспользоваться выведенными там формулами. Сечение рассеяния, просуммированное по всем возможным конечным поляризационным состояниям: — = )а( + — +251ши и~, (42.4) Ва Вк ГЛЛВЛ Ч ИЗЛ.»'ЧЕНИЕ З 43. Оператор электромагнитного взаимодействия Взаимодействие электронов с электромагнитным полем, как правило, может рассматриваться с помощью теории возмущений. Это обстоятельство связано со сравнительной слабостью электромагнитного взаимодействия, выражающейся в малости соответствующей безразмерной «константы связи» постоянной тонкой структуры о = ев/йс = 1/137.
Эта малость играет фундаментальную роль в квантовой электродинамике. В классической алектродинамике (см. П, 8 16, 28) электромагнитное взаимодействие описывается членом — еу "А„ (43.1) в плотности лагранжиана системы «поле+заряды» (А 4-потенциал поля, «4-вектор плотности тока частиц). При этом плотность тока удовлетворяет уравнению непрерывности длу" = О, (43.2) выражающему закон сохранения заряда.
Напомним (см. П, 8 29), что калибровочная инвариантность теории тесно связана именно с этим законом. Действительно, при замене Ал — » Ал+ д д (4.1) к плотности лагравжиана (43.1) добавляется величина — еу'"д,д, которая в силу (43.2) может быть записана в виде 4-дивергенции — д„(ху") и поэтому выпадает при интегрировании по д т в действии Я = В квантовой электродинамике 4-векторы у и А заменяются соответствующими вторично квантованными операторами. При этом оператор тока выражается через ф-операторы согласно « = = ф-ф.
1»ель обобщенных «координат» д в лагранжиане з з 7~взвммд и = и (,1 Я<1 и играют значения ф, ф, А в каждой точке пространсгва. Поскольку плотность лагранжиана оказывается зависящей только от самих «координат» д (но не от их производных по х), переход 188 излу !ение гл м к плотности гамильтониапа по формуле (10.11) сводится лишь к изменению знака плотности лагранжиана ') . Таким образом, оператор электромагнитного взаимодействия (интеграл по пространству от плотности гамильтониана взаимодействия) имеет вид Р = е (уА)й х.
(43.3) Оператор свободного электромагнитного поля представляет собой сумму А = ~[с„А (х) + с+А„'(х)], (43.4) содержащую операторы рождения и уничтожения фотонов в различных состояниях (нумеруемых индексом и). Каждый из них имеет матричные элементы лишь для увеличения или уменьшения соответствующего плсла заполнения Х„на 1 (при неизменных остальных числах заполнения). Поэтому и оператор А имеет матричные элементы лишь для переходов с изменением чисзга фотонов на 1.
Другими словами, в первом приближении теории возмущений возникают только процессы однократного излучения или поглощения фотона. Согласно (2.15) матричные элементы (Хо 1[со[Лги) = (Хи[с+[у 1) = ъ/Л (43 5) Если в начальном состоянии поля фотоны (сорта и) отсутствуют, то (1[с„-г[0) = 1. Матричный элемент оператора (43.3) для испускания фотона (43.6) Ъ~г(1) = е ()11А„'«Й' х, где А„(х) волновавг функция из;гучаемого фотона, а зг,; матричный элемент оператора у для перехода излучателя из начального состояния ~', в конечное 1' ') .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
