IV.-Квантовая-электродинамика (1109681), страница 36
Текст из файла (страница 36)
4-вежгор у~, — — (ру«ь31«) называют током перехода. Аналогичным образом получается матричный элемент для поглощенгия фотона: 7 (1) е (~«А )с1йх (43 7) Он отличается от (43.6) лишь тем, что вместо А„*(х) стоит А„(х). ) Независимо от этих рассуждений укажем, что если речь идет лишь о поправке первого порядка малости, то всякая малая поправка к лагранжиану переходит в гамильтониан лишь с изл1енением своего знака (см.
1, З 40). в) Обозначения в (43.б) содержат некоторую непоследовательность: индексы у ЪЛ относятся к состояниям всей системы «излучатель+полем а у ул-- к состояниям одного излучателя. 1 44 ОПЕРАТОР ЭЛЕКТРОЛ1АГНИТНОГО ВЗАИМОДЕЙО!'ВИЯ 189 Указанием аргумента 2 у Ъу, мы подчеркиваем, что речь идет о зависящем от времени матричном элементе. Выделив в волновых функциях временные множители, можно обычным образом перейти к независящим от времени матричным элементам: 1Г (1) 1; — 11н, — нг~гг]Л (43.8) (Е„Еу -- начальная и конечная энергии излучающей системы; знаки '+ соответствуют испусканию и поглощению фотона пг).
Волновая функция фотона с определенным импульсом 1с и определенной поляризацией А" = Лгг4~Г Е'~' лг'2лг (43.9) (см. (4.3); временной множитель опущен). Подставив в (43.6), найдем матричный элемент для испускания такого фотона в виде 1'11 = .Л вЂ” ЕД,(1 ), — И (43. 10) где 2у;(1г) -ток перехода в импульсном представлении., т.
е. ком- поненты Фурье 2у,;(1г) = уу,;(г)е ' 'гг х. (43.11) Аналогичная формула для поглощения фотона: $у, = еъ'4к сну~,( — 1с). лг'2лг (43.12) Уравнение сохранения тока в импульсном представлении записывается в виде условия 4-поперечности токов перехода: ~"и~уг гпр1г(1г) — 191'г(1с) = О. (43.13) Написанные в этом параграфе формулы, в которых не предопределен вид оператора тока, имеют общий характер и справедливы для электромагнитных процессов с участием любых заряженных частиц. Существующая теория дает возможность установить вид оператора тока (и тем самым в принципе вычислить его матричные элементы) лишь для электронов.
При применении же к системам сильновзаилюдействующих частиц (в том чишге к ядрам) мы ограничимся изложением полуфеномепологической теории, в которой токи перехода выступают как заимствуемые из опыта величины, удовлетворяющие лишь общим требованиям пространственно-врелленпой симметрии и уравнепиго непрерывности. 190 гл у ИЗ>ГУ ГЕНИЕ 9 44. Испускание и поглощение Г1>н = 2Н~ЪгГ>~~б(Е, — Еу — О>)а>Г>, (44.1) где и условно обозначает совокупность величин, характеризующих состояние фотона и пробегающих непрерывный ряд значений (при этом волновая функция фотона предполагается нормированной на б-фу>Гкцию епо шкале иа).
Если испускается фотон с определе>шым значением момента, то единственной непрерывной величиной является частота и>. Интегрирование формулы (44.1) по д>> = Нго устраняет б-функцию (замеггяя о> определенным значением ш = Е, — Ег), и тогда вероятность перехода и> = 2л(Ъ'у,)з. (44.2) Если же рассматривается непускание фотона с заданным импульсом )с, то ГЬ = Гтзк»(2>г)з = о>йдмдо/(2я)з. При этом предполагается, что волновая функция фотона (плоская волна) нормирована на один фотон в объеме Ъ' = 1, как это принято везде в этой книге; >1>> есть число состояний, приходящихся на фазовый объем Ъ а>зй. Таким образом, вероятность испускания фотона с зада>и!ым импульсом запиГГ>ется В Виде> гйи = 2я)Ъу,(зб(Еà — Е1 — ш) —, (2>г)з (44.3) или после интегрирования по дсо: а>и> = — ~Ъу,~ щ г1о.
4кв (44.4) Сюда должен быть Гюдставлен матричный элел>ент Ъг, из (43.10). В следующих параграфах мы воспользуемся этими формулами для вычисления вероятности излучения в различных конкретных случаях. Здесь мы рассмотрим некоторые общие соотношения между различными видами радиационных процессов. ) Тем самым, во всяком случае, подразумевается пренебрежение отдачей: излучатель как целое остается неподвижным. Вероятность перехода под влиянием возмущения Ъг в первом приближении дается известными формулами теории возмугцений (П1, 9 42). Пусть начальное и конечное состояния излучающей системы относятся к дискретному спектру ') .
Тогда вероятность (в единицу времени) перехода à — Г 1 с испусканием фотона есть 191 1 44 испускании и псглощнния Если в пачапьном состоянии поля уже имелось отличное от нуля число Х данных фотонов, то матричный элемент перехода умножается еще на (й"-+1~сйХ-) = РАУХ-+ 11, (44.5) т. е. вероятность перехода умножается на Лг + 1. Единица в этом множителе отвечает спонтанному испусканию, происходящему и при 11'о = О. Член же Хо обусловливает вынуозсденное (или индуцированное) испускание; мы видим, что наличие фотонов в начальном состоянии поля стимулирует дополнительное испусканис таких же фотонов. Х!атричный элемент 1гу перехода с обратным изменением состояния системы (1 — з з) отличается от элемента Ъу; заменой (44.5) на (Մ— 1~С„~ХП) = з/Х„ и заменой остальных величин их комплексно-сопряженными). тот обратный переход представляет собой поглощение фотона системой, переходящей с уровня Ьу на уровень Езз Поэтому между вероятностями испускания и поглощения фотона (для заданной пары состояний з, Д имеет место важное соотношение ') (44.6) м( "" 1 1'1' (оно было впервые указано А.
Эйнштейном в 1916 г.). Свяжем число фотонов с интенсивностью падающего извне на систему излучения. Пусть 4, доздо (44.7) есть энергия излучения, падающего в единицу времени на единицу площади и имеющего поляризацию е, частоту в интервале Йо и направление волнового вектора в элементе телесного угла до. Указанным интервалам отвечают 1сзс1Ыо/(2я)а осцилляторов поля, па каждый из которых приходится по Хк, фотонов заданной поляризации.
Поэтому ту же энергию (44.7) мы получим, составив произведение с Лгк,6оз = Яи,доздо. 1зздЬ до з (2я)з яязсз Отсюда находим искомое соотношение: (44.8) Пусть ош есть вероятность спонтанного излучения фотона (с!й с поляризацией е в телесный угол йо; индексами (инд) и (посл) ') Ниже в агом параграфе пользуемся обычными единицами. 192 ИЗНОСУ !ЕНИЕ гл у отметим ана,логичные вероятности для индуцированного испускания и поглощения. Согласно (44.6) и (44.8) эти вероятности связаны между собой следующими соотношениями: Сингл) „(инд) „(сп) Эпгсг игСсе игСсе гл1се ие.
(44.9) Если падающее излучение изотропно и не поляризовано (1к, не зависит от направлений 1с и е), то интегрирование (44.9) по сСо и суммирование по е дают аналогичные соотношения между полными вероятностялли радиационных переходов (ллежду заданнылси состояниями г и 1 системы) гсг (погл) (инд) (сп) и с 1 144.10) лг г где 1 = 2 4л1сс полная спектральная интенсивность падающего излучения.
Если состояния г и з" излучающей сили поглощасощей) системы вырождены, то полная вероятность излучения (или поглощения) данных фотонов получается суммированием по всем взаимно вырожденным конечным состояниям и усреднением по всем возможным начальным состояниям. Обозначим кратности вырождения 1статистические веса) состояний г и 1 посредством 8с и 81. Для процессов спонтанного и индуцированного испу.скания начальными являются состояния г, а для поглощения— состоЯниЯ 1.
ПРедположив в каждом слУчае все лс или Я1 начальных состояний равповероятными, получим, очевидно, вместо (44.10), следующие соотношения: г (поги) (инд) , (сп)7Г С с44.11) л 3 В литературе часто используются так называемые коэффициентам Эйнгаглейна, определяемые как А, = ~"*~, в;1 = 0'нд~-', в1, = ~"'"0-' <44.12) 1 1 (величина 1(с есть пространственная спектральная плотность энергии излучения). Они связаны друг с другом соотношениями „гсг 81в1, = 8,В,1 = л,А,1 —;.
(44.13) 9 45. Дипольное излучение Применим полученные формулы к испусканию фотона релятивистским электроном в заданном внешнем поле. Ток перехода в этом случае есть матричный элемент оператора 7= Ф-Ф, 193 дипольнов излмчвнив (45 1) где дзе и 4Т вЂ” -волновые функции начального и конечного состояний электрона. Выберем волновую функцию фотона в трехмерно поперечной калибровке (4-всктор поляризации е = (О,е)). Тогда в (43.10) произведение уу,е* = — 3у,е*. Подставив Ъу; в (44.4), получим следующую формулу для вероятности излучения (в 1 с) в элемент телесного угла с1о фотона с поляризацией е: гйиеп = е — ]е*зу,(1с)] Йо, 2к (45.2) где Зу;(1с) = д1усед1,е ' "с1 х. (45.3) Суммирование по поляризациям фотона осуществляется путем усреднения по направлениям е (в плоскости, перпендикулярной заданному направлению п = 1с/оз), после чего результат умножается на 2 соответственно двум независимым возможностям поперечной поляризации фотона ') .
Таким образом, получается формула с1п~„= е — ](п31,(1с)]] с1о. (45.4) Очень важен случай, когда длина волны фотона Л велика по сравнению с размерами излучающей системы а. Такая ситуация связана обычно с малостью скоростей частиц по сравнению со скоростью света. В первом приближении по а/Л (соответствующем дипольпому излучению —. ср. П, 3 67) в токе перехода (45.3) можно заменить единицей множитель е ' ", мало меняющийся в ) Для усреднения используется формула — 1 е, е1 — — - (бы — и, ее ) 2 (45.4а) или (ае)(Ье") = -(аЬ вЂ” (ап)(Ьп)) = -(ап)(Ьп), 1 1 2 2 (45,4б) где а, Ь вЂ” постоянные векторы. 7 Л.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
