IV.-Квантовая-электродинамика (1109681), страница 37
Текст из файла (страница 37)
Д. Ландау я Е.М, Лифшиц, том 1У в котором ф-операторы предполагаются разложенными по системс волновых функций стационарных состояний электрона в данном поле (см. 2 32). Переходу электрона из состояния 4 в состояние у' отвечает матричный элемент (0,11]у]1;Оу). Такое изменение чисел заполнения осугцествляется оператором а~~а„и для тока перехода получаем 194 гл м излу !ение области, где с)с или фу заметно отличны от нуля. Такая замена, означает, другими словами, пренебрежение импульсом фотона по сравнению с импульсами частиц в системе. В том же приближении интеграл 17,(0) может быть заменен его нерелятивистскнм выражением, т.
е. просто матричным элементом ч7, скорости электрона по отношению к шредингеровским волновым функциям. В свою очередь этот элемент чу; = = — сиг7м а егУ, = с17с где с1 дипольный момент электРона (в его орбитальном движении). Таким образом, находим следуюшую формулу для вероятности дипольного излучения: дю,„= — ~е*с17,~ до 2к [45.5) [направление и фигурирует здесь в неявном виде: вектор е долж- ен бьггь перпендикулярен п). Просуммировав по иисшри.зацням, получим Йл„= — ~[пс17,)~ с1о. 2х (45.6) ш = — (с17;(2., 3 (45.7) или в обычных единицах: [45.7а) Интенсивность 1 излучения получается умножением вероятности на скэ: [45.8) Эта формула обнаруживает непосредственную аналогию с классической формулой (сы.
П, (67.11)) для интенсивности дипольного излучения системой периодически движущихся частиц: интенсивность излучения частоты ы, = аы (где ы - - частота движения частиц, з - целое число) равна [45.9) Ввиду нерелятивистского (по отношению к электрону) характера этих формул их обобщение на любые электронные системы очевидно: под с17, надо понимать матричный элемент полного дипольного момента системы. Проинтегрировав формулу [45.6) по всем направлениям, найдем полную вероятность излучения; электтическое мулътипольное и3.1учение 195 1 46 где 41е -.компояенты Фурье дипольного момента, т. е. коэффи- циенты разложения 1т1) ~ 1 — Ькст (45.10) 9 46. Электрическое мультипольное излучение Вместо того чтобы рассматривать излучение фотона в заданном направлении (т. е.
с заданным 4лмпульсоет), рассмотрим теперь излучение фотона с определенными значениями момента 4 его проекции ьа на некоторое избранное направление е. Мы видели в з 6, что такие фотоны могут быть двух типов - электрического и магнитного; начнем с излучения фотонов электрического типа. При этом снова будем считать размеры излучающей системы малыми по сравнению с длиной волны.
Вычисления удобно производить с помощью волновых функций фотона в импульсном представлении, т. е. представив 4-вектор А'"(г) в виде интеграла Фурье. Тогда матричный элемент Г „4„ Руч = е ург)А'(г)41йт = е 41зх. у~~,(г)/ — А*(14)е 'к" (46.1) (для упрощения записи формул опускаем индексы 4сттп у волновых функций фотона). Для Е~-фотона берем волновую функцию из (7.10), выбрав произвольную постоянную С равной Квантовая формула (45.8) получается из (45.9) заменой этих компонент Фурье матричными элелтентами соответствующих переходов. Это правило (выражатощее собой принцип соответ; ствил Бора) является частным случаем общего соответствия между компонентами Фурье классических величин и квантовыми матричными элементами в квазиклассическом случае (см. 1П, з 48).
Излучение квазиклассично для переходов между состояниями с больпгими квантовыми гиспами; при этом частота перехода 444с = Е, — Еу мала по сравнению с энергиями излучателя Е; и Еу. Это обстоятельство, однако, не привело бы к каким-либо изменениям в виде формулы (45.8), справедливой для любых переходов. Этим обьясняется тот (в известном смысле случайный) факт, что принцип соответствия для интенсивности излучения оказывается справедливым не только в квазиклассическом, но и в общем квантовом случае. 196 излу !ение гл я Цель такого выбора состоит в том, чтобы в пространственных компонентах волновой функции (А) сократились члены, содержащие шаровые функции порядка у — 1 (как это видно из формул (7.16)). Тогда А будет содержать только шаровые функции порядка ) + 1, в результате чего соответствующий вклад в 1'у, окажется (как это будет очевидно из дальнейшего вычисления) более высокого порядка малости (по а/Л), чем вклад от компоненты Ао = Ф, содержащей шаровые функции более низкого порядка 21 Таким образом, полагаем А' = 1Ф,О), Ф = — ~, б(~Ц вЂ” оз)Ууэ„(п) (и = 1с/оз).
Подставив это выражение в (46.1) и проинтегрировав по )1с), получим Уу~ = — е —.— гз я ру,,(г) доне ™У,* (и). (46.2) 2я,/ Для вычисления внутреннего интеграла воспользуемся разложением (24.12), записав его в виде (46.3) где а~г)=С Лм)4 ьа) (46.4) (см. Ш, (34.3)) ') . Подставив это разложение в (46.2), получим у г'г1 е ""У,* (п)г4оп = 47гг' Уйу(Иг)У* (остальные члены обращаются в нуль ввиду ортогональности шаровых функций). В силу условия а)Л « 1 в интеграле по д т будут играть роль лишь расстояния, для которых Ы « 1.
Поэтому можно заменить функции иу(йг) первыми членами их разложений по йг '): (46 5) (23 е Пй ) Нормировка функций р такова, что их асимптотический вид при Ь вЂ” г оо: в1п1Ь вЂ” я1/2) (4б.4а) Ь в) Степень кг совпадает с порядком функции 1; ,в произведении с которой выступает я,. Тем самым оправдывается пренебрежение членами в А, содержащими шаровые функции более высокого порядка. 197 1 46 электгичеОкОе ыулътипОльнОН из.(учьние В результате получим И.
= ( — 1) ' зз е(с)() ) (466) ху' (2! Э- Ц!! где введены величины ((с! ' )зг = р)4(г)г У~т г( х (46.7) (напомним, что 1',„= ( — 1)з и'1г' ). Величины (46.7) называют 24 -польными электрическими моменпзами перехода системы по аналогии с соответствующими классическими величинами (П, 2 41) '). Для электрона во внешнем поле рП = ф*Щ, и тогда величины (46.7) вычислз(ются как матричные элементы от классической Величины (з) 4л г У.ш. Лн В нерелятивистском (по скоростям частиц) случае момент перехода может быть в принципе вычислен аналогичным образом для любой системы Х взаимодействующих частиц. При этом плотность перехода выражается через волновые функции системы в виде х зз((=(Ф)(ч,", (З('»" 'к(у,!(' — '(" п.=! (46.8) где интеграл берется по всему конфигурационному пространству.
Е), Использованная нами волновая функция фотона соответствует (в координатном представлении) нормировке па д-фупкци(О по шкале оз, как и предполагается в формуле (44.2). Подставив в нее (46.6), получим вероятность Еу-излучения з) (з) 2(21 -(-1)(у -(-1),214-! 2~(ц(з) ) (2 эт ((2 1)9()з у,— т гг ') Мы определяем мультипольные лгоменты без множителя е в соответствии с тем, что и токи определены в этой книге без зарядового множителя. з) Возможна ситуация, когда вероятность перехода обращается в нуль в силу приближенных правил отбора> справедливых лишь в пренебрежении спин-орбитальным взаимодействием электронов.
В таком случае для получения отличного от нуля результата надо пользоваться волновыми функциями с релятивистской поправкой, учитывающей зто взаимодействие. з) На первый взгляд могло бы показаться, что в силу изотропии пространства полная вероятность испускания фотона нс должна зависеть от значения пи Нто зто не так, легко понять, если заметить, что для испускания фотонов с различными значениями пз должны быть различны конечные состояния системы (при заданном ее начальном состоянии); ср. ниже правило (46.16).
198 гл ъ изэгу гение В частности, при у = 1 имеем 4 (46.10) Величины Яг связаны с компонентами вектора электрического (э) дипольного момента формулами еЯ~го — — гг1„ефгтг = ~ — (с(, ~ и1 ). (46.11) (э) эг2 Просуммировав (46.10) по значениям т, мы вернемся, как и следовало, к уже известной нам формуле (45.7) для полной вероятности дипольного излучения.
Угловое распределение мультипольного излучения определяется формулой (7.11). Нормируя ее на полную вероятность испускания иг,, глмгеем дш ~ = )Ъ" ' (п)~ шгг„г4о = "" )'сг„Уг„~яс1о. (46.12) В частности, для у = 1 . 73 Ую = ~',~г — совО, у 4к Уг тг = ~г~г — вшО. е .)3,. 8к где О, га полярный угол и азимут направления и относительно оси в. Вычисляя градиент, найдем, что угловое распределение дипольного излучения с определенными значениями т дается выражениями ш „, стгс(ка) ~. (46.14) Увеличение степени мулыипольности на 1 уменьшает вероятность излучения в отношении (Йа) . 2 Законы сохранения момента в четности приводят к определенным правилам отбора, ограничивающим возможные изменения состояния излучающей системы.
Если начальный момент системы равен 7„то после излучения фотона с моментом э' момент г1шго = шго — вйп Ос1о, йог э г = шг гг — до. (46.18) 3 3 1-ьсоэ~в 8гг ' ' 8гг 2 Их можно было бы, разумеется, получить и из формулы (45.6), положив в пей один Раз (длЯ гп = 0): агэ = г4ц — — 0, г4, = г4г а дРУгой Раз (т = ~1): сч — — ~Ы, = д/тгг2, аг, = О. Если порядок величины размеров системы (атома или ядра) есть а, то порядок величины электрических мультипольных моментов есть, вообще говоря, ~З'„„аг. Вероятность же мульти- польного излучения 1 46 ЭЛЕКТРИЧЕОКОЕ ЫУЛЪТИПОЛЬНОЕ ИЗЛУЧЕНИЕ 199 системы может принимать лишь значения,УХ, определяющиеся правилом сложения моментов (Л4 — Лу = Я: ~,У; —,УУ~ < 4 < У, +,УУ. (46 15) При заданных значениях,У, и Уу тем же правилом (46.15) определяются возможные значения момента фотона 41 Но поскольку вероятность излучения быстро убывает с увеличением 4', то излучение происходит в основном с наименьшей возможной мультипольностью.
Проекции ЛХ;, и МУ моментов Л, и 1У вместе с проекцией ьч момента фотона удовлетворяют очевидному (из того же закона сложения моментов) правилу М вЂ” ЛХХ = гп. (46.16) ЧО4носги Р; и Ру начального и конечного состояний излучающей системы должны удовлетворять условию РХРф = Р„где Р1, четность излученного фотона; поскольку четности могут иметь лишь значения х1, это усповие можно записать также в виде (46.17) Для фотона электрического типа Рф = ( — 1)У, так что правило отбора по четности для электрического мультипольного излучения: Р,РУ = (-1)4.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
