IV.-Квантовая-электродинамика (1109681), страница 49
Текст из файла (страница 49)
По определению, сг, (сп) есть тензор поляри(и) зуемости атома в поле с частотой со. Для частот, при которых мнимые добавки в знаменателях могут быть опущены и тензор сг;ь эрмитов, тензоры ст,ь и сг, просто совпадают друг с другом. (и) В частности, при со = 0 формула (59.22) переходит в формулу (76.4) (см. Ш1, причем выражение для тензора статической поляризуемости (76.5) (см. П1) совпадает с сг;ь(0) из (59.17). Отметим также, что если состояние 1.-- основное '), то все юи1 ) 0 и правило обхода в первом члене в (59.17) существенно только при оз ) О, а во втором при оз (О.
В таком случае СГСЬ( ) = ~А.~М). (59.23) По смыслу формул теории рассеяния в них подразумевается, что сп ) 0; тогда тепзор сыь совпадает с тензором поляризуемости. В дальнейшем нам понадобится наряду с сечением еще и амплитуда рассеяния фотона 7". Как обычно в теории возмущений, она совпадает, с точностью до нормировочного множителя, со взятым с обратным знаком матричным элементом (59.2). Подобрав этот множитель так,. чтобы представить сечение (59.7) в виде дсг = ~ 1~ г1о', найдем для амплитуды упругого рассеяния 1 = оз аде,; еы (59.24) Согласно оптической теореме (сьь ниже формулу (71.10)) мнимая часть амплитуды рассеяния вперед (т.
е. без изменения импульса и поляризации) определяет полное сечение пг всех возможных упругих и неупругих процессов для данного начального состояния фотона: пг — — — 1гггОН сзгье,*еь) = 4нсо *' " е,*еы (59.25) 2ю Таким образом, полное сечение определяется антиэрмитовой частью тензора рассеяния. Формула (59.25) имеет простой классический смысл.
Электрическое поле Е производит в единицу времени над системой зарядов работу, равную 2;етгЕ = Ед. Представив поле в виде (59.20), а дипольный момент в виде (59.21), (59.22) и усреднив эту работу по временидюлучим ~Е~2 е о е — оы ') Только такой случай (который мы и будем иметь в виду в последуюРдих рассуждениях) допускает вполне строгое рассмотрение из-за конечности времени жизни возбужденных состояний (см. 5 62). 262 РАссь5!ние светА ГЛ. 551 (Е = еЕ).
С другой стороны, если Е -поле падающего света, то средняя плотность потока энергии в нем равна ~Я~2/(8н), а поглощаемая атомом энергия равна — '!Ь.~зо!. 8н Приравняв друг другу полученные выражения, получим формулу (59.25). Если момент,1 основного состояния атома равен нулю, то в силу сферической симметрии сггь = сгб;я. Тогда о.! — — 4но5 1п! о. (59.26) Для системы с моментом такое же соотношение верно для величин, усредненных по его направлениям в пространстве (сы. '8 60). Для энергий фотона выше порога ионизации атома главный вклад в полное сечение сг! вносит процесс иопизации - поглощение фотона при фотоэффскте.
Сечение же рассеяния является величиной более высокого порядка по ев (ср.! например, (56.13) с (59.16)). Если же энергия фотона лежит ниже гюрога ионизации (но не близко к резонансу, т. е. к какой-либо из дискретных частот возбуждения атома), то сечение, сводящееся в этом случае к сечению рассеяния, а вместе с ниа! и мнимая часть амплитуды, оказывается более высокого порядка малости, чем ее вещественная часть. Пренебрегая мнимой частью, мы снова получаем (59.19). Положение дел меняется вблизи резонанса, где сечение возрастает; эта ситуация будет рассмотрена в 8 63.
Наряду с рассеянием, к двухфотонным процессам, появляющимся во втором порядке теории возмущений, относится также и двойное исггускаггие одновременное непускание атомом двух квантов. Выражение для вероятности этого процесса отличается от формулы (59.5) только заменой а5 — 5 — о5, е — + е' (непускание фотона о5 вместо поглощения) и лишним множителем ,33 ь 34, (2н)3 (2н)3 --. числом квантовых состояний испускаемого фотона в заданных интервалах частоты а5 и направлений 1с; частота же второго фотона определяется по о5 равенством а!+о!' = а!!2. Таким образом, вероятность излучения (в единицу времени) ') ,3 !3 Й~ = ~(бгь)2гегвеь~, оооо'Йа, (59.27) (2н)3с363 ) Здесь и ниже н атом параграфе — обычные единицы.
263 1 59 тензоР РАссеяния где (Ь ) 'с, ~ (г1 ) (г1А). (г19) (4.)» 1ы ~ -~- ы — 10 ы 1 + ы' — 10 Л отличается от (ось)21 (59.6) лишь знаком перед ю. Просуммировав это выражение по поляризациям фотонов и проинтегрировав по направлениям их вылета '), получим Выразив отсюда Хк через 511 и разделив на Ы вероятность про- цесса, получим его сечение 13 сЬт =, ~(Ьсь)12е~ еь( 51о~.
(59.29) Аналогичным образом, если атом находится в поле фотонов со', 1с', то при падении на него фотона ы, 1с происходит нынуждеьное комбинационное рассеяние, сечение которого пропорционально плотности числа фотонов оз'.,1с'. ) Эта операция сводится к полному усреднению по направлениям е согласно с,с1 — — 5,А/3 и последующему умножению иа 2 2 4я 4я. ) Время жизни уровня 2в 1В, обусловленное двойным испусканием, составляет 0,15 с, 51ю = ~(Ьсь)21~ сЬН.
(59.28) Ояйвсо Вероятность испускания двух фотонов ю и ш' обычно очень мала по сравнению с вероятностью испускания одного фотона с частотой оз + оу. Исключение составляют случаи, когда правила отбора, запрещая второй процесс, допускают первый. Таковы, например, переходы между двумя состояниями с 7 — О, для которых всякие процессы излучения одного фотона запрещены строго. Другим примером является переход из первого возбужденного состояния атома водорода (2в1~2) в основное состояние (1Е~72), запрещенный как для Е1-, так и для ЛХ1-излучения (см. задачу 2, 2 52) ') . Если агом находится в поле падающего на него потока фотонов оз, 1с, то наряду со спонтанным двойным испусканием, вероятность которого есть (59.27), существует также и вынужденное двойное непускание: под влиянием поля испускается еще один такой же фотон и с ним фотон со', 1с'. Вероятность этого процесса отличается от вероятности спонтанного испускания множителем Як, плотностью числа фотонов падающего света с заданными 1с, е.
Плотность потока падак1щих фотонов есть азу И = СЬ7к.— ' = А„, ' 1ЫС. о (2я)з в алас 264 гл. ч! РАСОЕ5!ние с!ВЕТА Вычисление теизоров (с,ь)!о или (5,ь)19 для конкретных атомов требует вычисления сумм вида (,у(9)) ~ И )з. И )- (59 30) причелл Е принимает значения Е! ж йко или Е! ж йео'. Пусть, для упрощения записи, речь идет об атоме водорода. Запишем сумму (59.30) в виде интеграла (М,ь )з! = фз)т)с)лС(г, г'; Е)й~г)!!(т') г)ах!)йх', (59.31) где С(г г!.
Е) ~- ~Г~Ф;(т') Е. -Е-ло' (59.32) Подействуем на функцию С оператором Й вЂ” Е, где Й гамильтониан атома. Поскольку Йг)!в = Епе)!и, получим (Й вЂ” Е)С = ~~! !)!„(г)ф„'(г'). Задача Вычислить вероятность упругого рассеяния электрона 1нерелятнвистского) на почти монохроматической стоячей световой волне !Н. Л. Капица, Н. А. М. Дирак, 1933). Р е щ е н и е. Стоячую все!ну можно рассматривать как совокупность фотонов с импульсами )с и — )с !и одинаковылги поляризациял!и). Рассеяние же электрона.
— как поглощение фотона с импульсом и и вынужденное испускание фотона с импульсом — )с, в результате чего импульс р электрона получает приращение 25)с, поворачиваясь !без изменения величины) на ) См. Нее!)ег Ь.О.!. Ма!5. РЬув. 1964. — Ъ'о1. 5. Р. 591. Прилленение этой функции Грина к вычислению амплитуды рассеяния на атоме водорода — см. Грановский Я, И.ОЖЭТФ. — 1969. — Т. 56. — С. 605. Но стоящая здесь сумма есть, в силу полноты системы функций ф„, б-функция б(г — г'). Таким образом, функция С удовлетворяет уравнению (Й вЂ” Е) С(г, г'; Е) = б(г — г'), (59.33) т.
е. является функцией Грина уравнения Шредингера (правило обхода в (59.32) определяет, какое из решений этого уравнения следует выбрать). Тем самым задача о вычислении суммы (59.30) сводится к нахождению функции Грина атома. Точное решение уравнения (59.33) возможно, однако, лишь если известны точные решения однородного уравнения Шредингера, т. е. фактически —. лишь для атома водорода ') .
РАссеяние' сВОБОднО ОРикнтиРуюшимис5! системами 265 угол 8: ~р~ з1п(0,52) = ьь>/с. Вероятность этого процесса можно получить из сечения томсоновского рассеяния (89.18) Исг = т,. ~е'е~ г)о = г,,4о путем умножения на плотность потОка фотонов с импульсОм К и чиСло фо- тонов с импульсом — 15. Плотность потока фотонов с частотами в интервале 5зь> равна СП 51ь>Д21ку), где с> пь> --плотность энергии в стоячей волне в спектральном интервале 51ы (множитель 5/г учитывает, что энергия волны разделена поровну меж- ду фотонами противоположных направлений). Импульсы 15 всех фотонов, образующих стоячую волну, параллельны определенному направлению и (»направление» стоячей волны).
Другими словами, плотность энергии как функция частоты и направления фотонов и: С5„„= Ез„,е (и — и). Соот(з5 ветственно этому число фотонов с импульсом — к равно (ср, (44.8)): з з дт „4~~ 855 с с' 15»>з 2 В результате получаем для вероятности рассеяния электрона (в 1 с) 255 е з з гн>й>З Множитель ы ~ вынесен за знак интеграла, поскольку степень пемонохро- матичности Ьь> предполагается малой. Значение интеграла обратно пропор- ционально 5З»> 1при заданной полной интенсивности).
8 60. Рассеяние свободно ориентирующимися системами Если уровень энергии атома не вырожден, то поляризуемость и интенсивность когерентного рассеяния определяются одним и тем же тензором озА = (сзь)11. Если же уровень вырожден, то наблюдаемые значения указанных величин получаются усреднением по всем состояниям, относящимся к данному уровню. Поляризуемость должна быть определена как среднее значение сзьь = (сз»ь)11.
Наблюдаемая >ке интенсивность рассеяния определяется средними значениями произведений (сзь)ы(с1 )ы. Поэтому связь между поляризуемостью и рассеянием становится менее прямой. Отметим, что хотя каждая из величин (сзе)ц может быть комплексной, их средние значения вещественны (предполагается, что поглощение отсутствует и озь эрмитов тензор). Действительно, при усреднении можно произвольным образом выбрать совокупность независимых волновых функций (отвечающих данному вырожденному у.ровгно), а при этом можно всегда добиться того, чтобы все функции были вещественными. 266 ГЛ. гг! РАссь5!Вие с!ВЕТА где (2Ц 1 1 СгЬ! — — ~ '!Сгв)21'!С1т)21 — — !2,72+ 1ИСгв)21!С1т)21 г !60.2) 2.1! + м,м, а черта с индексом 1 означает усреднение по М!. Для несмещенного рассеяния состояния 1 и 2 относятся к одному и тому же уровню энергии (О!12 = О). Если речь идет лишь о когерентном рассеянии, то состояния 1 и 2 должны совпадать полностью, т.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
