IV.-Квантовая-электродинамика (1109681), страница 54
Текст из файла (страница 54)
4 — 5. (ое ) Для болыпей наглядности вычислений в этом параграфе не будем полагать нормировочный объем равным единице. 286 мАГРицА РАссьяния Гл. ъп При этом волновые функции всех частиц, используемые при вычислении матричного элемента, должны быть нормированы на одну частицу в обьеме 1'. Так, для электрона - это плоская волна (23.Ц, для частицы со спином 1 .
(14.12)г для фотона - (4.3). Все эти функции содержат множитель 1ггь'2Л', где е энергия частицы. Однако в дььльнейшем будет удобным условиться писать во всех вычишгениях волновые функции частиц без этих множителей (которые включим в выражение для вероятности). Таким образом, электронная плоская волна будет ф=ие '"', а фотонная волна (64.8) йи=2т, А = ъ'4лее '~'*, ее' = — 1, ей = О.
(64.9) Вычиссчшгную Г тнкимн фуню1иями амплитуду рассеяния обозначим (в отличие от '1"уг) Му,. Очевидно, что т~, = (64.10) (2ег 1'... 2е, 1 ...) Л в знаменателе стоит по одному множителю ъ'2е)5 на каждую начальную или конечную частицу. В частности, для вероятности распада получим вместо (64.7) Г)гп = (25Г) г)г'5(Р~ — Р,)~М1;~ — и р', (64.11) а где е энергия распадающейся частицы; нормировочный объем, как и должно быть, из этой формулы выпал ') .
Придадим формуле (64.11) более законченный вид (устранив в ней б-функции) для случая, когда распад происходит на две частицы (с импульсами р1, р12 и энергиями е'1, с~2). В системе покоя распадающейся частицы р', = — р!~ = р', е' + е!2 — — гп, так что имеем . ~Муг~, д(Р1 + Р2)гг(с1 + с!2 ™)сг р1сг Р2.
(25г)1 2ш 4е',е!е Первая б-функция устраняется интегрированием по дар~~, дифференциал же гг'~р', переписываем в виде лзрг р12,)~р1~,4о = ~р1~,4о'гее4'1+'г) (64.12) ег + ег ') Если среди конечных частиц илгеется гг' тождественных, то при интегрировании по их импульСам (с цЕлью нахождения интегральной вероятности) должен быть введен множитель 15гх!, учитывающий тождественность состояний, ракличающихся перестановкой частиц. 287 АМПЛИТУДА РАССЕЯНИ51 ди1 = (2п)4о14)(Р— Р)~М;~2 П а Интересующей нас величиной в этом случае является, однако, не вероятность, а сечение а555.
Инвариантное (относительно преобразований Лоренца) сечение получается из 515л делением па величину ! у = Гсгсз (64.14) где ! обозначает 4-скаляр (см. П, 8 12) ') . В системе центра инерции (рг ! = ~Р~(ег+ е2), (64.15) Р2 = Р) (64.16) так что (64.17) ХЕ1 Е2Г Р что совпадает с обычным определением плотности потока сталкивающихся частиц (пм п2 их скорости) ') . Таким образом, находим для сечения формулу 5Ь = (2п)~61~)(Р! — Р)~М1;~~ — П Р' .
(64.18) а ') На будущее выпишем также выражение для ! в виде 1 = 151(а — (1л1-Р1п ) ](я — (т1 — нм) (54яба) где в = (р1+рз) . ) В произвольной системе отсчета 1=15А1Л": У*:Р:Р. Это выражение сводится к обы.1ной плотности потока во всех случаях, когда ъ 1 '5 У51 у = ~У5 — Уз),%'. (в справедливости этой записи легко убедиться, заметив, что ег2— — т5 — — е2 — т2 — — р ). Интегрирование по 11(е5 + е2) устраняет 12 12 12 12 вторую о-функцию, и получается 51ю = 15, (М!2)2)р')а5 1'.
(64.13) Рассмотрим теперь столкновение двух частиц (с импульсами рг и р2 и энергиями е1 и е2) с превращением их в совокупность произвольного числа частиц с импульсами р'„. Вместо (64.11) получим теперь 288 МАТРИЦА РАССЕЯНИИ Гл. Мп Придадим этой формуле окопчате.льный вид, исключив из нее б-функцию для случая, когда в конечном состоянии тоже имеется всего две частицы. Будем рассматривать процесс в системе центра инерции. Пусть е = ег + 62 = е', + 62 - полная ЭНЕРГИЯ; Р1 = — Рв ЬЭ Р И Рг~ — — — Р!2 = Р' НаЧаЛЬНЫЙ И КОНЕЧ- ный импульсы. Устранение д-функции производится так же, как и при выводе (64.13), и получается 641 1' ~1ы (64.19) (в частном случае упругого рассеяния, когда род частиц при столкновении не меняется, ~р'~ = ~р~).
Перепишем эту формулу еще и в другом виде, введя в нее инвариантную величину ( 1)2 2+„12 21,,1) = т2+т2 — 2еге', +2~рг'бр',~сов0, (64.20) где 0- угол между рг и ры В системе центра инерции импуль- сы ~рг~ = ~р~ и ~р', ~ = ~р ~ определяются одной только полной энергией е, и при заданном е 04 = 2)р))р')дсов О. (64.21) Поэтому в (64.19) можно заменить 51о' = — 51грг1 сов 0 = 2)р((р'! где (гр -- азимут рг относительно рг ') .
Таким образом, СЬ = — ~МУ1~ —— 1 222Ф 64х У' 25г (64.22) Йт = — ~ЛХу,~ 2 ггс 64я (64.23) Если одна пз сталкивагощихся частиц достаточно тяжела (и ее состояние в результате столкновения не меняется), то ее роль ') Поскольку правильный знак дифференциала в подобных случаях очевиден, будем ниже для простоты писать 522 вместо 4( — Ф) и т. п. (ыы снова ввели инвариант 1 согласно (64.16)). Азимут гр, а с ним и сечение в форме (64.22) инвариантны относительно преобразований Лоренца, не меняющих направление относительного движения частиц.
Если сечение не зависит от азимута, формула (64.22) принимает особенно простой вид 289 Амплитуда РАссвнни5! 5д (Еу — Е1 )) — 5 — б(Е1 — Е;) й 2и Перейдя затем (как и при выводе (64.11)) к амплитуде М51 вместо ТРм получим следующее выражение для вероятности процесса, в котором одна частица, рассеиваясь в постоянном поле, создает в конечном состоянии некоторое число других частиц; оа бп1 = 2яд(Е7 — ЯМ11 ~' — и 2РГ (2и)а2а'„ а Здесь снова а(,= Е,) — энергия начальной частицы, р', и е'„— импульсы и энергии конечных частиц. Сечение же рассеяния получится делением йн на плотность потока 2 = 055'5', где н = ~р~/е-- скорость рассеиваомой частицы. В результате нормировочный объем снова выпадает из ответа и получается 57а = 25гд(ЕХ вЂ” еКМЫ вЂ” П Р", . 2(р) (2и)а25'„ (64.25) В частном случае упругого рассеяния в конечном состоянии имеется тоже одна частица с тем же (по величине) импульсом и той же энергией.
Заменив 510р' — > р'~51~р'~51о' = ~р'~е'57е'бо' и устранив д(е' — е) интегрированием по 55е', получим сечение в виде Йг = ~М7;~ 57о'. (64.26) Наконец, если внешнее поле зависит от времени (скажем, поле системы частиц, совершающих заданное движение), то в Я-матрице отсутствует также и д-функция от энергии. Тогда 311 = = 1Туз и по1ле перехода от Т11 к М51 согласно (64.10) вероятность, например, процесса, в котором поле рождает определенную совокупность частиц, будет даваться формулой ~'П „.';„„ (64.27) 10 Л.
Д. Лаццау и Н.М, Лифшиц, том Г1' в процессе сводится к роли неподвижного источника постоянного поля, в котором рассеивается друтая частица. В соответствии с тем, что в постоянном поле сохраняется энергия (но не импульс!) системы, при такой трактовке процесса столкновения представим элементы Я-матрицы в виде Бу; =1 255д(Е1 — Е;)7У;. (64.24) В выражении для ~Я7;~2 квадрат одномерной д-функции должен пониматься как 290 мАГРицА РАссвяни5! Гл. Ып 9 65. Реакции с поляризованными частицами или (и'Аи)* = иАи', (65.2) где ') А, о ~~-,уо Таким образом,.
~Му5~ = (и'АиИиАи') = ииьАыи5итлАга5' (65.3) Если начальный электрон находился в смешанном [частично поляризованном) состоянии с матрицей плотности р и если нас интересует сечение процесса с образованием конечного алектрона в определенном наперед заданном поляризационном состоянии р', то надо заменить произведения компонент биспинорных амплитуд 5 — I 5 и,ил — + Р,Ю иУи — > Р5„,. Тогда ~Му ~г Вр[р~АрА) Матрицы плотности р и р' даются формулой (29.13) р = — (ур+ тп)[1 — у (уо)) 2 (и аналогично для р').
Если начальный электрон не поляризован5 то Р = — ( УР+ гп). [65 4) (65.5) (65.6) ') В связи с необходимостью образовывать матрнну А отметим для будущего следующие легко проверяемые равенства: 7 = Э 'у"'у' ЧА = 'уе 'у ЧР, у = — у, ув у" =.5'-5". (66.2а) В этом параграфе мы покажем на простых примерах, каким образом учитывается при вычислении сечения рассеяния поляризационное состояние участвующих в реакции частиц.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
