IV.-Квантовая-электродинамика (1109681), страница 59
Текст из файла (страница 59)
Состояния же а) и б) сами по себе не обладают определенной четностью, но, составив из них колгбипации а'Я!А!5! + Вггм-5-5, б')г)5!А!5! — фюи-5-5, мы получим четные и нечетные состояния. При У = 0 допускаются (в связи с условием )Л! — Лз( ( l) лишь Л! = Лг., так что состояние в) вьшадает, и остаются лишь одно четное и одно нечетное состояния а') и б'). Наконец, при У = 1 единственное допустимое при нечетных,У состояние г) запрещено, так как для него Л = 2 >,У.
Таким образом, мы приходим к таблице допустимых состояний (9.5) . 2, В перелятивистском приближении полный момент системы У есть результат сложения спина л н орбитального момента У. Для системы двух частиц найти связь между состояниями )УУБМ) и !УМЛ5Лг). Р е и! е н и е. Согласно правилу составления волновых фуикпий при сложении моментов имеем УАгьям = ~ ~(55м .~~г .(а~о )ЯМУ)~5)ЕА5,(М5Мв~УМ). (Ц Здесь 556 — собственные функции спина з с проекцией и (на фиксированную ось з), фььгь — то жс для орбитального моьюнта У с проекцией Мь; выражение в скобках отвечает сложению в! и вг в с, после чего л складывается с У в У! суммирование — по всем пг-индексам.
Выразим все функции в импульсиол! предСтавлении как функции направления и (импульеа р = р!), причем функции гл, выразим с помощью формулы (58.7) (см. П1) через функции спиральных состояний 55!„г: гг = ЕВА,,(ПК' » Ргз з = х УУ вЂ” Аг г(п)Ф -лг. ДлЯ фУнкции же ы!Ььгь имеем бгемг, = еггь(п) =5, 5( УУомь(п) .ь 12У -!- 1 550 (использованы формула (58,25) (см. П1) и определение (16.5)). Подставив эти функции в (Ц, воспользуемся дважды разложением (110.Ц (см. П1), а также свойством ортогональности коэффициентов Клебша--Горлана (см. 1П, (106.13)). В результате получим гргьэ и в виде разложения гугьэм = ~~', ФУА5А, л,(УМЛ Лг~УУЯМ), (2) где /2,У+ 1 Ф.!А!А!Аз = Рс л,~~ю — АгП,555(п)5! ', й = Л! — Лг, 4х 312 Гл.
Мп МАТРИЦА РАССВЯНИ5) а ковффициентм 61мл, л,),гйям) = = ) — ))') — ))" " ))5»+ )))25 )) С»»») )»»») . )3) В силу унитарности преобразования С2) (ХАИМ)ХМЛ)Лз) = (ЛМЛ)Л»~,гй5М)*. й 70. Инвариантные амплитуды В спиральных амплитудах используется определенная система отсчета - . система центра инерции. Между тем при вычислении амплитуд рассеяния с помощью инвариантной теории возмущений са также для исследования их общих аналитических свойств) удобно записывать амплитуды в явно ипвариантпой форме. Если частицы, участвующие в реакции, не имеют спина, то амплитуда рассеяния зависит только от инвариантных произведений 4-импульсов частиц. Для реакции вида а+6 — >с+54 с70.1) в качестве этих инвариантов можно выбрать какие-либо две из определенных в 2 66 величин я, 1, и.
Тогда амплитуда рассеяния сводится к одной функции Мс; = 1(я) 1). Если жс частицы обладают спинами, то, помимо кинематических инвариантов н, 1, и) существуют также инварианты, которые можно составить из волновых амплитуд частиц (бис)пиноров, 4-тензоров и т. п.). Амплитуды рассеяния должны тогда иметь вид »))Ху, = ~ ~„(в,б)Р„, (70.2) 'и где Є— инварианты, линейно зависящие от волновых амплитуд всех участвующих частиц (а также от их 4-импульсов). КоэффиЦиен"Гы 1о(з, с) называют инваРиасстньсми амплитУдами.
Выбрав волновые амплитуды так, чтобы они отвечали частипам с определенными спиральностями) мы получим определенные значения инвариантов РГ) = Ра(Л„Л7). Тогда спиральные амплитуды рассеяния представятся в виде линейных однородных комбинаций инвариантных амплитуд С»). Отсюда видно, что число независимых функций сн(в,б) совпадает с чисаом независимых спиральных амплитуд. Поскольку число последних определяется легко (как было обьяснепо в 2 69)) тем самым облегчается задача построения инвариантов г„, - мы заранее знаем, сколько их должно быть. Рассмотрим некоторые примеры.
Во всех примерах будем считать, что взаимодействие Т- и Р-инвариантно; последнее 313 1 та ИНВАРИАНТНЫЬ АМПЛИТУДЫ свойство означает, что инварианты Е„должны быть истинными (а не псевдо) скалярами. Рассеяние частицы со спином 0 на частице со спином ту2. Для подсчета чиула инвариантов .или. что то же, чиста независимых спиральных амплитуд залуечаем, что полное число элементов матрицы Я~ (т. е. число различных наборов чисел Лу, Л2, Л'„Ля) в данном случае равно 4 (Л! = Л', = О, Л2, Л2 —— = щ !у2) С учетол! Р-инвариантности число независимых элементов сводится к двум, после чего учет Т-инвариантности у.ке.
не меняет этого числа. В качестве двух независимых инвариантов можно выбрать г! = и!и, г2 = и ( ух)и. (70.3) Здесь ул = н(р) ! и' = ул(р') — биспинорные амплитуды начального и конечного фермионов; Х = ус + Й', где Й и Й' -.4-импульсы на |альпого и конечного бозопов ') .
Т-инвариантиость величин (70.3) станет очевидной, если захлетить, что произведения й'и и и!унн преобразуются при обращен~ли времени по тому же закону (28.6), что и операторы ургр и ф у" ф, матричными элементами которых они являются: произведение и'и инвариантно само по себе, а 4-вектор исуи преобразуется по закону йу и — »гг ум, и-уи — + — и уи. Таким же образом преобразуются 4-импульсы (Хо!К) » — » (а~, — К), и скалЯРное пРоизвеДение Р2 = Хр(и'Уии), слеловательно, инвариантно.
'Упругое рассеяние двух тождественных частиц со спи- НОМ туз. Ддя ПОдСЧЕта ЧИСЛа НЕЗаВИСИМЫХ СПИраЛЬНЫХ аМПЛИтуд удобно исходить из линейных комбинаций спиральных состояний: гр!К = гр-Р-Р + !р — — Ф2К = !р-Р-Р 'Ф вЂ”вЂ” ФЗК 'г'-Р— + Ф вЂ” -!- ! ти Ф-Р— 'т' — !- ! где индексы «+», « — » Указывают значениЯ спиРальностей (ж !у2) двух частиц. Состояния 1н, 2н, Зн четны, а состояние и нечетно по отношению к перестановке частиц. Поэтому переходы и «э и запрещены, так что с у.четом перестановочной симметрии остается 16 — 6 = 10 матричных элементов.
По отношению к инверсии ! ) На первый взгляд можно было бы составить егце инвариант вида й'о„ке)сми (матрицы ое, определены в (28.2)). Легко, однако, убедиться в его сводимости к инвариантам (70.3), если учесть:закон сохранения ЛУ = р+ Й вЂ” р' и уравнения ( ур)и = ти, й'( ур') = тй', которым удою!етворяют бислинорные амплитуды. 314 ГЛ. 55П МАТРИЦА РАССЕЯНИ55 Р функции л(ллх, ага и ага имеют противоположные четности; запрещение переходов ллежду ними уменьшает число независимых амплитуд до шести. Наконец, 7"-инвариаптность приводит к совпадению амплитуд переходов 18 — 5 Зд и 38 — > 1я, так что остается всего пять независимых амплитуд. В качестве пяти независимых инвариантов можно выбрать Рл = (Гллил)(игиг), Рг = (Глл у ллл)(Глгу'ллг), Рз = (цл'УРил)(Глг'Уяиг), РА = (ил'УР'У ил)(Глг'Уи'У иг) (70.4) Ра = (и ллтн ил)(иглгиииг), где им иг биспиноРные амплитУды начальных, а им илг- конечных частиц.
Перестановка начальных (или конечных) частиц не приводит к новым инвариантам: новые инварианты выражаются через старые (см. задалу к З 28). Но выражение (70.2) с Ри из (70.4) не учитывает в явном виде требования, согласно котороллу перестановка двух тождественных фермионов должна менять знак амплитуды рассеяния. Удовлетворяющее этому требованию выражение можно записать в виде Му; = [(илил)(игиг)гл(лнлл) — (Глгллл)(Гллиг)гл(55,1)) +...
(70 5) При перестановке рл и рлг (или рл и рг) кинематические инварианты: э — 5 а, 1 — л и, и — + 1, так что указанное требование выполняется автоматически. Упругое рассеяние фотона на частицах со спином О и л/г. Амплитуду этих процессов целесообразно выразить с помощью единичных пространствснноподобных 4-векторов е('л, е(гл, удовлетворяющих условиям е(') г = е(г~ г = — 1 е(ОСОО = О е(Пй = е(глА = О.
е(Пй' = е(г~уг = 0 (70.6) (для кагкдого из двух фотонов эти 4-векторы могут служить теми 4-ортами, с помощью которых осущсств.ляется инвариантное описание их ллоллллризационньлх свойств — см. З 8). Пусть й и й' начальный и конечный 4-импульсы фотона, а р и р' — то же для рассеивающей частицы. Рассмотрим 4-векторы Рл л + лл КлР л Р Алл лгиРР гл (70 7) где К = 1;+ й', ~ = р — р' = ~' — й. Они очевидным образом взаимно ортогональны. Они ортогональны также 4-векторам К, лу, а следовательно, и й, й'.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
