IV.-Квантовая-электродинамика (1109681), страница 71
Текст из файла (страница 71)
') Более подробные сведения по этому вопросу можно найти в обзорной статье МЕМаесет )4'. Н.))Р4ет. МО4). РЬуе.— 1961.— 1Д 133,— Р. 8. 370 Взаиьзодвйотвив элвктРОнОВ гл. зх В рассматриваемом (первом не исчезающем) приближении теории возмущений в сечении отсутствуют члены, линейные по векторам поляризации начальных или конечных частиц. Как и в нерапятивистской теории Гсм. П1, 8 140) 4 такие члены запрещены требованиями, вьггекающими из эрмитовосги матрицы рассеяния.
Поэтому сечение рассеяния не меняется, если поляризована лишь одна из сталкивающихся частиц, а рассеяние неполяризованных частиц не приводит к их поляризации. Эти жс требования запрещают корреляционные члены в сечении, содержащие произведения поляризаций трех из участвующих в процессе (начальньгх и конечных) частиц. Сечение содержитз однако, двойные и четверные корреляционные члены. При рассеянии неодинаковых частиц (электрон и позитрон, электрон и мюон) в нерелятгивистском пределе эти члены обращаются в нуль, поскольку отсутствует спин-орбитальное взаимодействие. При столкновении же одинаковых частиц корреляционные члены имеются уже в нерелятивистском случае благодаря обменным эффектам.
Задачи 1. Определить сечение рассеяния поляризованных электронов в нерелятивистском случае. Р е ш ен и е. В нерелятивистском случае биспинорные амплитуды в стандартном представлении становятся двухкомпонентными, а матрицы плотности — двухрядными матрицами (29.20). В амплитуде рассеяния 181.3) остаются отличными от нуля лишь члены с д = и = О, содержащие диагональные (в стандартном представлении) матрицы у~. Вмосто (81.4) будем иметь ~МГ,~ = 164г е 4гп (( е + — з) Яр(1+зтаз) 814(1 + зтЬв)— ие Р 2 е 4 4 Г 1 1 1 — — ЯрГ14-ггьз)Яр11+зг~з)) = 16я е 4т 4~ —, + — — — 11+чзэс)~ 1и Гэ и' Ги 1суммироваззие по поляризациям конечных электронов).
Отсюда сечение рас- сеяния где в -- угол рассеяния в системе центра инерции, 41оо —. сечение для неполяризованных частиц (81.9). Для полностью поляризованных электронов эта формула совпадает с результатом задачи в 111., 8 137 (при этом ~~4 ~=~4 ~=1, Ь4Ь = сова, о — угол между направлениями поляризации электронов).
Для рассеяния позитр<шов ва элоктронах поляризационная зависимость в том же приближении отсутствует 141о = 41ао), в этом легко убедиться, заметив, что в нерелятивистском пределе в электронных и позитронных амплитудах иа и и „отличны от нуля различные пары компонент. 2.
В нерелятивистском случае определить поляризацию рассеянных электроновв при рассеянии неполяризованного пучка иа поляризованной мишени. Р е ш е и и е. Вычисляем сечение рассеяния при заданных начальной полЯРизаЦии Ьв и ДетектиРУемой конечной полЯРизаЦии 4, 04етектиРУетсв 2 81 РАССЕЯНИЕ ЭЛЕКТРОНОВ И ПОЗИТРОНОВ НА ЭЛЕКТРОНЕ 371 поляризация лишь одного из конечных электронов). Тем же способом, что и в задаче 1, получим 1 Г, 2 соэ ВП вЂ” сов В) ] — В „[1 2 1-Р Зсове В Отсюда для вектора поляризации рассеянного электрона имеем бп 2 соэ ВП вЂ” сов В) 1 -~- 3 сок 2 В 3. В нерелятивистском случае определить вероятность обращения направления спина полностью поляризованного электрона при рассеянии на неполяризованном электроне.
Р е ш е н и е. Аналогичным образом находим сечение при заданных поляризациях Э и А'1: 1 1, 2соэВ(1+соэВ)~ 82 = -Вне[1+ ~,~', 2 " 1+ Зсоэз В Положив ь»ь'» — — 1, найдем отсюда вероятность обращения направления спина; Ж (1 — соэ В) 2 Воо 2(1 + 3 соэ2 В) 4. Определить отношение сечений рассеяния спиральных электронов с параллельными и антипараллельными спинами в ультрарелятивистском случае.
Р е ш е н и е. В (81.4) надо положить, согласно »29.22), 1 в 1 р, = -(эр, Ц1 — 2л,э ), ре = -(Тр2К1 — 2ле 12), 2 2 1,, 1 Р2 = 7Р1 Р2 = ~Р2 2 2 где Л», Л» = т 172. Вычисление следов производится по приведенным в З 22 формулам; в частности, Бррэ~( ~а)7р» ~7Ь)7 ) Бр~"~~»эс) 7„(721)7„) = = »в»еРР~ орЬ»)»е г 21 ) = 2(ЬРỠ— В~8~)арб»с 21 = 2»Рас)»РЬН) — 22»ас1)(Ьс). В результате получим 2 2 212 12 п2 рп 12 и2 1и Поскольку импульсы сталкивающихся электронов 1в системе центра инерции) взаимно противоположны, то одинаковым спиральностям»Л» = Л2) отвеча»от антипараллельные спины, а различным спиральностям (Л» = — Л2)— параллельные спины.
Подставив э, 1, и из (81.8) 1считая р е ), найде»1 2 2 для искомого отношения — = -(1+ б сов В+ соэ В). Витт ,2 4 Ю Иа-1» 8 Это соотношение минимально (1/э) при В = я/2. 372 взаимодействие электРОБОЕ гл. 1х 5. То же для рассеяния гюзитронов па электронах. Р е ш е н и е. В этом случае вместо (81.4) надо вычислять 2 4 [Л(р[ -116 '( — 8р(Р1-~ер-7 ) 8р(РР-ТРР 7.)— 42 — — 8р(Р'-ТРР-7"Р 7 Р' р)+" ) ги (остальные члень1 полУчаютсЯ из написанных пеРестановкой Рт и Р~ ). Матрицы плотности: 1 1 р = — (ур )(1 — 2Л уз), Р1. = — (урт)(1+2Л4.74), 2 2 1 Р— =, ТР— Рт = Тут 2 2 где Л4., Л = х1,12 (причем для позитрона, как и для электрона, Лт = означает спин, направленный по его импульсу). Вычисление дает Ж 12 ие ги 12 и2 ги Отсюда для отношения сечений получается резулыат, совпадэю1ций с фор- мулой (1) задачи 4.
б. Определить сечение рассеяния мюопов па электронах. Р е ш е н и е. Процесс описывается всего одной диаграммой (73.17). Вместо (81.5) имеем 441 4 1 (Р,р )2 — гаере [з — (п1+ р)2)[э — (т — 112)2) У(1, ) = . 8р[(7р',+р)7 (7р +р)-П8РИ7р',+ ЬА(7р 4- )7-) 1 1612 (р„ре и р',, р'„начальные и конечные 4-импульсы электрона и мюона; гп, р — их массы). Инварианты: э = (р,. + уе) = те + ре + 2р,р„, 1 = (р, — р„,) = 2(т — р,р„,) = 2(р — у„у„), и= (р, — р„) =т -~-р — 2р,р„, э+1+ и = 2(т 4- рз). Вычисление приводит к результату у = — ((р,.р„)2 4- (р„р'„)2 4 -(т'+ рз)1) = = — (* -~- (т, + р )(21 — т — р )). 42 2 (2) Формулы (1) и (2) решают поставленный вопрос.
В системе центра инерции е 44о 841 = х 8(е, + ЕР)1рз з1п~(В/2) х [(е,е„4 рз)2 + (е,ее + р сов В) — 2(т + р )р з1п~(В)2)), 2 2 где Во = 2хэшВг(В, е„е — энергии электрона и мюона; р' = Е2 — т = Е2 — р2. При р << р2 мы возвращаемся к формуле (80.9) для рассеяния иа 2 81 РАССЕЯНИЕ ЭЛЕК'ТРОНОВ И 11ОЗИТРОНОВ НА ЭЛЕКТРОНЕ 373 2 2 неподвижнолл кулоноволг центре.
В ультрарелятивистском случае Гр » р ) г' 1 -~- сов~(й/2) 4Го = 4Го. 8рг еш4 ГВГ'2) В лабораторной системе Гв которой до столкновения покоится электрон) 2 ~ т 2 эх 2 / Здесь ЕР - энергия, а и„= р„/ее . скорость налетающего мюона; тЬ = е', — т = ЕР— е' — энергия электрона отдачи, а 212 41... = тг 4- рг -(- 2гпе максимальное значение Ь.
7. Определить отношение сечений взаимного рассеяния спиральных элек- тронов и мюонов с параллельными и антипараллельными спинами в уль- трарелятивистском 4шучае Ге„» д, е, » т). Р е ш е н и е ') . Аналогично задаче 4 находим 41пгг 4 в = сое 4Готг 2 1Гà —. угол рассеяния в системе центра инерции). 8. Опредолить сечение превращения электронной пары в мгоонную ГВ. Б.
Берестецкий, И. Я. Померанчук, 1955). Р о ш е н и е. Это другой кросс-канал реакции,к которой относится ре-рассеяние. В этом канале в = Гр, — рл), Г = Гр, — р,), и = (р, — ре), где р, р, — 4-импульсы электрона и позитрона, а р„, р„— лпоона и антимю- она.Порог реакции отвечает энергии электронной пары, равной (в системе центра инерции) 2р, так что должно быть 1>4р~. В лабораторной системе, в которой до столкновения покоится электрон, а позитрон имеет энергию ет, 1 = 2пиее + т) 2тсе, так что должно быть ем > е„, где пороговая энергия е, = 2рггГт (здесь и ниже произведены вге пренебрежения, допускаемые неравенством р» т).
Дифференциальное сечение (вместо (1), Г2) задачи б) 4яе 444 44ГА а ~- и г 4 Г ГГп = ГГВ и) 4гге — ~' +2р 1 — р'] . =( ) При заданном 1 величина 4 пробегает значения между границами, опреде- ляемыми уравнениями ви р4, в+1+ и 2рг, т. о. 2 2 г Г 1 ----,62-214 4 '--4- гà — 41. 2 2 2 2 Элементарное интегрирование приводит к резулыату: — — — ~1+ — ~, г,=— ) Другой способ решения этой задачи дан в конце З 144. 374 взлимодвйствив элвктгонов гл.
~х 3 82. Ионнзационные потери быстрых частиц Рассмотрим столкновения быстрой релятивистской частицы с атомом, сопровождающиеся возбуждением или ионизацией последнего. В нерелятивистском случае такие неупругие столкновения были рассмотрены в П1, 2 144 150; здесь будет дано релятивистское обобщение полученных там формул (Н.А.Вейе, 1933). Скорость падающей на атом частицы предполагается большой по сравнению со скоростями атомных электронов (теы самым во всяком случае предполагается, что Уо « 1,,т.
е. атомный номер не слишком велик). Этим условием обеспечивается применимость борновского приближения к рассматриваемому процессу. Решение задачи несколько различно в зависимости от того, является ли быстрая частица легкой (электрон, позитрон) или тяжелой (мезон, протон, о-частица и т. и.). Мы рассмотрим здесь последний случай, более простой. Пусть р = (е, р) и р = (е~, р ) начальный и конечный импульсы быстрой частицы в лабораторной системе отсчета, в которой атом до столкновения покоился; разность д = р — р дает энергию и импульс, передаваемые частицей атому. Разделим весь интервал возможных передач импульса на две области: 1) — «т, П) — »1, (82.1) где т, -- масса электрона, 1 — некоторая средняя атомная энергия (потенциал ионизации атома). Обе области перекрываются друг с другом при 1 « с12/т « т; это обстоятельство позволит произвести точную сшивку результатов, получающихся для каждой из областей.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
