IV.-Квантовая-электродинамика (1109681), страница 82
Текст из файла (страница 82)
Начнем с нерв.лятивистского столкновения электрона с ядром. Будем считать, что ядро остается неподвижным, т. е. рассмотрим излучение при рассеянии электрона в кулоновом поле неподвижного центра (А. Яоттег|еИ, 1931). Исходим из формулы (45.5) для вероятности дипольного излучения с)~ = — ~~ с1с ~~сггою (92.1) 2п В данном случае начальное и конечное состояния электрона относятся к непрерывному спектру, а частота фотона 1(2 г) (92.2) 2тп где р = тч и р' = ттс' начальный и конечный илспульсы электрона. Если начальная и конечная волновые функции электрона нормированы на одну частицу в объеме И = 1, то выражение (92.1), умноженное на г12р'/(2н)а и деленное на плотность падающего потока., н/1' = гд даст сечение г1окр излучения фотона 1с в телесный угол г1ои с рассеянием электрона в интервал состояний г1 р.
Заменив матричный элемент дипольного момента е1 = ег матричным элементом импульса согласно 1 е е11г — . Р1г г запишем выражение для сечения в виде ') г1гт1гр — —,' ~Е ру,~~йО~,г1' р, (92.3) (2я)гтр где ру, = 4~рг)г,г1вх = — г г)г~ЯФге1дх. В КНЧЕСтВЕ Угг И гиУ НаДО ВОСПОЛЬЗОВатЬСЯ ТОЧНЫМИ ВОЛНОВЫМИ функциями в кулоповом поле притяжения, причем теми функци- ями, которые асимптотически содержат в себе плоскую и сфери- ческую волны; в угу сферическая волна должна быть сходящейся, а в уг, расходящейся (см. П1г 3 136). Эти функции имеют вид о е г7гг = А;е'Р'Г(ги, 1, г(рг — рг)), и= (92А) фу = А7е1р'Г( — ги'г 1, — г(р'г+ р'г)), и' = ™ р' с нормировочными коэффициентами А, = е г21'(1 — ги), А7 = е 'г~т(1+гир).
(92.5) Заметив, что у Г(ги, 1, г(рг — рг)) = 21 р- — р) Г = — — ( — ) .Г г 1 г р/дг1 г г др и запишем юг)г; в виде зг7т1'г = гРг)гг Аге — ( — ) др и При умножении на г)г* и интегрировании первый член обращает- ся в нуль ввиду ортогональности угг и ф1. Поэтому для матрич- ного элемента ру, имеем д,У ру, = гАгАур — ', д1г (92.6) .7 = — Г(ги', 1г г(Р'г+ Р'г))Г(ги, 1, г(РТ вЂ” Рг))г1зхг (92.7) Ч=Р Р ') В этом параграфе обозначаем р = ~р~, р' = )р'~.
1 аа ТОРЫОЗНОЕ ИЗЛУЧЕНИВ НЕРЕЛЯТИВИСТСКИЙ СЛУЧАЙ 437 438 ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ ЭЛЕКТРОНОВ О ФОТОНАМИ ГЛ Х После этого сечение гЬР— — — '~ру,~ —" = — '" ~ру;~ Йьх1ор . Згир (2гг)е бязр (92. 12) ') Вычисления см, )г'егг)аггее,. А.,Г,ГР1гуе. Кеу. — 1954. — Уг. 93. — Р. 785. Мы вынесли дггдр из-под знака интеграла, подразумевая, что при дифференцировании з' величины и, и', Ч должны рассматриваться как независимые параметры и лишь после проведения дифференцирования следует выразить гг и Ч через р.
Интеграл вычисляется путем замены каждой из вырожденных гипергеометрических функций их выражениями в виде контурных интегралов. Мы приведем здесь лишь результат '): ,7 = Вг'(4м', 4гг, 1, е)г РГ = 4ле ЯР( Ч2 2ЧР) ге(Ч2 2ЧРг) ги ( 2)ге 2 Ч (рр' -Р РР') — 2(ЧР) (ЧР ) (92.8) (ЧЯ вЂ” 2ЧР')(ЧЯ+ 2ЧР) Здесь г (1м', Ы, 1, е) — полная гипергеометрическая функция. После дифференцирования в (92.6) можно положить Ч = р'— — р; при этом е = — 2Р 1Р, Ч2 = (р — р') (1 — е) (92.9) (Р— Р')' (г < О).
Отметим также, что — Ч вЂ” 2с1р = с1 — 2Чр' = р — р' ) О. В резулыате находим для матричного элемента следующее окончательное выражение: 8..— " ~р з-р", -й т") х (1 — е)г(" ') Г(гггрЧР(е) + (1 — е)Р'(е)(р'р — рр')1, (92 10) где для краткости обозначено р'(Е) = тг(гм ., 4и, 1, е). (92.11) Сечение получается подстановкой (92.10) в (92.3), но обгцая формула очень громоздка и трудно обозрима. Поэтому мы сразу перейдем к вычислению спектрального распределения излучения, т.
е. проинтегрируем сечение по направлениям фотона и конечного электрона. Интегрирование по дои и суммирование по поляризациям фотона сводится к усреднению по всем направлениям е и умножению на 2. 4л, т. е. к замене 8л е,еег1о~, -+ — б,ы 1 92 тоРыозное излученив ннРелятинистский случАЙ 439 Квадрат ~рургаз вычисляем, используя (92.9)-(92.11) и учитывая, что )Г(1 — ми) ! где г ° гег и= р 6о' ге и = лм р'=,р -г р, ') Формулы (92.15) — (92.25) пинаем н обычных единицах. Получаем 2 2 х~(Хег)грнг (р + р')г(р — рр)'(1 — е- г "')(ег" — Ц М' — 4Р'Р+ г'+' ' (РР'* — Р*Р'))~ (92.13) ДлЯ интегРиРованиЯ сечениЯ (92.12) е(ор — — 2ЯЗ)пде(д пеРейдем от переменной д (угол рассеяния) к переменной хр — г'~г (р р)г р Л с1тобы взять интеграл по р)а, преобразуем выражение в фигурных скобках в (92.13).
Согласно дифференциальному уравнению гипергеометрических функций (см. Ш, (е. 2)) имеем Я(1 — Я) Рн + (1 — (1 + ьи + ги') з) Р' + ии'Р = 9, н(1 — я)РН + (1 — (1 — ги — ги')н)Р' + ии'Р* = О. Умножив эти два уравнения соответственно на Р* и Р и сложив их, получим (1 — и) ~ — н(Р'Г* + Р' Р) — 2Я~Р'~~ + ~4г + г(и -Р и )г(Рр*Р + РрР„) + 2ии ~Р~21 Отсюда видно, что выражение в фигурных скобках в (92.13) равно ( ) — н(РРР* ., РР*Р) (92.
14) и интегрируется непосредственно. Собрав полученные формулы, найдем окончательное выра>кение для сечения тормозного излучения в интервале частот део ') 54х ~2 2 т с р 1 ( н ~Р(~)~2) 4»' р ( у)г (1 р Кыи )( г П 1 гчр / (92.15) 440 ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ ЭЛЕКТРОНОВ О ФОТОНАМИ ГЛ Х Рассмотрим предельный случай, когда обе скорости и и и' на- столько велики, что и « 1, м' « 1 (но, разумеется, по-прежнему н « 1, .так что УГт « и « 1; эГо возможно лишь для малого Я).
Для вычисления в этом случае производной Г (4)) воспользуемся формулой — Г(ГГ, (3, 7, г) = — ~Г(гх + 1,,3 + 1, 7 + 1, В), 4х ч которую легко получить простым дифференцированием гипер- геометрического ряда. Имеем Г'(~) = гм ги'Г(1, 1, 2, ~) = — 1п(1 — () (последнее равенство очевидно из прямого сравнения соответ- ствующих рядов). Для самой же функции Г(с) имеем просто Г® = Г(0, О, 1, ~) = 1. В результате из (92.15) находим дсг = — У~стг~ — 1п — ' << 1 << 1. (92.16) З Г2,,„' В, ' а, Ъ!алость и и и' есть как раз ушГовие применимости борнов- ского приближения в случае кулонова взаимодействия. Поэтому саму по себе формулу (92.16) проще получить непосредственно с помощью теории возмущений (см.
задачу Ц. Пусть теперь быстрый (и « 1) электрон теряет на излучение значительную долю своей энергии, так что В' « и и и' может быть не малым. Тогда — ~ — 4р')р = 4и7'и' « 1, Г(~) — Г(гм', О, 1, ~) = 1, Г'(~) — — ии'Г(1+ ~л/, 1, 2, ~) — мм', и сечение 3 АВ/ 1 — ехр( — 2ЛЯЕ~1ВВ') и «1, ~1. Ьи ЙВ' При и' « 1 эта формула дает такое же предельное выражение г дГГ„= 2272 как и формула (92.16) при В' « о.Поэтому формулы (92.16), (92.17) вместе перекрывают (при и « 1) весь диапазон значений и'.
1 22 ТОРМОЗНОЕ ИЗЛУЧЕНИЕ НЕРЕЛЯТИВИСТСКИЙ СЛУЧАЙ 441 При Н2 — + ц2о (где й2о2о = 1п12')2) скорость е' †0 и и' -+ ОО. В этом пределе (92.17) дает ,1 128куз 2 2 (2 й2с)о2 (92 18) 3 3 С О П2222 Таким образом, с22Т 2221о2 стремится при Н2 — э Н2о к конечному пределу. Это обстоятельство можно обосновать в общем виде соображениями, аналогичными изложенным в т. П1, з 147. Физически оно свЯзано с тем, что частота о2 = Н2е ЯвлЯетсЯ гРаниЦей лишь непрерывного тормозного спектра.
Электрон может излучить также и частотУ а2 > о2о, пеРейДЯ в свЯзанное состоЯние. Но сильно возбужденные связанные состояния в кулоновом поле по своим свойствам мало отличаются от близких к их границе свободных состояний. Поэтому граница., отделяющая непрерывный спектр от дискретного, по существу не является физически выделенной точкой. Перейдем к случаю, когда оба параметра и, 22' >) 1. В этоы случае движение как начального, так и конечного электронов квазиклассично. Мы будем считать, что р2!(2т) )ко; тогда нам 1юнадобится асимптотическое выражение для функции 1=1 .Р'(~) при и, ь~ — э со и ~ 1 (более точное условие будет сформулировано ниже, см.
Рис. 17 (92.24) ) . Для получения этого выражения исходим из интегрального представления гипергеометрической функции (е. 3) (см. П1), которое запишем в виде 22Г2 2; 2 1 б) Р ф 11аи' — 121 1) — счи' 21 1~) — ги'112 2я1 .) с (92.19) где введено обозначение т) = 227'12, О < т) < 1, так что (92.20) В качестве же контура интегрирования выбираем показанный на рис.
17 путь, проходящий вдоль отрезка вещественной оси и обходящий точки 1 = 0 и 8 = 1 ') . ') Для гипергеометрической функции Г(О, 22, у, Д) контур должен быть выбран так, чтобы при его обходе функция возвращалась к исходному значению. Прн целом т (в данном щ2учае т = 1) указанный контур зтому условию удовлетворяет.
442 ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ ЭЛЕКТРОНОВ С ФОТОНАМИ ГЛ Х Е = е'1(") —, /(1) = 11п (92.21) 2В1 ./ н (1 — 1)В(1 — с1) вычисляем методом перевала. Перевальная точка 1о определя- ется условием /'(1е) = О, откуда 1е = (1 — т))/2. В этой точке, однако, .обращается в нуль также и производная /В(1е), так что надо писать /'(1е) = 2ят) + г(1+ й) 1п — ", а = — /л'(1о) = 1-ЬВ 21 (1 — ч')' ' Предэкспоненциальный же множитель 1/1 в подынтегральпом выражении пиГпем в виде 1 1 т 1 Го ГВ (ограничиться членом 1/8е здесь нельзя, так как это привело бы к обращению в нуль фигурирующей в (92.15) производной Г1~Е(С)~2/Щ). Таким образом, находим, после очевидной подста- новки в интегралах, Е = ехр( — ИГ)и'+ и'У(1о)) х 1 2ВНВ(аи') нз с~В /ЗДТ+ теГВ /ЗДТ 1 (<м)нз 1 (92.
22) Интегралы здесь равны соответственно 2 сов — *ГЬ =, 2 1 ханш — *ГЬ = Зл'Г(2/з). Зибер(В/,) ! о о Аналогичным образом вычисляется производная Е'(с), согласно (92.19) она дается интегралом, отличающимся от (92.21) лишь При и, и' )> 1 значение подынтегрального выражения ГГа нижней части этого контура мало и им можно пренебречь: при обходе точки 4 = О сверху вниз подынтегральное выражение умножается на малый множитель ехр( — 2яг)и'), а при обходе точки 2 = 1 снизу вверх оно умножается на ехр(2лГ)и'). Интеграл 1 92 тОРмозное излучение.неРелятивистский слу*ллй 443 заменой предэкспоненциальпого множителя 1/21 на лг'/(1 — (2). После этого простое вычисление приводит к результату гл ~Р~С) ~2 (1- Ч)'«' гс6 4 'З Наконец, подставив это выражение в формулу (92.15), найдем, с требуемой точностью, следующий простой результат: 16 г~2 2пг с гс«2 (92.23) Зв «Рг 22 Условие применимости этой формулы, т.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
