IV.-Квантовая-электродинамика (1109681), страница 105
Текст из файла (страница 105)
Мнимая часть интеграла (115.1) не содержит расходимости и не требует поэтому регуляризации. Для скалярной функции 566 Гл. хп РЛДИАЦИОННЫЕ ПОПРАВКИ а 1шР = 1(з)шРии имеем (. 41ГВ !' ЯР У~(-~Р+ т) 1Р(ур+ Уй+ !и) 1 з(2к)б / (Рб — +10)((Р— й)1 — + о) После вычисления следа интеграл принимает вид ,(й2) и ! Р(Р) (бр (Р' — пбб -ь 10)((Р— й)' — Шб+ !0)1 (11.
2) бр(р) = — ',(2т2+ рй — р ). Пусть йо > О. Переходим к системе отсчета, в которой й = = (йо, О). В этой системе (Р— й) = (Ро — йо) — Р В!в! б * =!!ба ! Гн: бгиейа виртуального электрона ро!), перепишем (115.2) в виде 1шР(й ) = 1п1 б1 р бКРО (Р,', — Вб + 10)((Ро — (бо)б — Вб + !О) 'Р(ро! Р) = —,(т + е +Ройо — Ро). Подынтегральное выражение имеет четыре полюса по переменной ро: а)ро = е — !О, а')Ро = — е — гй! 5) ро = йо — с+10, Ь~) ро = йо + е — 10. На рис. 21 показано расположение этих полюсов; для определенности будем считать, что йо > 0 (окончательный ответ есть функция от йо2 и от знака йо не зависит).
Вычислим скачок функции Р(1), испьпываемый ею на разрезе в плоскости комп- О лексной переменной ( = й ° / Ь = йо2 или, что то же самое, на вещественной оси в плоскости комплексного йо. Вещественная 2 ° ° часть функции Р(!) непрерыв! на на разрезе, 1ак что скачок -+-- РИС. 21 ЬР(() = 21 1п! Р((). (115.4) Прежде всего покажем, каким образом уже оо виду интеграла можно установить положение разреза. Обозначим в (115.3) интеграл по ро как 1(р! йо). До тех пор, пока верхние и нижние полюсы на рис.
21 находятся на конечных расстояниях друт 11В вычислвнив мнимой части поляеизационного опвгатога 567 от друга, путь интегрирования по ро можно увести вдаль от полюсов (штриховая линия на рисунке). В этом случае интеграл 1(р, йо) не изменится при бесконечно малом смешении полюсов 5 и 5 вниз или вверх от вещественной оси, т. е.
при замене ко — э ко + гд, д — ь О. Другими словами, значения 1(р, ЙО) при стремлении ЙО к своему вещественному значению сверху и снизу будут одинаковы, так что 1(р, ко) не даст вклада в скачок гдР. Ситуация изменится, лишь если два полюса (при ко > О это могут быть полюсы а и Ь) окажутся как раз один под другим, так что контур интегрирования будет «зажата между ними и не сможет быть уведен. Таким образом, скачок 1дР ф О, лишь если где-либо в области интегрирования по с( р может быть вьшолне- 3 р' " Ш = т 5 =2 =2~'ер'«Д очевидно, должно быть ЙО > 2т, т.
е, Ь > 4т2 ') . Перепишем интеграл т'(р, йо) в виде (Р ьо) = ~ кд(ро, р) "ро (115 5) (рЬ вЂ” э) ((р — йе) е — е') а опустив члены 10 в знаменателе и соответственно изменив контур С интегрирования, как показано на рис. 22. Мы видим, что возникновение скачка ххР(Ь) связано с невозможностью увода Ь З С о, Ь' С о Рис. 22 контура от полюса а (когда контур зажат между а и 5). Имея это в виду, заменим контур С контуром С, проходящим под точкой аз соответственно добавив интегРал по малой окРУжности Сн вокруг этой точки. После этого контур С' можно бест1репятственно увести от полюсов, так что интегрирование вдоль него дает вклад лишь в регулярную часть функции Р(Ь).
Для определения ') Анююгичным образом убеждаемся в отсутствие разреза при 1 = Ье < О. Выбрав в этом случае систему отсчета, в которой й = (0,1«), найдем, что полюсы подынтегрального выражения лежат при ,=~э-еь,=«Л -яг+ '-а). Оба нижних полюса лежат всегда в правой, а оба верхних--в левой полу- плоскости ре, так что никакая их пара не может оказаться рядом. 568 ГЛ. ХП РЛДИЛЦИОННЫВ ПО11РЛВКИ же искомого скачка достаточяо рассматривать лишь интеграл по окружности Сл, что сводится к взятию вычета в полюсе а. Эта операция может быть осуществлена заменой в подынтегральном выражении: — » — 21Г«б(Ро д— сг) (115.
6) р«1 «О (знак « — » связан с тем, что окружность вокруг полюса обходится в отрицательном направлении). При этом следует учитывать в аргументе б-функции лишь корень ро = +е (обходится лишь полюс а, по не а,'); это условие будет автоматически учтено, если условиться производить интегрирование лишь по половине импульсного 4-пространства: Ро > О. После замены (115.6) скачок интеграла 1(р, йо) вычисляется непосредственно: Ы = (1(р, 1«о +«б) — 1(р, йо — '1б))х — 1+о = — 2огг х б(Ро — е')пр(ро, Р) ~ . .
. 1 Г1ро В о ~(йо — ро1' — ' Ч-Гб (йо — ро)о — оо — 161 о Используя равенство = 1» ч= '1ооб9о — оо) — сг) (Ьо — ро)о — Во ~ 1б (Гало — ро)о — Во (см. (111.3)), получаем Ы = 1(21ГГ)г б(рг — ег)б~(йо — Ро)г — ег] 1Р(ро, р) 11ро. о Аргументы б-функций можно переписать в ипвариаптном виде, вычитая и прибавляя к ним рг: Ро гег = Рг — тг. (1«о — Ро)г — сг = (й — Р)г — Гдг.
После этого находим окончательно ,1,Р(~г) —,~2„,)г Г14р,,оУб~рг тг)б~~р 1«)г тг) (Цо 7) ро>о Ввиду наличия б-функций интегрирование производится фактически лишь в области пересечения гиперповерхностей р =гдг, (Р— 1о) =т. (115.8) Поскольку в этой области все 4-векторы Р времениподобны, то условие интегрирования по ро > О имеет инвариантный характер (верхняя полость конуса р = т ). 11в вычисление мнимой влети полягиэлционного опвалтогл 569 Сравним (115.7) с исходной формулой (115.2). Мьг видим, что скачок функции Р(л) на разрезе в плоскости ~ можно получить, если в исходном фейнмановском интеграле произвести замену — Л вЂ” 2ягд(р2 — то) (115. 9) р- '— пр+ го в пропагаторах, отвечающих пересеченным на диаграмме (113.1) линиям петли (Я.
МопйеЬ1ат, 1958, Л. Сийойу, 1960). Обратим внимание на то, что условия (115.8) выделяют ту область импульсного пространства, в которой линии виртуальных частиц на диаграмме отвечают реальным частицам (или, как говорят, 4-импульсы р и р — Й лежат па массовой поверхности). Здесь ясно видна связь с методом соотношения унитарности, в котором эти же линии заменялись на линии реальных частиц промежуточного состояния. Мы видим также математическую причину отсутствия расходимости в мнимой части диаграммы: она определяется интегрированием по конечной области массовой поверхности вместо интегрирования по всему бесконечнолгу импульсному 4-пространству в исходном фейнмановском интеграле.
Чтобы получить теперь из (115.7) выведенную в 3 113 формулу, .вернемся к системе отсчета, в которой 1с = О,и проведем интегрирование по й р = ~р~ейейро йо. Интегрирование сводится к снятию б-функций. При этом б(р — т )йро = б(ро — е )йро э — б(ро — е)йро 2г и затем б((р — й)2 — т~)г1а = б((ро йо) — е~1йе = = б( — 2е1со + вайа -э — б(е — — )йа. 21со 2 В результате получим (115.10) г".лР(1) — — ~р(е р)йо 2 Г где 1 = Й2 = Воз, а значение функции р берется при р =е — гп =Ад/4 — т, ра = е = йо/2, т.
е. равно гр(е, р) = — (2то+ 1) и не зависит от угла. Поэтому интегрирование по йо сводится к умножению на 4я, и мы возвращаемся к (113.8). 570 гл. хп Рлдилционнык !1ОпРАВки В изложе~поъ! выводе существен только тот факт, что диаграмма рассекается иа две части путем пересечения всего двух линий.
Поэтому сформулироваяпое правило остается в силе и для диаграмм, составленных из любых двух блоков, соединенных двумя (электронными или фотонными) линиями. Интеграл, вычисленный путем замены (115.9), определит при этом тот вклад в мнимую часть диаграммы, который в методе соотношения унитарности связан с соответствующим двухчастичным промежуточным состоянием.
й 116. Электромагнитные формфакторы электрона Рассмотрим вершинный оператор Г" = Г" (ря, р!, .к) в случае, когда две электронные линии являются внешними, а фотонная— внутренней. Электронным внешним линиям отвечают множители и! = и(р!) и й2 = й(рэ), так что Г входит в выражение для диаграммы в виде произведения у~~, = ияГли!. (116.1) Как уже отмечалось в ~ 111, оно представляет собой электронный ток перехода с учетом радиационных поправок. Требования релятивистской и калибровочной иивариаитиости позволяют установить общий вид матричной структуры этого тока. Оператор электромагнитного взаимодействия Ч = еоА) истинный скаляр (а пе псевдоскаляр), чем выражается сохранение пространственной четности в этих взаимодействиях. Поэтому ток перехода 11, — истинный 4-вектор (а ие псевдовектор).
Ои может выражаться, следовательно, только через истинные же 4-векторы, составленные из имеющихся в нашем распоряжении двух 4-векторов р! и р2 (третий! й = ря — р!) и биспииоров и! и из. Таких независимых 4-векторов, билинейных по ья и и!, всего три: иг уи!, (!!я!!!)рм (ияи!)рв, или! что то же, н2'уп1, (йэ!!1)Р, (йвпЗ)й, (116.2) где Р = р! + рв. Но условие калибровочной иивариаптиости требует поперечпости тока перехода к 4-импульсу фотона 1с: ~,,1=9. (116.3) Этому условию удовлетворяют первые два из 4-векторов (116.2) ! первый в силу уравнений Дирака ( ур! — т) !!! = О, из ( ур2 — т) = О, (116.4) 571 116 эльктРОмлгннтныа ФОРмФАк'ГОРы электРОнА а второй.
потому, что РА: = О. Ток уу, представляется линейной комбинацией этих двух 4-векторов: .171 21 1йгги1)Р + 221йг ~ и1) где 21, 12 инвариантные функции; их называют электромагнитными формграктороми электрона. Так как 4-импульсы р1 и рг относятся к свободному электрону, то рг1 — — рг г—— тг, и из трех 4-векторов р1, рг, й (связанных равенством )с = рг — р1) можно составить всего одну независимую скалярную переменную, в качестве которой выберем Йг. Тогда формфакторы функции Й .
Выражение для тока можно представить и в других видах, с другим выбором двух независимых членов. Использовав уравнения (116.4) и правила коммутации матриц 7, легко убедиться, что '1йгпи~и1) й,, = — 2т)йгуии1) + 1йгги1)РР, (116.5) где о"~ = 1,Ц уд'у~ — у~ у"), коэффициент при таком члене имеет, как мы увидим, важный физический смысл, так что будем писать Г" = "~д~я ) — — 6(И )сгд'а„ (116.6) гт где 1, д два друтих формфактора; смысл выделения множителя 1/(2т) выяснится ниже ') . Д;1я краткости мы пишем вместо тока вершинный оператор, подразумевая, что он должен браться «в обкладкаха иг ... и1. Для выяснения свойств формфакторов рассмотрим диаграмму (110.16) процесса взаимодействия электрона с внешним полем.
Соответствующая ей амплитуда рассеяния Л471 = — еу~,А~;) Я, (116. 7) где Ад эффективное (с учетом поляризации вакуума) внеш- 1«) псе поле. Амплитуда (116.7) описывает два канала реакции. В канале рассеяния инвариантная перелленная г = А' = (рг — р1) < О. Заменив же рг -+ р ., р1 — ~ — рт, мы перейдем к аннигиляционному каналу, отвечающему рождению пары с 4-импульсами р . и рт. В этом канале 1= (р +р«) > 4т . Область же значений О < 1 < 4тг нсфизическая. ) Во избежание недоразумений напомним: в определении (11б.б) предполагается, что й — 4-импульс входящей в вершину фотонной линии; для выходящей линии знак второго члена был бы обратным.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
