IV.-Квантовая-электродинамика (1109681), страница 108
Текст из файла (страница 108)
10) Рассмотрим поведение массового оператора при р~ >> Гп~. Имеем тогда — р — р /Гп» 1 и с логарифмической точностью г М(р) = — ф '(р) — С (р)] = — (ур) 1п ~ . (119.11) Как и в случае фотонного пропагатора (ср, формулы (113.15), (113.16) для поляризационного оператора), поправка к С ~ оказывается малой только при не сэсгппком болыпой энергии, именно и эи — 1и — « 1. Сс 4к п1 В данном ю1учае, однако, логарифмический рост в известном смысле фиктивен, оп может быть устранен надлежащим выбором калибровки, т.
е. функции Р~О в фотонном пропагаторс (Л. Д. Ландау, А. А. Абрикосов, и. М. Халаптников, 1954). Именно, для этого надо положить (в обозначениях 8 103) ФО=О, (119.12) между тем как формула (119.9) получена в калибровке 11% Д (119.13) Это свойство калибровки (119.12) делает ее особенно удобной для исследования характера теории при р~ >> 1и~, что и будет использовано ниже, в 8 132. 585 119 ВЫЧИОЛЕИИЕ МАССОВОГО ОИЕРАГОРА ~(0( ) АА2'1 4е 5 ( з) 9' 192)'-' (119.14) Для доказательства сделанного утверждения за,мечаем, что если мы интересуемся только членами ез, то преобразование от калибровки (119.13) к калибровке (119.12) можно считать бесконечно малым.
Соответственно этому можно прямо воспользоваться формулой (105.14), положив в ней "'м=--., =- — ', 92 192)2 ' а также заменив, с требуемой точностью, функции й в подынтегральном выражении на С. В интеграле по 4444) будет существенна область 4)» р, при этом С(р — 4)) в подынтегральном выражении много меньше С(р), и им можно пренебречь. Тогда ВМ = — С (у)5Я1р) = — 2е С (р) 41~ )(4)) —. (Ря) 4 ' Наконец, применив преобразование (113.11),(113.12),. получим ,„) г— — «2 1 4 441 — 92) «2 Л2 4е / 92 19 ' где Л вЂ” вспомогательный верхний предел, расходимость на котором устраняется перенормировкой.
Последняя состоит в вычитании того же выражения при р — т, так что окончательно имеем бй ' = — '(а)1 4е 2и« Это выражение как раз сокращается с разностью й — С из (119. 11) . Наконец, .остановимся на вопросе о причинах, приводящих к необходимости введения конечной «массы фотона» Л при регуляризации интеграла (119.2), тесно связшшой с его поведением при р — «гп . Прежде всего отметим, что сам по себе этот интеграл с Л = 0 конечен при р = т (для устранения несущественной в данном аспекте расходимости на больших Г« полагаем при этом, что интеграл берется по большой, но конечной области й-пространства). Необходимость же введения Л возникает при вычитании перенормировочного интеграла, который без этого расходился бы при р~ = тз.
Выясним 1юэтому, как вел бы себя при р~ — ) 1п нерегуляризованпый массовый оператор. Поскольку же это поведение существенно зависит от выбора калибровки, рассмотрим общий случай произвольной калибровки (между тем как интеграл (119.2) написан уже при определенном выборе (119.13)). Воспользуемся снова преобразованием (105.14). Представив 444 ) В ВИДЕ 586 Гл. Хп РЛДИЛЦИОННЫЬ ПО11РЛВКИ (119.
16) Согласно определению (119.14) функция а,(д2) совпадает с отно- шением Р(1)1Р. Поэтому калибровка (119.13), к которой относит- ся (119.17), отвечает а = ао = 1. Потребовав совпадения (119.16) и (119.17) при этом значении по, полу.чим С = 3. ') Чтобы получить (119.17), нет необходимости производить вычисления заново. Член 1в р в (119.9) как раз и получен в предположении р » Л, допускаюшем переход Л -1 О. Член же 1п(Л/т) возникает из--за вычитания перенормировочного интеграла и в исходном интеграле (119.2) отсутствует.
Это вычитание не затрагивает, как легко видеть, членов 1пр. будем считать, что да - вариация функции п(дв), существенно меняющейся лишь на интервалах д т, и конечной при д — т . В подынтегральпом выражении в правой стороне (105.14) в разности Др) — й(р — д) при малых д оба члена близки и интеграл сходится. Поскольку при малых д й(р — д)- 1 р2 — те — 2рд ' Д(р — д) можно опустить по сравнению с Д(р) при д»(р — т )/т. Интеграл же б0(р) =1е~Я(р) г16)(д) — ~ = — — ' 'и(р) Оа(д ) логарифмически расходится в области (р — т )2т «д «т .
С логарифмической точностью имеем поэтому — = — — оа(ги ) 1п 4х р2 п12 Это равенство можно проинтегрировать. Заметив, что при ав = е э О точный пропагатор й должен совпадать с пропагатором свободных частиц С, получим д(р) = ' ( ' ) ." "', (11915) где ае = а.(т ), С некоторая постоянная. Для определения по- 2 следней сравним выражение д 1(р) = (ур — т) [1+ — (С вЂ” аа) 1пр|, 2х получающееся из (119.15) в первом приближении по ст, с аналогичным выражением, получающимся из интеграла (119.2) при Л=О '): 0 '(р) = (Чр — 1а) [1+ —" 1пр~.
(119.17) ~ ьзо ИСПУСКАНИИ МЯГКИХ ФОТОНОВ О НБНУ51ВВОЙ Л1АОСОЙ 587 Таким образом, окончательно находим следующее предельное выражение (и1»фракрас»1ую асимитотику) непсренормированного электронного пропагатора при р -+ т: д(р) = ',"+, (,"',) ~ ~ (119.18) (А. А. Абрикосов, 1955). Подчеркнем, что справедливость этой формулы связана лишь с неравенствами о « 1, ~ 1пр~ >> 1, между тем как формулы теории возмущений требовали бы также и условия сл~ 1пр~/2к << 1. Отметим также, что знак разности р — т здесь не существен, так как мнимая часть выражения (119.18) все равно находилась бы за пределами его точности. Перснормированный пропагатор должен иметь при рз = т простой полюс. Мы видим, что (119.18) удовлетворяет этому требованию только в калибровке, в которой 010 = З.О (119.19) (так что ае = 3).
В этом случае регуляризация интеграиа Фейнмана (имеющая целью устранить его расходимость на верхних пределах) не будет требовать введения конечной Фмассы фотона». В других же калибровках нулевая масса фотона приводит к возникновению при р = т точки ветвления вместо простого полюса, и устранение этого Фдефекта» требует введения конечного параметра Л. й 120.
Испускание мягких фотонов с ненулевой массой При вычислении электронных формфакторов в э 117 мы столкнулись с расходимостью интегралов на малых частотах виртуальных фотонов. Эта расходимость тесно связана с обсуждавшейся уже в ~ 98 инфракрасной катастрофой. Там было указано, что сечение любо1о процесса с участием заряженных частиц (в том числе рассеяния электрона внешним полем, изображаемого диаграммой вида (117.1)) имеет смысл не само по себе, а лип1ь при учете одновременного излучения любого числа мягких фотонов. Как будет подробно объяснено ниже (см.
~ 122), в суммарнол1 сечении, учитывающем излучение мягких фотонов, все расходимости сокращаются. При этом, разумеется, для получения правильного результата предварительное «обрезание» расходящихся интегралов во всех складываемых сечениях должно производиться одинаковым образом. В 8 117 это обрезание было осуществлено путем введения фиктивной конечной массы виртуального фотона Л. Поэтому мы должны теперь видоизменить и полученные в ~ 98 формулы так, 588 Гл. хп РЛДИЛЦИОННЫЕ ПОНРЛВКИ чтобы они описываци излучение мягких «фотонов» с ненулевой массой. С формальной точки зрения такой фотон относится к авек- торным» частицам со олином 1, свободное поле которых рассматривалось в 8 14. Оно описывается 4-векторным ц'-оператором »12ы иа (120.1) (здесь изтлепепы обозначения и нормировка по сравнению с (14.16) с целью приведения в соответствие с фотонным случаем).
Взаимодействие «фотонов» (120.1) с электронами надо описывать лагранжианом того же вида, что и для истинных фотонов: — е1ИЦ1, (120.2) (с заменой операторов потенциала А„на фи). Тогда амплитуды процессов испускания фотонов конечной массы будут даваться обычными формулами диаграммной техники, с тем лишь отличием,что 1Е2 12 (120.3) Суммирование же по поляризациям испущенного фотона должно будет производиться по трем независимым поляризациям (двум поперечным и одной продольной) вместо двух у обычного фотона. Это эквивалентно усреднению по матрице плотности неполяризованных частиц (120.4) (ср. (14.15)) с последующим умножением на 3.
Пропагатор «фотонов» с ненулевой массой (ср. (76.18)). Однако в силу калибровочной инвариантности амплитуды реальных процессов рассеяния не зависят от продольной части фотонного пропагатора, и это свойство не связано с конкретным видом его поперечной части. Поэтому второй член в скобках фактически выпадает, и остается выражение того же типа, что и для обычных фотонов: 4К ПИР ., 8ИР (120.5) (которым мы и пользовались в 8 117, 119).
Обратимся теперь к изучению мягких (в объясненном в 8 98 смысле) фотонов. 1 420 ИСПУСКЛНИВ МНГКИХ ФОТОНОВ С НЕНУЛЕВОЙ Л1АССОИ 589 Произведенный в 2 98 вывод формул (98.6),(98.6) переносится на рассматриваемый случай с тем лишь изменением, что при раскрытии квадратов (р~ к) в знаменателях электронных пропагаторов прибавляется член )с2 = Л2. В результате вместо (98.6) получим 1р')4) + лг/2 (рй) — лг)2 4ягьг где 4145 „р сечение того же процесса без излучения мягкого фо- тона (который называем условно «упругим» процессом).
В даль- нейшем при интегрированиях по г)згг будут существенны значе- ния (1с) Л. При этом р )с р)с » Л, так что членами Л2 в зна- менателях можно пренебречь. Суммирование по поляризациям фотона осуществляется, как указано, с помощью (120.4). После сделанного пренебрежения второй член в (120.4) нс даст вклада в сечение, и остается ') ! Л1Р: ~~)~ 4ягы Таким образом, мы возвращаемся к формуле (98.7), в которой, однако4 надо понимать теперь щ как ю= Л(Ы+Л2. (120.7) Формула (120.6) имеет совершенно общий характер. Она при- менима как при упругом, так и при неупругом рассеянии и даже при изменении сорта частиц.
Результат же дальнейшего инте- грирования по 41' Й зависит от 4-векторов р и р', иными словами, от характера основного процесса рассеяния. Рассмотрим случай упругого рассеяния, когда !р(=)р), с=е, и определим полную вероятность испускания фотонов с часто- тОй, МЕНЬШЕЙ ПЕКОтОРОГО Огпгах; ПРИ ЭТОМ ПРЕДПОЛаГаЕтСЯ, ЧтО (120.8) а сверху значение ог„, „ограничено условиями применимости тео- рии излучения мягких фотонов (98.9),.(98.10). Вычислим прежде всего интеграл гю 44~к в нерелятивистском пределе.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
