IV.-Квантовая-электродинамика (1109681), страница 111
Текст из файла (страница 111)
В нсрслятивистском приближении ! г сЬраз! — — — с1!тр! — ! 11п + — ), с12 « тя (122.11) Зя тэ 2ш к 30/ (сюда входят вклады от всех членов в (122.7)). В обратном же, ультрарелятивистском! случае основной вклад вносит только член с 7" .,„„— 1 и получается с1сгр,л — — — сЬ!Н вЂ” 1п 1, 1и, с12 » тз. (122.12) 7Г же Отметим в заключение, что рассмотренные здесь радиационные поправки пе приводят к появлению каких-либо поляризационных эффектов., отсутствующих в первом борновском приближении (в отличие от поправок второго борновского приближения, рассмотренных в 3 12Ц. Дело в том, что специфика первого борновского приближения в конечном счете связана с эрмитовостью Я-матрицы. Это свойство, однако, сохраняется и при учете рассмотренных радиационных поправок, поскольку в этом приближении отсутствуют какие-либо реальные проллежут очные состояния в канале рассеяния (так что правая часть соотношения унитарности обращается в нуль) ') .
9 123. Радиационное смещение атомных уровней Радиациопные поправки приводят к смещению уровней энергии связанных состояний электрона во внешнем поле (так называеь!ое смещегсие Лзл!ба). Наиболее интересный случай этого ро- ) Это выражение отличается от нерелятивистского (117.20) заменой 1и Л -э 1п 2ш,„„„— 5/6. !) Вычисление радиационных поправок к процессам, появляющимся лишь во втором приближении теории возмущений, значительно более громоздко и в этой книге не будет воспроизведено. Ограничимся лишь некоторыми литературными сСылками: радиационные пОправки к рассеянию фотона на электроне .
Вгошп Ь. М., Реупшап В.!!Р1!уа Вет. -1952.. Л!. 85. — Р. 231; к двухфотонной аннигиляции пары - Пегги,1., Вгошп В. М.ОРЬуз. Кет. — 1957. — Л!. 105. — Р. 1656; к рассеянию электрона электроном и позитроном- Вийеи!1 М.,!,!Ргос. Воу. Бес. 1953. У. А220. — Р. 219; Половин Р. ВЛ/УКЭТФ. - - 1956. - Т. 31.. — С. 449: к тормозному излучению - - Фомин П. И.!!)~КЭТФ. — 1958.
— Т, 35 — С. 707. РАДИАЦИОННОЕ СМЕЩЕНИЕ АГОМНЫХ УРОВНЕЙ 603 1 12з да -- смещение уровней атома водорода (или водородоподобг>ого иона) ') . Пош!едовательный метод вычисления поправок к уровням энергии основан па использовании точного электронного пропагатора во внешнем поле (см. 9 109). Но если (123.1) Ъ «1, то можно воспользоваться более простым способом, в котором внешнее поле рассматривается как возмущение. В первом приближении по внешнему полю радиационная по!травка во взаимодействии электрона с постоянным электрическим полем описывается теми двумя диаграммами (121.2), которые уже рассматривались нами в связи с задачей о рассеянии электрона в таком поле, переход от одной задачи к другой требует лишь простой переформулировки (см. ниже).
Легко понять, однако, что таким способом можно найти только ту часть сдвига уровня, которая обусловлена взаимодействием с виртуальными фотонами достаточно болыпих частот. Действительно, рассмотрим, например, следующую (по внешнему полю) радиационную поправку к амплитуде рассеяния электрона: ! ! ! ! ! у ! й р' р (123. 2) ') Сдвиг водородных уровней впервые вычислил Бете (В.
А. ВЕШе, 1147) с логарифмической точностью на основе нерелятивистского рассмотрения; этот расчет послужил толчком для всего последующего развития квантовой электродинамики. Ргюность уровней 2э>, и 2р> (в первом неисчезающем приближении теории возмущений) была точно вычислена Кроллем и Лэзгбом ()У. М. Кто)1, Иг. Е. Ьитй, 1949), а полная формула для сдвига уровней была найдена Войскопфом и Фрон"!ЕА! ()г.
И'е!ээйору, э'. В. Ггепс!г, 1949). (в отличие от (121.2,б) эта диаграмма содержит две вершины вношнего поля). В той области интегрирования по г14й, где 1со достаточно велико, эта поправка содер>кит лишнюю степень Уст и поэтому несущественна. Но введение в диаграмму второй вершины внешнего псшя вводит в нее также и еще один электронный пропагатор С(у).
При малых а (и нерелятивистских внешних концах р и р ) оказываются существенными импульсы виртуальных электронов )', близкие к полюсу пропагатора С()'). Появляющийся в результате малый знаменатель компенсирует лишний малый множитель Ягт. То же самое относится, очевидно, 604 гл хп Рлдилционныв попглвки и к поправкам всех вообще порядков по внешнему полю. Другими словами, в области малых частот виртуальных фотонов внешнее поле должно учитываться точным образом. Разобьем искомый сдвиг уровня 6Е» ') на две части: бЕ» = бЕ1В+ 5Е~П1 (123.3) происходящие соответственно от взаимодействия с виртуальными фотонами частоты в областях 1) йо ) з«, П) йо <»г. При этом выберем з«так, чтобы было (Ът) т « »г « ьч (123.4) (У сг т порядок величины энергии связи электрона в атоме).
Тогда в области 1 достаточно учитывать поле ядра лишь в первом приближении. В области же П надо учитывать поле ядра точным образом, но зато (в силу условия»г « пт) можно решать задачу в нерелятивистском приближении - пе только по отношению к самому электрону, но и для всех промежуточных состояний. При условии (123.4) области применимости обоих способов расчета перекрываются, что и позволяет произвести строгую «сшивку» обеих частей поправки к уровню. Высокочастотная часть сдвига.
Рассмотрим сначала область 1. В ней можно воспользоваться поправкой к амплитуде рассеяния (122.1), из которой, однако, необходимо предварительно исключить вклад виртуальных фотонов, относящихся к области П. Такие фотоны вносят лишь малый вклад в формфактор д, который поэтому не нуждается в изменении. В функцию же 1 виртуальные фотоны малых частот вносят болыпой вклад изза инфракрасной расходимости. Поэтому в качестве 1 в (122.1) надо подставить функцию ~, из которой область Йо <»г уже исключена. Такое исключение можно было бы произвести прямым способом, вычитая из у" интеграл по области йо <»г.
Требуемый результат можно, однако, получить без новых вычислений, используя результаты 3 122. Для этого заметим, что исключение частот Йо <»г можно рассматривать как один из возможных способов инфракрасного обрезания. Результат же для поправки к сечению рассеяния не может., разумеется, зависеть от способа обрезания при условии, что таким же образом обрезается и вероятность испускания реальных мягких фотонов, т. е. в понятие «упрутого» рассеяния включается испускание с частотами лишь от»г до заданного мп,ах. Если выбрать сп,в, = »г, то явный учет испускания фотонов станет излишним.
Отсюда ясно, что / получается из опре- ' ) В этом параграфе Е, обозначает энергию электрона в атоме, не включающую в себя его энергию покоя. Индекс в--совокупность квантовых чисел, определяющих состояние атома. РАДИАЦИОННОЕ СМЕЩЕНИЕ АГОМНЫХ УРОВНЕЙ 605 1 12з деленной в 8 122 фУнкции 1" „„„пРосто заменой ыша, на эг. В частности, в нерелятивистском случае (123.5) Преобразуем теперь поправку (122.1) к амплитуде рассеяния, представив се как результат соответствующей поправки к эффективной потенциальной энергии электрона в поле.
Сравнивая амплитуду (122.1) — е(и"Яр дФи) с борцовской амплитудой рассеяния (121.6) — е(и *Фи), мы видим, что роль такой поправки играет (в импульсном пред- ставлении) функция ебФ(Ч) = ЕЯрад(Ч)Ф(Ч). (123.6) от(Ч) = ( ., (гп —, — —,) Ч'у) (Ч) Соответствующая функция дФ(г) в координатном представле- нии '): бФ(г) = (1п — + — — — ) схФ(г) — г' — Э %'Ф(г).
(123.8) Зяше 1 2м 24 б/ 4яш Смещение уровня дЕ, получим, усредняя ебФ(г) по волно- 00 вой функции невозмущенного состояния электрона в атоме, т, е. как соответствующий диагональный матричный элемент '): дЕА~ ~ = (1п — + — — — ) (Е)2.'гФ(з) — 7,— (в) 1з(УФ)з). Зппп Х 2м 24 б I 4ят (123.9) ) Подчеркнем отличие этой поправки к потенциалу от поправки, рассматривавшейся в з 114. Последняя включала в себя только эффект поляризации вакуума (диаграмма (121.2, аД для кулонова поля как такового. Поправка же (123.8) относится уже ко взаимодействию поля с электроном и включает в себя также и эффект изменения движения электрона (диаграмма (121.2,б)). э) Строго говоря, опрсделепныо в з 117 формфакторы относились к вере и шинному оператору при двух свободных электронных концах (р = р = т').
Для электрона же в атоме энергия Е, " уровень, вообще никак не связанный с р. Этим отличием можно, однако, пренебречь в области 1. В нерелятивистском случае, взяв г и д из (113.14) и (117.20), а для 1', подставив ('„из (123.5), получим 606 ГЛ. ХП РЛДИЛЦИОННЫЕ ПОПРЛВКИ В первом члене достаточно использовать при усреднении не- релятивистскую функцию электрона. Во втором же члене такого приближения недостаточно: нулевое приближение по перелятивистским функциям обращается в нуль ввиду отсутствия у матриц у диагональных элементов. Поэтому здесь надо воспользоваться найденной в 2 33 приближенной релятивистской функцией 1р =, сохранив в ней малые (в стандартном представле- 1, Х /' пни) компоненты т.
Имеем Ф*'уФ= р' х — к' и, подставив из (33.4) 1 1 ;л = — 1тр1р = — о'л"'р 2ьч 2П1 ПОЛУ 1ИМ (в~ уTФ~Е) = — — ' 11р"(1тЧФ)(о~71р)+(~Г1р*.ст)(1г~уФ)1р)11вх = = — ~(1р*ллФ 1р — 2лгг р'~Я Ф л1р))д я 2т / (при преобразовании интеграла использовано тождество (33.5) и произведено интегрирование по частям). Поскольку Ф = Ф(г), то лФ= — —, Г 1Ь и поэтому — 1о ('17Ф. '17) = — — 'о1, г 11г где Х = — г(г~7] оператор орбитального момента. Наконец, собрав полученные выражения и подставив в (123.9), найдем бЕ(') = ' (1и — '" + — ) (Е~ЬФ~Н) + ' (в~сг1- — ~е), (123.10) Зеплл Л 2н 30/ 4ет1 г йг где теперь уже в обоих членах усреднение производится по перелятивистской волновой функции.
Низкочастотная часть сдвига. Для вычисления второй части сдвига уровней используем прием, основанный в конечном итоге на условии унитарности. В силу возможности испускания фотона возбужденное состояние атома является квазистационарным (а не строго стационарным). Такому состоянию можно приписать комплексное значение энергии, причем его мнимая часть равна и/2, 1де и вероятность распада состояния, т. е. в данном случае полная вероятность испускания фотона (см.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
