IV.-Квантовая-электродинамика (1109681), страница 114
Текст из файла (страница 114)
— 1982, — У. 87. — Р. 848. 620 Гл. хп Рлдилционные попгавки Этот параграф посвящен изучению некоторых общих свойств диаграмм такого рода. Но для упрошеиия и конкретности мы будем вести изложение применительно к определенной диаграмме (126.1са).
Импульсы линий такой диаграммы обозначим следующим образом: Йс=Й~+Йе — Йз Йг 1г (126.2) д-Йс д-Йс д-Йс-Йя Йв Йс 4-импульсы Й1, Й2, Йз, Й4 отвечают реальным фотонам, так что их квадраты равны нулю. Отделив зависимость от поляризаций фотоиов, амплитуду Мс„соответствуюпйую диаграмме (126.2), можно выразить через несколько скалярных функций 4-импульсов фотонов. Это иивариантные амплитуды, о которых шла речь в д 70; конкретное выделение их для рассеяния фотона иа фотоне будет произведено в ыедуюпгсм параграфе.
Будучи скалярными, оии зависят лишь от скалярных же переменных, в качестве которых можно выбрать, например, любые две из ве.личип в = 1Й1 + Й2), с = (Й1 — Йз), и = (Й1 — Й4), в + с + н = 0; (126.3) ниже мы выбираем в качестве независимых в и й Каждую из инвариаптвых амплитуд (которые мы обозначим здесь той же буквой М) можно представить иитегра,лом вида М сдам сГ'д )де — тефд — Йс)' — тЯЦ(д — Ас — )сс)е — сгсс~[(д — )сс)Я вЂ” т") ' спз — 1 сп — г0, (126.4) где В некоторая функция всех 4-импульсов; множители в знаменателе происходят от пропагаторов четырех виртуальных электронов. При достаточно малых в и 8 амплитуды М вещественны (точиее, могут быть сделаны таковыми надлежащим выбором фазового множителя). Действительно, малость в обеспечивает невозможность рождения фотонами реальных частиц (электрон-позитропной пары) в в-канале, а малость 2 такую же невозможность в 2-канале ') . Другими словами, в обоих каналах отсут- ') Изображенные на диаграмме П2б.2) направления внешних линий отве- 621 1 126 ДВОЙНОЕ ДИСПЕРОИОННОЕ СООТГ'НОШЕНИЕ ствуют реальные промежуточные состояния, которые могли бы, согласно условию унитарности, привести к появлению мнимой части амплитуды.
Будем теперь увеличивать з при фиксированном (малом) значении 1. При з ) 4т у амплитуды ЛХ появится мнимая часть, 2 связанная с возможностью рождения пары двумя фотонами в з-канале. Поэтому для М можно написать дисперсионное соотношение «по переменной зз: И( 1) = ' /' ' (' ') ~ ° к,/ з' — з — зО где А1з(з, 1) обозначает мнимую часть ЛХ(з, .6). Каке и для всякой диаграммы вида (126.5) А1з(з, 1) вычисляется по правилу (115.9) заменой в интеграле (126.4) соответствующих полюсных множителей д-функциями: ( з) = (2 ')2 ) 1В6(Ч вЂ” зн )6((ч — й~ — Ез) — сп 1 ~4 „/ ((д — й,)' — шз)((9 — йг)е — т-") (126.6) причем интегрирование производится по половине о-пространства, в которой п~ > О. Мы можем сделать существенный дальнейший шаг, заметив, что интеграл (126.6) имеет структуру (в смысле своих полюсных множителей) того же типа, что и амплитуда реакции, изображающейся диаграммой вида Поэтому и аналитические свойства А1з(6, 1) как функции от 1 подобны анапитическим свойствам этой амплитуды.
В частности, у функции А1,(з, 1) может появиться (при увеличении 1) чают з-каналу. В Ьканале входящими должны быть линии 1 и 3, так что 4-импульсами на тальных фотонов были бы Ь~ и — ьз. Физические области для рассеяния фотона на фотоне в переметпзых з, й и — заштрихованные секторы на рис. 8 (с. 299). Так, з-каналу отвечает область, в которой з > >О, 1<0, и<0. 622 Гл. хп РЛДИЛЦИОННЫЕ ПОНРЛВКИ мнимая часть только тогда, когда оба множителя в знаменателе буду"г одновременно обращаться в нуль. Это, однако, не произойдет сразу же после достижения значения 1 = 4тз порога рождения пары в 1-канале.
Дело в том, что наличие в'-функций в подынтегральном выражении ограничивает область интегрирования в Ч-пространстве, которая может оказаться несовместимой со значением 1 = 4тз. Протяженность области интегрирования зависит от значения в (аргументы д-функций содержат Й1 и 122). Поэтому зависит от в и грашичцое значение 1 = ~е(в), за которым функция Аы(в, 1) становится комплексной. Подобно тому как функция М(в, ~) выражается через свою мнимую часть Ам(в, 1) формулой (126.5), функция А1,(в, 1) в свою очередь выражается через Аз(в, 1) = 1шАы(в11) дисперсионным соотношением «1по переменной га: (126.
7) 1 Е Подставив теперь (126.7) в (126.5), получим двойное дисперсионное соотношение, или предсп1авление Мандельстима для амплитуды ЛХ(в, 1): ~(в, ) = —,, / / ' ' 111'сЬ', (126.8) К2,/,/ (в' — Я вЂ” 20)(н — ~ — 20) 2 1 (В.МапвеЫат, 1958). Функцию Аз(в, 1) называют двойной спектральной плотностью функции М(в, 1). Ее можно получить из интеграла (126.6) повторным применением к нему правила замены (115.9). Обо'1значив для краткости 11 = Ч, 12 = Ч вЂ” К4, 1з = Ч вЂ” къ 14 = Ч вЂ” к1 — кг, (126.9) получим (22) Ав(в, 8) = = (2я2) 2ВИ(11 — тв)в(1~ ~— т2)б(1з — т )й(1~~ — тз)11~Ч1 (126.10) причем интегрирование производится по области ЧО > О. Следует, однако, иметь в виду, что формула (126.10) имеет лишь символический смысл.
Дело в том, что область в > О, 1 > 0- нефизическая. Соответственно в этой области величины 1м 12, ... при вещественных Ч оказываются, вообще говоря, 623 1 126 двойнок диспкгаионнок соотношении 2 2 2 2 2 11 = 12 = 1з = 14 = ™ . (126.13) Из условий 12 = 121 —— т2 получаем, как и в З 115, 61 =ш — т. о = ю, О (126.14) ') При 1 > О: (1с — 14') < О, т. е. вектор 14 — 14' мнимый. Это затруднение, однако, легко обойти, раскрыв есе векторные выражения при 1 < О и произведя затем аналитическое продолжение к 1 > О.
) Такой способ интегрирования автоматически учитывает лишь по одному из нулей аргументов б-функций. комплексными; понятие же д-функции при комплексных зна 1е- ни11х аргумента нс является полностью определенным. Точнее было бы говорить прямо о взятии вычетов в соответствующих полюсах исходного интеграла (126.4).
В нашем случае это, одна- ко, не играет роли. Условие обращения в нуль четырех знаме- нателей в (126.4) или четырех аргументов б-функций полностью определяет компоненты 4-вектора д. Переходя к интегрирова- нию по 11, 12, ... (см. ниже) и формально оперируя с интегра- лом (126.10) по обычным правилам, клы найдем (с точностью до знака) выражение для Аз. Для дальнейших вычислений выберем систему центра инер- ции (в к-канале). Тогда Й1 = (ш, 14), Й2 = (ш, — 14)., йз = (ш, 1с ), Й4 = (ш, — 14 ), (126.11) я = 4о1~, й = — (1с — 14')2 = — 4шя 61п2(д/2), (126.12) и = — (1с+ 14') = — 4шз сок~(д/2), где д угол между 14 и 14' (угол рассеяния). Ось х пространствен- ных декартовых координат направим по вектору 14+ 14, а ось р —— по 14 — 14' ') . Преобразуем теперь интеграл (126.10), выбрав квадраты 11., 1~, ...
в качестве новых переменных интегрирования (вместо четырех компонент о). Имеем — = 211„, ..., дф) дог поэтому якобиан преобразования дРм 14, 1з, 14) д16' ч. Ог ь ) где Т) — определитель, составленный из 16 компонент 4-векторов 11, 12, 11, 14. Интегрирование в (126.10) сводится просто к замене функций В и 0 в подыптегральном выражении их значениями при ') Рлдиационные !1опгавки Гл.
хп Остальные два условия дают (~ — 1:4) г — гпг = -2д~4 = — 2ыг — 2Чй' = О (д — йг) — гпг = — 2сог — 2с11с = О, так что Ч1с = Ч1с = в/4 или в компонентах: а я Я =М. Дя= 7р —— О, 2(в -Ь г) д =ь/ — г-Р=ьп ""' "] . (12615~ 4(я -'г й) Таким образом, интеграл (126.10) равен Аг(л, 1) = — '~~~ ( — 1В), (126.16) где суммирование производится по двум:значениям Ч из (126.15).
Определитель Р можно записать с помощью единичного ап- тисимметричного тензора; ерири11121з14 еририч ~4~2~1 УиРгриРи — ерири(д — й1)р(й~ — й~) (йг — й1) й, (при преобразованиях использована антисимметрия ер,ри). За- метив, что нз четырех множителей временную компонейту имеет только йы находим Р = — огЧ[(1с + 14') (1с — 1с')]. Раскрыв это выражение при 1 < 0 и затем продолжив к ~ > О, получим Р = — ол7,ъ~в + 1~/ — 1 — ~ ~-(в4~яй — 4гп~(я+ 1)]) и'.
(126.17) 4 Выбор знака в этом выражении можно произвести на осно- вании следующих соображений. Положим для простоты В = 1. Тогда видно, что в физической области (я > О, 1 < 0) имеем Ам(я, ~) < О. Действительно, .оба знаменателя в подынтеграль- ном выражении в (126.6) имеют одинаковый (отрицательный) знак: (д — Й4)г — тг = — 2ог~ — 2с11с' < — 2ог(ог — ]с1]) < О, (д — йг) — т~ = — 2ы~ — 2с11с < — 2со(оз — ]Ч]) < 0 (здесь использовано, что, в силу наличия двух б-функций в числителе, имеет место (126.14) и потому ]с1] < оз) ') . Из (126.7) 1 ) Разумеется, ято не случайно.
Отрицательность Ам в действительности следует из условия унитарности, что особенно ясно при г = О, когда Ам определяет полное сечение. 625 1 126 дВОЙнОе диспегсионнОВ ОООтнОшение видно тогда,, что отрицательна должна быть и функция А2(6, 4) при в > О, 1 > 0 (если учесть, что, согласно (126.16), зта функция знакопостоянна). Это значит, что в (126.17) надо выбрать верхний знак, так что окончательно (126.18) (»1)61 — 4ш»(В -»1))) И' Так как по своему сл1ыслу функция А2(В, 8) должна быть вещественна, то кроме положительности в и 1 имеется еще условие положительности выражения в квадратных скобках в знаменателе: 61 — 4т,~(в + 1) > О, 6 > О, 1 > О. (126.19) Этн неравенства определяют область, по которой должно производиться интегрирование в двойном дисперсионном интеграле (126.8) (зап1трихована на рис.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
