IV.-Квантовая-электродинамика (1109681), страница 113
Текст из файла (страница 113)
Последние, очевидно, не имеют отношения к полюсным особенностям, и потому удобнее не рассматривать их вовсе, говоря вместо этого о полюсах самой вершинной части, т. е. функции г„, (р',-р«;р, -р',), (125.1) где обозначения 4-импульсов вне1пних концов диаграммы (106.12) отвечают рассеянию позитрона на электроне. Подчеркнем, что утверждение о наличии полюсов относится именно к точной амплитуде рассеяния или к точной вершинной части; в каждом же отдельном члене ряда теории возмущений полюс отсутствует. Пош1еднее очевидно уже пз того, что в фейнмановских диаграммах каждого приближения фигурируют лишь электронные (и фотонные) линии, по не линии «составной частицы» позйгрония как целого. Отсюда в свою очередь следует, что вычисление амплитуды рассеяния вблизи ее полюсов требует суммирования бесконечной последовательности диа- 613 1 12а УРАВНЕНИЕ ДЛЯ СВЯЗАННЫХ ООО'ГОЯНИЙ грамм. Выясним, какие именно диаграммы входят в эту поснедовательность. В первом неисчезающем (первом по гт) приближении теории возмущении вершинной части (125.1) отвечают две диаграммы второго порядка: Р— и РЧУР— Р— (125.2) Рг- Р» или в аналитическом виде; Егин 1т — — — е ~г!»Егия»ги(Р— — Р— ) + е -ГгВ"И!»Яг !гР— + РР).
(125.3) В следук»щем (втором по гт) приближении имеется уже 10 диаграмм четвертого порядка: Р» Р— г ! ! (125.4) и еще пять диаграмм, различающихся перестановкой Р .Р-» — Р' . Все эти диаграммы имеют по сравнению с диаграммами (125.2) лишнюю степень е = о. Покажем, однако, что в диаграмме (125.4,и) эта лишняя степень малости компенсируется малым (при малых импульсах электрона и позитрона) знаменателем. 614 РАДИАЦИОННЫЕ ПОПРАВКИ гл.
хп Будем рассматривать все величины в сис~емс «де»гтрк инерции», Поскольку, однако, 4-импульсы внешних концов диаграмм не предполагаются физическими (т. е. р ф т ), то хотя в этой системе р» —— — р, но е«у'= е . Таким образом, 4-импульсы концов Р =1е 1Р), р' = (е', р'), р« = (е«, — р), р» =("+ -р') 1 1 е +е, =е +е«.
(125.5) Энергия связи электрона и позитрона в позитронии тст~. Поэтому в интересующей пас окрестности полюсов амплитуды рас- сеяния (р) - )р') тст « т, )е. — п1) )е« вЂ” тп~ р /т птст, (125.6) Вклад в вершинную часть от диаграммы (125.4,а) Г,, '„„= — »е (-~~С(С7).~")21;у'С(д — р — р«)"~1 )вш х х 72АР1С) — р' )П„Р1р — д) . (125.7) — РР— ~2 )4 В интеграле (125.7) существенна область значений дд = 11)О, с1), близких к по.люсам одновременно обеих функций С. В этой обла- сти ~с)~ и ~с)Π— т~ малы и электронные пропагаторы т Яе — УЧ ш т [ с1 + о + о411 1 1 — ! (д~ 4- ш)(д~ — ш) — с11 4- 10 2 2т те — 11 Ч» .
1 1 С(с1 — р. — рч) = [с)о — е — е«+ гп+ — — гО~ 2 2ш (125.8) Полюсы этих двух выражений лежат по разные стороны от вещественной оси в плоскости комплексной переменной до, замкнув пугь интсусрирования вдоль этой оси, скажем, в верхней по,луплоскости, вычислим интеграл по до по вычету относительно соответствующего полюса ') . В результате найдем, что 1 (4а) 4 э с1 11 (д — р' Яр — О)1(2т — е — яа 4- Ч»7т) ) Для диаграммы же (125.4,а), отличак1щейся от (12бл,а) лишь взаимным направлением электронных линий, оба полюса оказались бы лежащими по одну сторону от вещественной оси, так что после сделанных пренебрежений интеграл вообще обратился бы в нуль.
615 1 12в УРАВНЕНИЕ ДЛЯ СВЯЗАННЫХ СООГОЯНИЙ и отсюда, с учетом (12ог.б), оценку Г о г«о) 2 (гио) 1 1тпо)гпнР гаго Такой же порядок величины имеет и вклад в Г от диаграммы второго порядка (125.2,В) (первый член в (125.3)), чем и доказывается сделанное выше утверждение о порядке малости диаграммы (125.4,а). Аналогичная ситуация имеет место и во всех дальнейших приближениях теории возмугцений. Таким образом, вычисление интересующей нас вершинной части вблизи ее полюсов требует суммирования бесконечной последовательности «аномально больших» диаграмм с промежуточными состояниями типа внутренних линий диаграммы (125.4,а). Для этих диаграмм характерно, что они могут быть рассечены между концами р, — р+ и р, — р+ на части, соединяющиеся друг с другом лишь двумя электронными линиями ') .
Совокупность же всех диаграмм, не удовлетворяющих этому утловию, назовем «компактной» вершинной частью и обозначим через Г,в гш; поскольку аномально большие диаграммы в нее не входят, эти величины можно вычислять по обычной теории возмущений. Так, в первом приближении Г определяется обеими диаграммами второго порядка (125.2), а во втором — - восемью диаграммами четвертого порядка (все диаграммы, за исключением (125.4,а, б)). Классифицируя некомпактные вершинные части по числу содержащихся в них «двойных связей», можно представить полную Г в виде бесконечного ряда; р'- 'гГ = гГ + гГ гГ т гГ гТ гГ (125.9) где все внутренние сплошные жирные линии точные пропага- торы й (рггд такого вида часто называют лестничным).
Чтобы просуммировать этот ряд, «умножим» его слева еще на одну Г '): ') Такое определение включает в себя все аномально большие диаграммы, но наряду с ними также и Некоторые «нормальные», Например диаграмггу (125.4,б). ) Т. е. умножаем все члены ряда на Г и две Ц и производим соответствуюгдее интегрирование по 4-импульсам новых внугренних связей.
617 1 12в УРАВНЕНИЕ ДЛЯ СВЯЗАННЫХ ОООГОЯНИЙ Тогда уравнение (125.12) примет вид 4[Д '(р )Х(р, — р+)6 1( — р+)] — Гга гт(Р— г Ч Р Р вЂ” г Чг Р4Хгг'(Чг Ч Р Р вЂ” ) 4 г т (125.14) в котором Г выступает как ядро интегрального оператора. Как уже упоминалось, Г может вычисляться по теории возмущений, то же самое относится, конечно, и к функции й Покажем, что в первом (по сг) приближении теории возмущений (125.14) сводится, как и следовало ожидать, к нерелятивистскому уравнению Шредингера для позитрония. В первом нерслятивистском приближении Г определяется одной лишь диаграммой (125.2,п) (диаграмма аннигиляциопного типа (125.2,6) обращается в этом приближении в пуль) ') .
Как и по аналогичному поводу в 2 83, фотонный пропагатор удобно выбрать в кулоновой калибровке (76.12),(76.13), причем достаточно оставить в нем лишь компоненту Т)ое. Тогда Гга вгп(Р— г Ч Рч- Р— г Чг Рч.) = Р Зггэтттгое(41 Р— ) = 2 О О о о с~(Ч Р вЂ” )744'уст г где 17(с1) = — 4пеа/Чя - компонента Фурье потенциальной энергии кулопова взаимодействия позитрона и электрона.
Уравнение (125.14) принимает вид 4Хгт(Р— г Рч.) = Сг(Р— )У Р вЂ” )Х( Р+ Р— ) ' г ( ~ ~ ~ О ~ ~ ! ~ ~ ~ < 2 ~ ~ 4 ~ > П ~ О ~ ~ ~ г 4 гт (125.15) где также заменены точные пропагаторы й пропагаторами свободных электронов С. Для последних имеем приближенные выражения (ср. (125.8)) 2 2 где выделены матричные множители, а д(р) -- скалярная функция: и(р) = (е — т — р /(2т) +10] '. (125.16) ) Напомним, что скоРости частиЦ в позитРоиии ггггс сс В этом смысле разложения по о и по 1ггс взаимно связаны.
618 РАДИАЦИОННМВ ПОПРАВКИ 1Л. ХП При подстановке этих выражений в (125.15) замечаелл, что все отличные от нуля ма1ричные элементы к-Р 1' Е Ек — 1'~) (~ +к ~ — Г~ совпадают с элементами — г; . Поэтому матричное уравнение (125.15) эквивалентно уравнению для скалярной функции 1Х(Р-. — Р+) = = — и(р )я(р+) У(с1 — р )Цд, 11 — р, — р ) ~,.
(125.17) Введем теперь вместо рч, р переменные 2 (4-импульсы относительного движения частиц и позитрония как целого). В системо центра инерции Р = (Е+ 2т, О), где полная энергия обозначена через Е+ 2гп, т. е. Е --уровень энергии, отсчитываемый от массы покоя. Выразив через эти переменные, перепишем (125.17) в виде 1Х(р Р) = = -к(к-к —,)к(-кк--) ) У(ч — к-ь(к- —, Р) — „'р = =-к(кк А)к(-кк —,) 1 Р(ч' — к)к(к', Р)„',,: В это уравнение Р входит уже только как параметр, а функция ,"С входит в правую часть равенства только в виде интеграла 4(с1) = с(7, Р) 17о. Проинтегрировав обе стороны равенства по к(е, получим из него замкнутое уравнение для ук; =-;.'.
У ("() (-"()"У"- ",:.': где Е р' 8(~Р + — ) = ~~е + — — — + 10) 2 2 2ик 126 дВОйнОе дисперснОннОВ ОООтнОшенив Замкнув путь интегрирования по т1Е, скажем, в верхней полу- плоскости комплексного е, вычислим интеграл по вычету в соответствующем полюсе и окончательно получим (~ — е)Р(р) Р1 Р(ч — р)Ф(ч) Рт = Р. (Р26 18) Это и есть уравнение Шредингера для позитрония в импульсном представлении (см. П1, (130.4)). Ксли бы мы ограничились для Г диаграммами (125.2), но учли бы в них (а также и в й) следующие члены разложения по 1/с, мы получили бы уравнение Брейта (см. 8 83). Учет же диаграмм из (125.4) (вместе с дальнейшими членами разложения по 1/с) дает радиационные поправки к уровням позитрония; однако вычисления становятся очень сложными.
Приведем вычисленную с этими поправками разность основных уровней орто- и парапозитрония '): 4 ту Я1~О1) — Е('Яв) = пв — ', ( — — ( — + 1п21 — — г' — 1. (125.19) 2ЯР 6 ~9 /рт 29 Первый член в фигурных скобках -- тонкое расщепление (сеь задачу 2, 8 84). Второй член -- радиационная поправка к разности уровней.
Мнимая же часть разности связана с вероятностью аннигиляции парапозитрония (сеь (89.14)), т. е. с комплексностью уровня Яв, для парапозитрония ширина уровня оказывается того же порядка величины, что и радиационная поправка к его вещественной части. 8 126. Двойное дисперсионное соотношение Следующим по сложности за вершинной частью с тремя внешними линиями является блок с четырьмя концами. В квантовой электродинамике возможны три такие простейшие диаграммы: (126.1) Первая из пих описывает рассеяние фотона на фотоне. Остальные представляют собой отдельные члены радиационных поправок — к рассеянию фотона на электроне (диаграмма б) и к рассеянию электрона на электроне (диаграмма в). ') Катр1ир Л., К1ми А.ОРЬув. Реч.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
