IV.-Квантовая-электродинамика (1109681), страница 112
Текст из файла (страница 112)
П1, 2 134). В нерелятивистском РАДИАЦИОННОЕ СМЕЩЕНИЕ АТОМНЫХ УРОВНЕЙ 607 1 123 приближении излучение является дипольным, и согласно (45.7) имеем ~с1е, Р~Е Е,)3 * 2 ' 3 (где суммирование производится по всем нижележащим уров- ням,Е, ( Е,),или в эквивалентном виде: 1п1бЕ = ' ~,1., ~~,1,~21Е о В (123.11) откуда следует замена 1 1 о(Е — Е, — ец) = — — 1ш е Е,— Е, — ы+10 (123.12) (ср. (111.3)).
Подставив (123.12) в (123.11), найдем, таким образом, )3 /~ т, ~~ВВ~Й (Š— Е.') Зе / *' Е,— Е, — ы+10 о Искомое аналитическое продолжение получится теперь просто опусканием знака 1ш в обеих частях равенства. Нам надо, однако, выделить из бЕВ лишь ту часть, которая связана с вкладом частот в области П: ео ( Ае. Для этого достаточно заменить верхний предел интеграла на Аг. Произведя интегрирование, получим в результате бЕО1) 2 ~ ~А ~с1 ~2(Е Е )31 и (123 13) и (в силу неравенства (123.4) на верхнем пределе мы пренебрегли разностью ń— Е, по сравнению с Ре). В дальнейшем нас будет Чтобы найти вещественную часть бЕ», следует рассмотреть Е, как комплексную переменную и произвести аналитическое продолжение.
Это можно сделать, рассматривая О-функции как происходящие от полюсов. Правило обхода полюсов задается, как обычно, добавлением отрицательной части к массам виртуальных частиц, в данном случае — к массам т, электрона в промежуточных состояниях атома. Роль этих масс играют тВ = = па+ Е,, так что надо положить Е — 1 Е — г'О, 608 РЛДИЛЦИОННЫЕ ПОПРАВКИ гл. хп интересовать толг ко вещественная часть уровня: она получается заменой в (123.13) аргумента логарифма на гс(~Е, — Е,1 В выражении (123.13) преобразуем член с 1п гг, заменив матричные элементы дипольпого момента д = ег матричными элементами импульса р = тч и его производной Р: ~ 1с1,12(Е, Е )З ~1РЕ,12(Е, 1Е 'С ~ ((Р) агг Рвгк — Рви (Р) нв ) 21пг Заменив теперь Р согласно операторному уравнению движения электрона Р = -е'ьуФ, получим Х'~с1 .,~2(Е, — )3 = — " '>'И ),, — г( ), ~ = 2гпг х г (, ~р~уФ вЂ” ~уфой ) = й2~Ф~в).
(123.14) Поэтому люжно переписать (123.13) в виде 6Ег1 1 = (в)ЬФ(в) 1п — + — ~1 (г„г! (Ее — Е,)' 1п Зяте т Зх ' 2)Ег — Е, ( гг (123.15) Полный сдвиг. Наконец, сложив обе части, найдем шгедуюшую окончательную формулу для сдвига уровня: дЕ, = — ' ~~ ~гег ~2(Е, — Е,) 1и т + + — (в~ЬФ~в) + (в~а1 — — ~в) (123.16) (как и должно быть, вспомогательная величина гс из нее выпала) ') . Все матричные элементы в (123.16) берутся по отношению к нерелятивистским волновым функциям электрона в атоме. Для атома водорода (или водородоподобного иона) эти функции зависят только от трех квантовых чисел: главного квантового чис га ') Определение поправок следующего порядка в сдвиге уровной требует очень сложных вычислений.
Наиболее полную сводку и сисгематический вывод таких поправок (вместе с соответствующей библиографией) можно найти в статьях: Еггсймоп С. '11г., Уеппне 22. 22.ОАпп. оу РЬув." 1965." Ъ". 35. — Р. 271, 447. РАДИАЦИОННОЕ СМЕЩЕНИЕ АГОМНЫХ УРОВНЕЙ 609 1 123 и, орбитального момента 1 и его проекции лп, (но не от полного момента у), соответствующие же уровни энергии зависят только от п,. Введем обозначение ') г ~го Епл = ~ ~(п')'пг'~г~п1гглЯЕп — Е„)3 1п ™" ) 2т(Лег)л 2 ~ń— Е„) пгЛ'пг' (123.17) Уровни энергии пропорциональны (Яе ), а характерный разклер атома пропорционален Яе: поэтому определенные согласно (123.17) величины Епл от Я не зависят.
Эти величины могут быть найдены численно. Дезлее рассмотрим отдельно сллучаи 1 = 0 и 1 ~ О. При 1 = 0 последний член в (123.16) исчезает. Во втором члене воспользуемся уравнением еЬФ = 4я_#_е~б(г), которому удовлетворяет потенциал кулоглова поля ядра. Отсюда (п)гп~, ~ФЯп) = 4г1~е ~фплт(0)~ = 1) ' ) ~ О' (см. (34.3)). В первом же члене вводим обозначение (123.17) и еще раз используем равенство (123.14); )(гл'1'лп')г)п00))2(ń— Еп)'л = (пОО(ЬФ)пОО) = и'Гт' В результате получим следующее выражение для сдвига з-тернов: (123.
18) (обычные единицы). Числовые значения нескольких величин Ьпе. п= 1 2 3 4 оо Епе = — 2,984 — 2,812 — 2,768 — 2,750 — 2,721 Невозьлущенньле уровни Еп = — лпс2(ЯЕЕ)2/(2п2); поэтому отно- сительная величина радиационного сдвига ОЕо 2 3 1 -г ')п —. Е о г. ' (123. 19) 20 Л. Д. Ландау и Е.М, Лифшиц, том 1 г' ) Матричные элементы от г диагона,льны по числу л и от г не зависят; поэтому суммирование по и в (123.16) сводится к суммированию по и, 1, т. В силу изотропии пространства суллма (123.17) не зависит, конечно, и от квантового числа т.
610 Гл. Кп РЛДИЛЦИОННЫВ ИОНРЛВКИ В случае 1 ф 0 в (123.16) исчезает второй член. Третий же вычисляется с помощью формул, приведенных в 8 34. В этом члене имеется зависимость также и от числа 11 В результате получим 4тс х а' (Т ЗУ(1+1) — !(11-1) — 314~) 3ли' ( ' 8 1(1-~-1)(21Ч-1) (123.20) Таким образом, радиационный сдвиг снимает последнее вырождение, оставшееся после учета спин-орбитального взаимодействия, вырождение уровней с одинаковыми значениями п и у, по разными 1 = у ~ ~1!2. Так, числовое значение Х21 = +0,030 и из (123.18)-.(123.20) получается гледующая величина для разности уровней 2з л! и 2рл12 атома водорода; 2 В Езе ! 12 — Е21 !)2 — — О, 411ис о (этой разности отвечает частота 1050 МГЦ). 8 124.
Радиационное смещение уровней мезоатомов В конце 3 118 была выяснена существенная роль, которую играет эффект поляризации электронного вакуума в радиационной поправке (второго приближения) к магнитному моменту мюона. Еще важнее этот эффект для радиационного сдвига (уже в Г!ервом приближении) уровней )л-л!езоводорода--водородоподобной системы из протона и )л-х!езона (А. Д. Галанин! И.
Я. Поллеранчук, 1952). В произведенном в предыдущем параграфе расчете сдвига уровней обычного атома был учтен, в частности, эффект поляризации электронного вакуума (электронная петля в диаграмме (121.2,а)). Если, аналогичным образом, для мезоатома учитывать эффект поляризации мюонного вакуума, то весь расчет полностью переносится и па этот случай, с заменой лишь везде массы электрона т = т, массой мюона тгР Поскольку относглтельный сдвиг уровней оказался не зависящим от массы электрона (см. (123.19)), для мезоводорода получился бы тот же самый результат. Легко видеть, однако, что значительно больший вклад в сдвиг уровней мезоатома внесет эффект поляризации электронного вакуума. Действительно, замена мюонной петли в диаграмме электронной означает замену мюонного поляризационного оператора электронным.
Но поляризационный оператор 'Р(92) обратно пропорционален квадрату массы частицы (при нерелятивистских значениях !) ). Ясно поэтому, что указанная замена приведет к 2 увеличению эффекта в (ти/т,) раз. именно этим вкладом и 611 Радиационное смещкниь' уговнвй мвзоатомОВ 124 определится порядок вели плны сдвига уровней, который будет т. е. на четыре порядка больше, чем у обычного водорода ') . Более наглядно происхождение этого эффекта можно понять, вспомнив, что искажение кулонова потенциала поляризацией электронного вакуума простирается на расстояния 1/гпе Я 114). В обычном атоме водорода электрон находится на расстояниях от ядра 1/(тест), т.
е. вне основной области искажения поля, в мезоводороде же мюон находится на расстояниях 1/(тису), как раз попадающих в эту область. Для точного вычисления сдвига уровней мезоатома нельзя, однако, пользоваться приближенным нерелятивистским выражением для поляризационпого оператора, как это было сделано в формуле (123.7), использованной при вычислении сдвига уровней обычного атома.
Дело в том, что характерные импульсы мюопа в атоме мезоводорода ~рд~ отд. Для мюона такие импульсы являются нерелятивистскими, но по отношению к электрону--- уже релятивистскими. Мы должны, следовательно, воспользоваться полным релятивистским выражением (114.5) для эффективного потенциала поля ядра, искаженного поляризацией электронного вакуума.
Сдвиг уровня определится путем усреднения по волновой функции мюона в атоме: бЕн1 = — ~е~ ~4(1нДЬФ(г) г1йх = — ~е~ ге~1(г)5Ф(г)г241г. (124 1) 2 з 1 пм 5Ен1 = — — Ст тдЯЯн1 11 Зк Ь лг (124.2) где ) По аналогичной причине вклад поляризации мюонного вакуума в сдвиг уровней обычного атома водорода будет, напротив, пренебрежимо малым. где Л„1 — радиальная часть кулоновой (нерелятивистской) волновой функции. Для водородоподобного иона с зарядом ядра У~с~ функции И 1(г) зависят от г лишь в безразмерной комбинации р = 2опг г (расстояние, измеренное в кулоповых единицах).
Учитывая это и подставляя 5Ф(г) из (114.5) (с зарядом У~с~ вместо е1), приведем интеграл (124.1) к виду 612 Гл. хп РЛДИЛЦИОННЫВ ПО11РЛВКИ Так, для нескольких первых уровней мезоводорода, численный расчет дает следующие значения относительного сдвига: ~Е1«6,1. 10-3 ~Е1« 2 6. 10-« ~Е«1 2 0.
10-5 ~Е1«( )Е»о) (Е11) 6 125. Релятивистское уравнение для связанных состояний Метод, примененный в предыдущих параграфах к вычислению радиационного сдвига атомных уровней, неприменим для решения такой задачи, как определение поправок к уровням позитрония системы из двух равноправных частиц, ни одна из которых не может рассматриваться по отношению к другой как источник внешнего поля. Систематический метод решения этой задачи основан на том, что уровни энергии связанных состояний являются полюсами точной амплитуды взаимного рассеяния двух частиц (амплитуду нужно рассматривать как функцию суммарной энергии частиц в системе центра инерции).
Действительно, позитроний в каждом из своих дискретных состояний можно рассматривать как «промежуточную частицу» определенной массы, через образование которой может идти процесс рассеяния электрона и позитрона; каждому же «одночастичному» промежуточному состоянию отвечает полюс амплитуды рассеяния (разумеется, эти полюсы лежат в нефизической области 4-импульсов рассеивающихся часгиц) . Согласно (106.17) точная амплитуда рассеяния строится из точной «четыреххвостой» вершинной части Г,» н„и поляризационных амплитуд и частиц.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
