IV.-Квантовая-электродинамика (1109681), страница 110
Текст из файла (страница 110)
В резуль- тате рассеяния электроны поляризуются, вектор поляризации конечных электронов 1 2 йе(АВ*) 2(.41'1 йе В121 — 1В1'1 11п А111) /А!2 -1- /В/2 1А12 Ь 1В12 или, после подстановки (121.12),(121.13), .1 4иегпр Мпз(д212) сев(дг12) 1 (121. 15) гггвг 1 — ег вгпг(дг12) Перейдем к вычислению интегралов,71 и 12. Оно облегча- ется применением метода параметризации по формуле (131.2).
Интеграл,71 принимает вид 111 .11 = — 2 11'1116 л62116з 6(1 — 6 — 62 — 6з) П(р' — г)2+ дг)6 + Нр — г)2+ дг)62+ Тг — рг — 10)Ыз 000 Интегрирование по бо устраняет б-функцию; приведя подобные члены в знаменателе, получим 11 — 22 ЗЗ2 ЗВ зВ ( (дг(дг + дг) + рг(2д1 + 2дг — 1) — 2Г(д1 р' + дгр) + Гг — 10)з о о Введя вместо Г новую переменную (с = 1' — С1р' — С2р, сведем интегрирование по Г( 1 к интегралу вида ~зег 2 =1 †, (122 пг 00)3,103 ' так что ,)1 = 11 — Ег -' |' I' 1111 д62 2,/,l (рва + 622 2д1 2дг Р 1) -Р 26162рр' — 62(дг + дг) — 10)згг 0 0 Вместо 51 и С2 вводим симметричные комбинации: Гп = ~1+~2, у = = С1 — С2. Интегрирование по у (в пределах от О до т) элементарно РАссеяние ВО ВтОРОм БОРнОВскОм НРивлижении 597 1 121 и дает 2Ф~ [ Ьхг — 22 + 1 — — х — 201 Г(1 — х)2 — — х — 20] 2 + где Ь = 1 11 = совз —.
2рг 2 Для вычисления интеграла по х при д — г О разбиваем область интегрирования на две части: 1-62 1 — 6, В первом интеграле можно полгожи гь д = О; тогда ') 1 — 62 1 — 6, ... с(х= 1 (1 — х) 1 ( Я 1и 1п — '+ Йг . 2(1 — Ь) Ьхг — 2х -Ь 1 — 20 О 2(1 — Ь) ( 1 — Ь о Во втором же интеграле можно положить х = 1 везде, кроме члена (1 — х)2, а также положить д = О в первой скобке знаменателя. Тогда ') 62 1 ггх (х'2 — 62/рг — го) ж н 1 — 6', бгг р! 2 г1х . / ггх (х'2 — 62гг~ф) 2( (б'/~2 — х") 1 ~ 2)р)61 При сложении обоих интегралов величина дг, как и следовало ожидать, выпадает, и получается 71 2 1п( В1п ) ° г гг г'2(р) .
01 (121.16) 2(р!гг В1и (01'2) 6 2 ')Правило обхода (член 20) позволяет определить изменение аргумента выражения нод знаком логарифма при нереходе от 0 к 1 — бг. Ири обходе точки ветвления снизу аргумент меняется от 0 до -гг. ) И здесь правило обхода определяет знак корня нри переходе от положительных к отрицательным значениям подкоренного Выражения. 598 Гл. хп РЛДИЛЦИОННЫЕ ПОПРЛВКИ Интеграл!,12 вычисляется аналогичным образом и равен г!' ~1 — В!В(В(2)~ 'ггг ,72 = 11 у в у 1и вш —. 1121.17) 4)р(2 сопг — яп — 2)р(2 сап!в 2 2 2 Остается подставить эти выра>кения в 1121.14),1121.15), и мы получим окончательные результаты: 1 ~2) = "'~",(1-.1 -')1', (121.
18) ЩЗ В;П 2 в в яп' — 1п яп— 2Хагп!р~ (121.19) сг ( '2): ,2 2 1 — и'яп - ! савв 2 2 (И'. А. МВКт1гу, Н. РевМасЬ, 1948; Н. Н. Ра1212, 1950). В первом борновском приближении сечения рассеяния электрона и позитрона 1в одном и том же внешнем поле) одинаковы. Во втором приближении эта симметрия исчезает. Для рассеяния позитрона 1заряд +~е~) амплитуда первого приближения 1121.6) имеет обратный знак, знак же Му, не меняется.
Поэтому сече- 69 пие 24а!~) г представляющее собой интерферепционный член между Му и Му., изменит знак. То же самое произойдет и с вы- Ю гг уг раженнем 1121.19) для вектора поляризации. Вообще, переход от формул для рассеяния электрона к формулаъ! для рассеяния позитрона можно произвести формальной заменой Я вЂ” Э вЂ” Е. 8 122.
Радиационные поправки к рассеянию электрона во внешнем поле Перейдем к вычислению радиационных поправок к рассеянию электрона во внешнем поле (Х ЯГЬгогпуег, 1949). Соответствующая часть амплитуды рассеяния изображается двумя диаграммами 1121.2). Диаграмма а дает в амплитуду вклад — 1й у и) Р1 †с1 ) еФ(с1), где Р1 — с12) — поляризационный оператор, отвечающий петле в диаграмме. Вклад диаграммы б: — 1й Л и)еФ1с1)г где Ло — поправочный член в вершинном операторе 1Ги=З" +Л"); 599 1 гвг РАДИАЦИОННЫЕ ПОПРАВКИ К РАССЕЯНИ1О согласно (116.6) Ао ог>г( 2) 11 ~ ол 2гп Сложив оба вклада, получим ') ЛХу,.
= — (й У кар и)еФ(с1), (122. 1) б,)~. (Ч) = П вЂ” Ч') — 1 — — )з(-Ч2) + — 8( — Ч2) И Чз 2т Обсудим прежде всего вопрос об инфракрасной расходимости, содержащейся в формфакторе у( — с1 ), .а тем самым и в амплитуде рассеяния (122.1). Уже было указано (см. 2 98), что точная амплитуда чисто упругого рассеяния сама по себе равна нулю, т.
е. не имеет смысла. Физическим смькьтом обладает лишь амплитуда рассеяния, определенного как процесс, в котором может быть испущено любое число мягких фотонов с энергией каждого, меныпей некоторого заданного значения о> „, удовлетворяющего условиям применимости теории излучения мягких фотонов. Другими словами, имеет смысл лишь сумма М с)п = сигу„р+ псгу р с)ты+ «с'ущ> — / пп>м, с)ти, + ..., о о о (122. 2) где с)гг „„сечение рассеяния без испускания фотонов, Йю дифференциальная вероятность испускания электроном фотона частоты о>.
При этом предполагается, что сЬ „р само вычисляется в виде ряда теории возмущений, т. е. в виде разложения по степеням сг ') . Тогда после сведения вместе членов каждого порядка по гх из всех слагаемых в (122.2) мы получим агу в виде разло>кения по сн каждый из членов которого будет конечным. В первом борновском приближении с)сг „р гт2. Этот член, естественно, имеет смысл сам по себе. Если же мы хотим учесть следующую поправку в Йт „р (член сг ), то наряду с ней надо взять также и второй член в сумме (122.2); поскольку дго, сх, при умножении на Нгг пр ст отсюда тоже возникает величина 2 ') При преобразовании надо помиитгч что если ее = (О, Ч), то ел = (О, — Ч)! Поэтому о 'д = — Г Чз.
>) Что касается вероятности Ню ., то необходимость учета радиационных поправок в ней зависит от ь>„„; предел ь> -> О отвечает классическому случаю, в котором радиационные поправки исчезают; поэтому выбором достаточно малого ы„„можно всегда сделать их малыми. 600 РАДИАЦИОНИЫВ ПОПРАВКИ Гл. хп оз.
Покажем, что при сложении этих двух ве.личин инфракрасная расходимость устраняется. Расходящийся член в формфакторе 1 согласно (117.17) имеет вид ') Соответствующий член в амплитуде (122.1); — Г1п — (й'у и)еф(с1), 2 Л а в сечении рассеяния (121.5): ! сстиифра оп" 1гс и1 ~йс.уои~2~еф(с1)~2 Л 16из Сравнив это с борновским сечением Йт~ ) = ~й у и~ ~еф(ч)~ найдем,что сСст""фР" = — ссР 1п ™ с1171 Л (122.3) С другой стороны, второй член в (122.2) с 1 суи1 из (120.11) дает о1ссупр Йю„, = стР 1и '" суст(~) . (122.4) Л о Наконец, сложив (122.3) и (122.4), получим д (ц.
27(~ч~11п 1п 'А 2ш/ 2ы„„, (122.5) ') В этом легко убедиться, использовав соотношение ~ч1 1 — 6 т Я между ~Ч~ и переменной б, с помощью которой написана формула (117.17). Мы видим, что расходящийся вклад от мягких (~1с~ Л) виртуальных фотонов действительно сокращается с вкладом излучения таких же реальных фотонов. Та же ситуация имеет место в любом другом процессе рассеяния.
В то же время появляется зависимость сечения рассеяния от сдша,. Эта зависимость следствие того, что величина щшак, входит в самое определение рассеяния как процесса, в котором может быть испущено любое число мягких фотонов. Естественно, 601 1 122 РАДИАЦИОННЫЕ ПОПРАВКИ К РАССЕЯНИЮ что сечение такого процесса будет тем мепыпе, чем ниже предел ып,дх частот фотонов., непускание которых мы егце относим к данному. процессу рассеяния.
Найдем теперь полное выражение для радиационной поправки к сечению рассеяния. Поступая по сгандартным правилам (см. (65.7)), находим для сечения, усредненного по поляризациям начального и просуммированного по поляризациям конечного электронов: й = йа~0 + ОРА = ~ЕФ(с1) ~ 8р(( ур + си)( / + у с2р,д)(ур+ т)(у +с2р,д у )1 —,. (122.6) Согла2 но (122.1) сАРАд — — а+57с1, ар, — — 7 с2 р, У = а,+6"Ус1, — а а = ~( — с1 ) — 1 — — Р(-с1 ), 6 = — 8(-с1 ). 2 2 1 2 ч' 2П2 С точностью до членов, линейных по и и 5, след в (122.6) равен — Бр1...
1 = 2(е~ — ч ) (1 + 2а) — 26гт~~. 4 Л 4/ Поэтому йЪ, = 2 Я вЂ” с12) — 1 — — Р( — с12) — ~ д( — с1~) /1 0)2 чг 422 — Ч2 (122. 7) где Ы ~ борновское сечение рассеяния неполяризованных электронов (80.5), :формфактору /" приписан индекс Л для напоминания о том, что он «обрезан по массе фотона Л2К Остается прибавить к (122.7) сечение испускания мягких фотонов. Если представить /Л в виде /л( — с12) = 1 — — Е( ~ 1 1п — +с2Рг, (122.8) 2 ~гш/ Л то согласно (120.11) это добавление сведется к замене в (122.7) /Л на /' „„„ = 1 — — Е ( — ~ 1п + — Р2 + гсвг. / ~ч~ Л О 2 2П2 2~2 А 2 С этой заменой (122.7) дает окончательный ответ. 602 Гл.
хп Рлдилционнык !1Опрлвки Отметим, что в яерелятивистском пределе ') 7; „,„, = 1 — ~ (1п + — ), с12 << тз. (122.10) Обратим внимаяие на то! что специфика внешнего поля входит в радиационную поправку к сечению только через посредство !1!!11); множитель же в фигурных скобках в (122.7) имеет универсальный характер.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
