IV.-Квантовая-электродинамика (1109681), страница 115
Текст из файла (страница 115)
23). Ее границей является кривая И вЂ” 4т (в+1) = 0 с асимптотае1и 6 = 4т и 1 = 4гп2. Дисперсионные соотношения в форме (126.5) и (126.8) еще не учитывают условий перенормировки, и при буквальном их применении интегралы оказались бы расходящимися и требовали бы регуляризации. Условие перенормировки для амплитуд М(в, 1) заключается в требовании М(0, 0) = О. (126.20) Действительно, амплитуда рассея- 4»п ния фотона на фотоне должна обраП1ат! ся В нуль, когда к1 = к2 = кз = 4 = й6 = 0 (а потому и В = й = 0), поскольку й = 0 озна1ает постоянный во времени и пространстве потенциал, которому не отвечает никакое физическое поле (мы еще обсудим это условие более детально в следующем параграфе). Для автоматического учета этого условия надо написать дисперсионное соотношение «с вычитанием» (подобно переходу от (111.8) к (111.13)).
Мы придем к такому соотношению естественным образом, произведя сначала тождествегшое преобразование соотношения (126.8) с помощью тождества гл. хп 626 РАДИАЦИОННЫЕ ИОПРАВКИ Подставив его в подьштегральное выражение в (126.8), получим ~~ А,1', Г')л.'лГ' --ll ("- И вЂ” »' -.! (8-8) + + ',1 а(")"'+С, / Π— к)н где У( ) = —,' ')а71, а(1) = — '~','~)4,', С= ' /'/'"~'')А ж ЛГ,/,/ 8 ЧУ Последние равенства, однако, имели бы смысл лишь при условии сход1лмост17 всех интегралов. В противном же случае функциям ~(8), ф1) и постоянной С должны быть предписаны заранее заданные значения, соответствующие условию перенормировки. Именно надо положить С = О, /(8) = А~,,(8, 0), ф1) = АГГ(0, 1)7 где Ап — мнимая часть М(8,1), появляющаяся при увеличении 8 и и заданном малом 87 подобно тому как А», мнимая часть, появляющаяся при увеличении 8 при заданном малом +.
Пер о. пр из этих равенств очевидно; С = М(0,0) = О. Второе (и аналогичным образом третье) следует из сравнения равенства ' /'/(")" 7Г / 78 — 8)8 с однократным дисперсионным соотношением (126.5), написанным «с вычитанием», отвечающим условию (126.20)1 М(„1) = ' (" 1'' '),Ь. (126.21) 7Г / '18 — 8)8 Таким образом, окончательное двойное дисперсионпое соотношение «с вычитанием»: Г' 1 1 (8' — 8ИГ-' — П8ч' / А1,78', 0) 87 7 1 / А17(0, 1') 187 7126 22) 7Г / (8 — 8)8 Л / Π— 8)Г Если значения 87 й сами лежат в области инте1 рирования, то интегралы (126.2Ц,(126.22), как всегда, надо понимать как предел при (126.23) 8 — 8 8 + 10, 1 — + 8 + 70 627 1 127 РАСОВЯНИВ ФОТОНА НА ФОТОНЕ 9 127. Рассеяние фотона на фотоне 14 744 9 9-94 9-92 р д — 94 — Фе кв йз (127.1) и еще три диаграммы, отличающиеся от этих лишь изменением направления обхода внутренней электронной петли.
Вклад этих последних совпадает с вкладом диаграмм (127.1), и потому полная амплитуда рассеяния М . = 2(М(а) + М(б) + М(вз) (127.2) где М~в14 М~о~4 М~в~ вклады диаграмм а, б, е. Согласно (64.19) сечение рассеяния 1 ~ ~2 до' (127.3) где до' -. элемент телесных углов для направления 1с' в системе центра инерции. Угол рассеяния в этой системе обозначим через Й.
Инвариантные амплитуды. Выделив поляризационные множители четырех фотонов, представим Меч в виде Л Р Р* Р 4,4 МП = е1с2 еэ еи Мл„вр. (127.4) ') В предольном случае малых частот этот процесс был впервые рассмотрен Эйлером (Н. Еи1ес, 1936), а в ультрарелятнвнстском случае А. И. Аиивзервм 11937). Полное решение задачи дано Карплусвм н Нойманом сл, Котр1ив, М, Евип4апп, 1951). Рассеяние света на свете (в вакууме) является специфически квантовоэлектродинамическим процессом; в классической электродинамике оно отсутствует из-за линейности уравнений Максвелла ') .
В квантовой электродинамике рассеяние фотона на фотоне описывается как результат рождения двумя начальными фотонами виртуальной электрон-позитронной пары и последующей аннигиляции этой пары в конечные кванты. Амплитуда этого процесса (в первом неисчезающем приближении) изображается шестью 4 квадратными» диаграммами со всеми возможными относительными расположениями их четырех концов.
Сюда относятся диаграммы 628 РЛДИЛЦИОННЫЕ ПОНРЛВКИ Гл. Кп Млрир(Л!1, Л2, — !434 — !44) будет симметричен по отношению к любым перестановкам четырех аргументов вместе с одновременной такой же перестановкой его четырех индексов. В силу калибровочной инвариантности амплитуда (127.4) не должна меняться при замене е 4 е+ сопв1 й. Другими словами, должно быть Л !! ~1 МЛИра ~2 МЛррР (127 5) Как легко сообразить, .отсюда ! тедует, в частности, что разло- жение тензора рассеяния по степеням 4-импульсов Й1, Й2, должно па 1ипаться с членов, содержащих четверные произведе- ния их компонент. Тем самым во всяком случае МлрРр(О, О! О, О) = О.
(127.6) Для конкретного выделения инвариаптных амплитуд целесообразно, однако, с самого начала выбрать определенную калибровку 4-векторов поляризации е — калибровку, в которой с~1 — — (О, е1), е2 — — (О, ез), (127. 7) Тогда М74 = М4ь1те11езьез1е4 (127. 8) Где М4ыт, трехмерный тон;1ор. В качестве двух независимых поляризаций выберем для каждого из фотонов круговые поляризации с противоположными направлениями врагцения, т, е, два спиральных состояния со спиральностями Л = ~1. После этого тензор М!и можно представить в виде Мгь!т = ~~~, Мл,л,л.л4е1, езь ез1 е4, ' (127.9) (Л!)4 (Л!)4 (Лз) (Л4) Л!Лзлзл4 16 величин МЛ,Л.,Л,Л4 являются функциями от з, Х, и и играют роль инвариантных амплитуд;.
не все они, однако, независимы. Величины Мл,лзл,л, тРехмеРные скалЯРы. ПРостРанственная инверсия меняет зйак спиральностей; инвариантные гке переменные з, ~, и остаются неизменными. Поэтому требование 4-теп;1ор Мл„,р (его называют те14зорол4 россеяятя, фотона нн фотоне) функция 4-импульсов всех фотонов. Если написать аргументы функций со знаками, отвечающими одинаковым направлениям внешних концов диаграммы, то в силу симметрии совокупности диаграмм (127.1) очевидно, что тензор 629 127 РАОСКЯ«НИК ФОТОНА НА ФОТОНЕ Р-инвариантности приводит к соотношеяиям МЛ,Л»Л»Л,(н, 15 и) = М Л вЂ” Л вЂ” Л вЂ” Л (в, 14 и). (127.10) Обращение времени переставляет начальные и конечные фотоны, не меняя их спиральностей; переаленные н, 7О и снова остаются неизменными.
Поэтому требование Т-инвариантности приводит к равенству МЛ,Л»Л,Л4(н 1 н) = МЛ,Л,Л,Л»(в 1 и). (127.11) Наконец, еще одно соотношение является следствием инвариант- ности амплитуды МХ4 относительно перестановки двух начальных нли двух конечных фотонов. Если произвести сразу обе перестановки (Й1 «-» Й2, Йз Р» йа), то переменные в, 1, и не изменятся, а перестановка в поляризационных индексах приведет к соотношению МЛ,Л»Л,Л.(в5 Х и) = МЛ,Л,Л,Л»(в41 14). (127.12) Легко убедиться, что в силу свойств симметрии (127.10)--(127.12) число независимых инвариантных амплитуд сводится к пяти; в качестве них можно, например, выбрать М,, ~5 М, 4 М~,5 М| 1, М,, (индексы «+ 5, « — » означают спиральности +1 и — 1).
Если подставить в (127.3) вместо МХ, одну из амплитуд МА4А,Л»А«, то мы получим сечение рассеяния с заданными поляризациями начальных и конечных фотонов. Сечение же, просуммированное по конечным и усредненное по начальным поляризациям,получится заменой ~2 +,,«4(2~М ~г+ 2~М Р+ 2~М ~2+ + 2(М««)2 + 8(М«, «)~). (127.13) Соотношения симметрии (127.10) — (127.12) связывают между собой различные инвариантные амплитуды как функции одних и тех же переменных. Дальней«пие функциональные соотношения возникают как следствие перекрестной симметрии (см. ~ 78) 4 если учесть, что амплитуда МХ4 во всех каналах описывает одну и ту же реакцию (взаимное рассеяние двух фотонов) и потому не должна меняться при переходе от одного канала к другому.
Переход от в-канала (которому отвечает направление стрелок на диаграммах (127.1)) к 7-каналу осу.ществляется перестановкой 4-импульсов Й2 и — Йз (т. е. заменой переменных а «-> 1) и перестановкой индексов спиральностей Л2 «э — Лз. Аналогичным 630 РЛДИЛЦИОННЫЕ ПОНРЛВКН Гл. хп образом, переход от в- к и-каналу осуществляется перестановкой )са и — к« (причем и еэ и) и заменой Ля «-> — Л4. Это приводит к соотношениям М« (в, 8, и) = М««тт(иэ 1! в), М«т(з, 1, и) = М« тт т(1, л, и), Ме ьт«(з, 1, и) = Мттт ь(а! и, 1), (127.14) М«.«(гч 1, и) и М««т полностью симметричны по переменным з, 1, и ').
11озтому достаточно вычислить лишь 3 из 16 амплитуд, например, Интегралы (126.4) логарифмичсски расходятся. В соответствии с условием (127.6) их регуляризация осуществляется вычитанием значения при )41 = й~ = ... = О а) . Вычисление регуляризованных интегралов, однако, чрезвычайно громоздко. Наиболее естественный путь для вычисления амплитуд рассеяния фотона на фотоне основан на использовании двойного ) Здесь учтена также симметрия по отношению к паре конечных фотонов. Поскольку три переменные в, й и не независимы, достаточно было бы писать два аргумента (например, два первых); мы сохраняем все три лишь с целью более ясного выявления симметрии их перестановок.
) Отметим, что при суммировании вкладов всех диаграмм расходящиеся части интегралов сокращаются. В этом легко убедиться, заметив, что асимптогический (при а — 1 со) вид интеграла есть 14 Мл„'., «х / ВрЬлЬч)з ЬчУу,Ьч)у'Ь0)) (аа)4 По«ле усреднения по направлениям д (ср. (131.10Ц след легко вычисг!яется Соотношения (127.10) (127.12), (127.14) относятся к полным амплитудам .- суммам вкладов всех трех диаграмм (127.1). Но сами зти вклады связаны между собой соотношениями, очевидными из сравнения диа! рамы, '1ак, диаграмма б получан1си из ДИаГРаММЫ а ЗаМЕНОй йа «-У вЂ” Й4, Еэ +Ф Е4, И ПОТОМУ ИХ ВКЛаДЫ в инвариантные амплитуды получаются друг из друга заменой переменных я 44 и и индексов Лз 44 — Л4; аналогично вклад диаграммы е получится из и заменой 1+4 и, Лз еэ — Л4.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
