IV.-Квантовая-электродинамика (1109681), страница 116
Текст из файла (страница 116)
Вычисление амплитуд. Интеграл М,, отвечающий диа1а) грамме (127.1,а), имеет вид (126.4), причем 4 В ~') = —, БР( ( Уе«) (Уг) — Уйз + т) ( Уея) ( У«У + ш) х х ( уе4)(у«у — у14+ т)(уев)(уд — у)1 — -указ + т)). (127.15) 631 1 127 РАСОВЯННК ФОТОНА НА ФОТОНЕ 12 се '= 1 =ч =т: 1~А = (д — Й1 — Й2) = гп; (127.16) эти равенства можно учитывать уже при вычислении следа (127.15). Но для дальнейшей подстановки в (126.22) нам фактически требуется значение А1,~ лишь при 1 = О.
(Это равенство означает, что 1с = 1с' и Й2 = Йа.) Тогда интеграл (126.6) п1>инимает вид (127.17) 4 2 а 1 ((а — Йа)а — ггла]л (ср. вывод (115.10)). Введя угол д между с1 и 1с, получим (д — Й2) — т = — 2оз(1 — (с1) сов д) = — Туз ~1 — — в — 4тй сов д) . 2 2 1 2 Интегралы (127.17) фактически выражаются через элементарные функции. Вычисление же функции А2 (з, 1) согласно се 1а) определению (126.18) вообще не требует интегрирования, при этом выражение для В1а1 должно быть взято для значений 9 из (126.15), удовлетворяющих, помимо (127.16), также и условиям (д — Й2) = т , (д — ЙА) = т . После вычисления функций А1„А1м А2 дисперсионное соотношение (126.22) дает амплитуду непосредственно в виде одно- и двукратных определенных интегралов.
Приведем здесь окончательный результат для трех инвариантных амплитуд, достаточных, согласно сказанному выше, для и дает Ча ' Суммирование по диаграллмалл означаот симметризацию этого выражения по индексам Л, р, и, р, н результате чего оно обращается в пуль. Подчеркнем, однако, что зто сокращение имеет в известном смысле случайный характер и не устраняет необходимости регуляризации,хотя анан сводится при этом к вычитанию конечной величины.
дисперсионного соотношения (В. 17е 7'ОПЫ, 1964). Этот метод наиболее полно учитывает симметрию диаграмм и почти полностью исключает трудности интегрирования. ФУнкЦиЯ Ага (э, 1) (и аналогично Аи ) ДлЯ кажДого заДан(а1 (а) ного набора спиральностей Л1, Л2, Лв, Л,1 вычисляется согласно (126.6).
Ввиду наличия под интегралом двух б-функций нам нужно знать значение В(а) лишь при 632 Рлдилционные попРлаки гл. Хп определения также и всех остальных амплитуд '): аЛХ4 тт, — — — 1 — (2+ — ) В(1) — (2+ — ) В(и)— — ( — -~ [Т(1) + Т(и)] + — (1 — -) 1(в, 1) + 4 ( 2) 1( ) (2(124-гг~) 16 4 4 8~ (127.18) —,М4 тт — — 1+ (-+ — + — ) [Т(в) +ТЯ + Т(и)]— 1 11 1 11 8ае е 1 и — 4( — + — )1(в,1) — 4( — + — )1(в, и) — 4( — + — )1(1, и), 1 М4 т — — 1 — — 1(в, 1) — — 1(вг и) — — 1(1, и). 8 8 8 аког и еа Здесь введены следующие обозначения: В(в)= 1 — — АгаЬ ' — 1, в<0, — 2 Т(в) = (АРЕЬ вЂ” ') г в < О, 1 1(в, 1) = — 1 " (1п[1 — гΠ— 89(1 — у)] + 1 др р(1 - р)— о вг (127.19) ') Некоторые детали прсобра:гоааний интегралов, различные прсдстааления трансцендентных функций В., Т, 1 и их предельные аыражеаия — см.
Ре Тойм В.О74пого Сппепго. — 1964. ГД 32. - Р. 757; 1965. -17. 35. -.Р. 1182; Сонапйаг Г, Ре 7оИгг В., Ргггоги С./151пото С1паепго. —. 1971. — . Ъ". 2А. — Р. 733. + 1п[1 — 10 — гд(1 — У)]). выражения же в областях 0 < в < 4 и в ) 4 получаются из (127.19) путем аналитического продолжения по правилу в — г в+ + гО, т.
е. через верхнюю полуплоскость этих переменных. (Для упрощения записи в формулах (127.18),(127.19) г и только в нихг буквы в и 1 обозначают отношения в/т21 1ггт2.) Сечение рассеяния Предельному случаю малых частот (аг « т,) отвечают малые значения переменных в, 11 и. Первые члены разложения инвариантных амплитуд по этиал переменным: 11е' 2 11е' 2 11е 2 Мт,ьт- в, Мт л- 1, Мт т — и, ,1ог„4' 4осп~4 4огп4 4 (127.20) ЛХт4. — — (в +1 +и ), Мттт -О. 151п4 633 1 127 РАОСГВЯНИВ ФОТОНА НА ФОТОНЕ Подставив эти выражения в формулу (127.3), получим сечения рассеяния поляризованных фотонов.
Дифференциальное же сечение рассеяния неполяризованпых фотонов вычисляется согласно (127.13) и равно (в обычных единицах) г1сг = сх г (3+ сов В)г1о, (127.21) 4хгг90)г с а полное сечение ') сг = сг г, ~ —,) = 0,031о г„, ~ — ), ))сс << тс . 973 2 2 7 аьг 1 2 2 7 Ьгс 1 2 10123х гвсв Е пгсе (127. 22) В обратном, ультрарелятивистском случае полное сечение рассеяния неполяризованных фотонов ') сг = 4, 7сг' ( — ), бог» гпс2. (127.23) Наконец, укажем дифференциальное сечение рассеяния на малые утлы в ультрарслятивистском спучас; (127.24) гвыэ 0 гггс Это выражение справедливо с логарифмической точностью следующий член разложения содержит на единицу меньшую степень большого логарифма.
Для перехода к пределу д = 0 (рассеяние вперед) формула (127.24) непригодна. Вместо нее имеем здесь Г1ГТ = — 1П4 — "э Г4О, й « — '. (127.25) хв| ~э гвсв йьг Выражение (127.25) легко получить с помощью общих формул (127.18), положив в них 1 = 0 и заметив, что при а» 1 наиболее высокую (вторуго) степень большого логарифма содержит лишь функция ',тэ/ 4 тэ пг С этой точностью отличны от нуля лишь амплитуды Мэтт т — — М = Мт з. = — 16е 1п (ог/т). Мы видим, в частности, что в этом слу гае поляризация фотона при рассеянии не меняется.
) При переходе от гн к сг надо ввести множитель г7г, учитывагощий тождественность двух конечных фотонов. ) К происхождению этой зависимости и от ы мы еще вернемся в конце 3 134. РЛДИЛЦИОИНЫЕ ПОПРЛВКИ Гл. Кп 1040 10-' На рис. 24 изображен график зависимости полного сечения рассеяния от частоты (в логарифмической, по обеим осям, шкале). Сечение убывает в сторону как малых, так и больших частот и достигает максимума при 14В4 — 1,5гисз.
Излом кривой 10»всм при Г!Ли = н4с отражает из- э 100 менение характера процесса В СВЯЗИ С ПОЯВЛЕНИЕМ ВО1- можности образования реальной электронной пары. 10-' Случай малых частот. В случае малых частот (0В « « т) амплитуду рассеяния фотона па фотоне можно получить также и совсем иным Гк»7ш« способом, исходя из попра- вочцых членов в функции Лагранжа слабого электромагнитного поля (см, ниже, 0 129). Малая поправка к гамильтониану взаимодействия Ъ отличается лишь:знаком от малой поправки к лагранжиану. Согласно (129.21) имеем Ъ" = — ~(Š— Й ) + 7(ЕЙ) ) !4~и.
(127.26) Поскольку этот оператор.—. четвертого порядка по полю, оп имеет матричные элементы для интересующего нас перехода уже в первом приближении. Для вычисления надо подставить в (127.26) Е= — —, Й=гоЪА, (127.27) А = ъ'44Г~ (силеиле ' ' +~силекле ) ИЛ (Л номер поляризации), после чего элемент Я-матрицы вычисляется как Я1 — 1 (! ! Ъ Г" ' ~ 1 ) — 1(0)с44«л»с!44 л« Ъ Ж Г14 Л с~.х« ~0) (127.
28) (ср. 0 72, 77). При нормировке А, как в (127,27) ! амплитуда рассеяния М7, непосредственно определяется ио Ьу, со11пасно .07; = г(24Г)401~1(ГГз + Й4 — Й1 — Ит)М74 (127.29) (ср. З 64). Среднее значение в (127.28) вычисляется по теореме Вика с помощью (77.3)! причем свертывать надо, разумеется, только «внеп1ние» опеРатоРы сил, сил с внУтРенними А. 4 128 кО1 еРен'ГнОВ РАссеянив ФОТОНА В ПОгге г!ДРА 9 128. Когерентное рассеяние фотона в поле ядра гает-4 гт Г, ~ — ) гЬг Ог<<нг.
пг (128.1) Зависимость от частоты находится, разумеется, в соответствии с общими заключениями 3 59. Коэффициент в (128.1) нельзя вычислить с помощью функции Лагранжа однородного электромагнитного поля (как это можно было сделать для рассеяния света на свете). Причина заключается в том, что в данном процессе существенны расстояния от ядра г 1гт, на которых поле ядра нельзя рассматривать как однородное. Приведем результат точного расчета: г1г74 Ф вЂ” 41гг — 1, 004 10 (Яа) т ( — соь — 410, 4 (128.2) а, = 4, =8,81 10-4(К )4,')' — ") 81 4-'а. 'пг/ 2 ') См. Сомапапг 1А., Ре Тойм В., Ргегопг С.О14попо Сппепго.
-1971. - У. 2А. - Р. 733; Ве Тойге В., Виегвпо1г М., Ргегогп С.7/'"4иопо Сппепго. - - 1976.- УА 32А. — Р. 227. Другими (наряду с рассеянием фотона на фотоне) нелинейными эффектами, описывающимися квадратными диаграммами вида (127.1), являются распад одного фотона во внешнем поле на два фотона (и обратный процесс «слияния» двух фотонов в один) и рассеяние фотона во внешнем поле. Первому процессу отвечают диаграммы, в которых один из четырех внешних фотонных концов заменен линией внешнего поля.
Второму же процессу отвечают диаграммы с двумя внешними линиями реальных и двумя виртуальных фотонов. К последней категории относится, в частности, когерентное (упругое) рассеяние фотона в постоянном электрическом поле неподвижного ядра. В общем случае вычисления приводят к очень громоздким формулам (содержащим кратные квадратуры) ') . Мы ограничимся здесь лишь некоторыми оценками.
В силу требований калибровочной иявариантности амплитуда рассеяния при нг — 1 0 должна содержать произведения компонент 4-импульса начального 1Й) и конечного 1Й') фотонов (подобно тому как разложение амплитуды рассеяния фотона на фотоне начинается с четверных произведений компонент 4-импульсов всех фотонов). Другими словами, амплитуда рассеяния фотона малой частоты пропорциональна ш2. Учитывая также, что эта амплитуда содержит вне.шнее поле (поле ядра с зарядом Яе) во втором порядке, заключаем, что сечение рассеяния 636 Гл. хп РЛДИЛЦИОННЫВ ПО11РЛВКИ Индексы «+гг и « — Р обозначают здесь (как и в 9 127) спиральпости +1 или — 1 конечного или начального фотонов; 0 угол рассеяния в системе покоя ядра ( И Сов1ипХгпг, В.
11е ТНИгн, С. Ргв1опгг 1971). Для оценки сечения при высоких частотах воспользуемся оптической теоремой (см. 3' 71). Промежуточное состояние, фигурирующее в правой части соотношения унитарности, является в данном случае состоянием электрон-позитронной пары (ему отвечает рассечение диаграмм по двум внутренним электронным линиям между фотонными концами). Поэтому оптическая теорема связывает амплитуду упругого рассеяния фотона на нулевой угол с полным сечением образования пары фотоном в поле ядРа гти р, ОпРеделив амплитУдУ 7' 1ьгг О) РассеЯниЯ на Угол 0 так, чтобы сечение рассеяния было сЬ = ~)'~211о (ср.
(71.5)), будем имРТЬ 1ш,ггггьг 0) = оплр ° 4гг Сечение аилр отлично от нуля, разумеется, лишь при ы > 2т. В ультрарелятивистском случае, взяв гтп„р из (94.6)г получим ~п(ы) = 1ш 1(ыг О) = — (Хсг)~г,— ~1п — — — 1, ы >> т. (128.3) 9гг гп[ гп 421 Вещественная часть амплитуды рассеяния определяется по мнимой части дисперсионным соотношением. Это соотношение должно быть написано вгс одним вычитаниеыгг, т.
е. его надо писать для функции 7,гг (где 1 = ш2), поскольку при ы — г О амплитуда 7' сс ш (ср, с соотношением «с двумя вычитаниями» 2 (111.13) ) . Выделяя вещественную часть дисперсионного интеграла (для чего достаточно понимать интеграл в смысле главного значения) и перейдя от интегрирования по 1 = ш к интегрированию по ьг', имеем (128.4) 2гп При ы » пг в интеграле существенны значения ш' ьг » пг, так что для 1'п(иг') можно использовать выражение (128.3); при этом нижний предел интеграла можно заменить нулем. Гтгавное значение интеграла можно представить как полусумму интегралов по путям, проходящим по верхнему и нижнему берегам правой вещественной оси в плоскости комплексной переменной ьг', в свою очередь, эти пути можно затем повернуть в плоскости ьг' до совпадения соответственно с верхнсйг и нижней мнимыми ПОПРАВКИ К УРАВНЕНИ57М ЭЛЕКТРОМАГНИТНО!'О ПОЛЯ 637 1 122 полуосями.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
