II.-Теория-поля (1109679), страница 75
Текст из файла (страница 75)
Ее мировая линия при т — + со уходит в бесконечность, а при т — » — оо она должна асимптотически приближаться к г = гд, гюскольку в данной метрике внутри шварцшильдовой сферы движение может происходить лишь по направлению к центру. С другой стороны, продвижение частицы от г = гк до любой заданной точки г ) г происходит за конечный промежуток собственного времени.
11о собственному времени, следовательно, частица должна подойти к шварцшильдовой сфере изнутри прежде, чем начать двигаться вне ее; но эта часть истории частицы не охватывается данной системой отсчета') . Подчеркнем, однако, что эта неполнота возникает только при формальном рассмотрении метрики поля, как создаваемого точечной массой.
В реальной физической задаче, скажем, о коллапсе протяженного тела, неполнота не проявляется: решение, получающееся путем сшивания метрики (102.3) с решением внутри вещества, будет, разумеется, полным и будет описывать всю историю всех возможных движений частиц (мировые линии частиц, движущихся в области г ) гк по направлению от центра, при этом непременно начинаются от поверхности шара еще до его сжатия под сферу Швварцшильда. Задачи 1. Для частицы в поле коллапсара найти радиусы круговых орбит (С.А.
Каплан, 1949). Р е ш е н и е. Зависимость гго) для частицы, движущейся в шварцшильдовом поле, дается формулой (101.4) или, в дифференциальном виде, — = — [Ао — С (г)) (1) 1 — г (г сЖ Ао где (т — масса частицы, г, = 2йт'/с — гравитационный ралдус центрального тела с массой т ) . Функция У(г) играет роль «эффективной потенциальной энергии» в том смысле, что условием йо ) УЯ определяются (аналогично ')Построение системы отсчета, свободной от такой неполноты, будет рассмотрено в конце следующего параграфа. 421 1 192 ГРАВИТАЦИОННЫЙ КОЛЛАПС СФЕРИЧЕСКОГО ТЕЛА нерелятивистской теории) допустимые области движения.
На рис. 21 изоб- ражены кривые НЯ для различных значений момента частицы М. У,~те 0,943 Рис. 21 М2 2 2 2 Гг Гнет,, М2 Ь~ ГГА Г причем верхний знак относится к устой- чивым, а нижний — к неустойчивым ор- битам. Ближайшая к центру устойчивая круговая орбита имеет параметры ггге г = Згг, М = ъ'Зтстх, Зе = э28,19тсс. РО Минимальный радиус неустойчивой орбиты равен Зг (2 и достигается в пределе М э оо, 6о э оо. На рис. 22 изображена кривая зависимости г) гх от МДтсгх); ее верхняя ветвь дает радйусы устойчивых, а нижняя †неустойчив орбит 1 О' З МДт.,) Рис. 22 ) Напомним для сравнения, что в ньютоновском поле круговые орбиты были бы возможны (и устойчивы) на любом расстоянии от центра (радиус связан с моментом согласно г = М /(Ьп т ). Радиусы круговых орбит и соответствующие им значения Ао и М определяются экстремумами функции 1Лг), причем минимумы отвечают устойчивым, а максимумы — неустойчивым орбитам.
Совместное решение уравнений 17Я = Ао, У Я = 0 дает 422 ГЛ. Хп ПОЛЕ ТЯГОТЕЮЩИХ ТЕЛ 2. Для движения в том же поле определить сечение гравитационного захвата падающих на бесконечности: а) нерелятивистских, б) ультрарелятивистских частиц (Я. Б, Зельдович, И.Д. Новиков, 1964). Р е п1 е н и е. а) Для нерелятивистской 1на бесконечности) скорости о энергия частицы йо тс .
Из кривых рис. 21 видно, что прямая вй = гас лежит выше г 2 всех потенциальных кривых с моментами М < 2тст, т.е. с прицельными расстояниями р < 2сте7и . Все частицы с такими р гравитационно захватываются: они достигают (асимптотически, при 1 — г оо) шварцшильдовой сферы,не уходя снова на бесконечность. Сечение захвата: ег = 4ктг ( — ) о б) В уравнении 11) задачи 1 переход к ультрарелятивистской частице (или к лучу света) осуществляется заменой т э О. Введя также прицельное расстояние р = сМ/вш получим 1 Й р рте 2 г 1 — те/т сЖ т т Границы движения по т (точки поворота) определяются нулями подкоренного выражения. Как функция от р они изображаются кривой на рис.
23; возможным движениям отвечает незаштрихованная часть плоскости. Кривая имеет минимум в точке 12 3 4 5 6т7тв г 3чтз з т= -тю Рис. 23 2 ' 2 При меныпих значениях прицельного расстояния частица не встречает точки поворота, т. е. проходит к шварцшильдовой сфере. Отсюда сечение захвата 27 11 = — ггт е. 4 3 103. Гравитационный коллапс пылевидной сферы Выяснение хода изменения внутреннего состояния коллапсирующего тела (в том числе в течение процесса его сжатия под шварцшильдовой сферой) требует решения уравнения Эйнштейна для гравитационного поля в материальной среде. В центрально-симметричном случае уравнения поля могут быть решены в общем виде в пренебрежении давлением вещества, т.е.
для уравнения состояния впылевиднойв материи: р = 0 (Гь. ТО1тап, 1934). Хотя такое пренебрежение в реальных ситуациях обычно недопустимо, общее решение этой задачи представляет заметный методический интерес. Как было указано в 397, пылевидная среда допускает выбор системы отсчета, являющейся одновременно синхронной и 1 103 ГРАВИТАЦИОННЫЙ КОЛЛАПС ПЫЛЕВИДНОЙ С«»ЕРЫ 2тс Лтс 0 (103.5) где штрих означает дифференцирование по Л, а точка — по т. Уравнение (103.5) непосредственно интегрируется по времени, давая ы е 1+ДЛ)' (103.6) где ДЛ) —. произвольная функция, удовлетворяющая лишь условию 1+ 2«> О. Подставив это выражение в (103.2), получим 2«т+ тг — ~ = 0 (подстановка же в (103.3) не дает ничего нового).
Первый интеграл этого уравнения есть т = 1(Л) + —, 2 г'(сс) (103. 7) ) При этом требуется, чтобы материя двигалась «без вращения» (см. примеч, на с. 389) . Это условие в данном случае заведомо выполняется, поскольку сферическая симмметрия подразумевает чисто радиальное движение вещества. ) В этом параграфе полагаем с = 1. ) Ср, задачу 5 э 100. Уравнения (103.2) — (103.5) получаются соответствевно из уравнений (2) — (5) этой задачи, если положить в них и = 0 е" = г~, р = О. Заметим, что второе из уравнений (6) этой же задачи при р 0 дает и = О, т.е. и = и(г); оставшийся в метрике (Ц произвол в выборе т позволяет поэтому обратить и в вулсч чем снова демонстрируется возможность введения синхронно-сопутствующей системы отсчета. сопутствующей') .
Обозначив выбранные именно таким образом время и радиальную координату через т и Л, напишем сферически-симметричный элемент интервала в виде') сЬ~ = с(т — е~(г Н)с(Л~ — тг(т Л)(с(й~+ тйпг Оса~). (103.1) Функция т(т,Л) представляет собой «радиус», определенный так, что 2«гт есть длина окружности (с центром в начале координат). Форма (103.1) фиксирует выбор т однозначным образом, но допускает еще произвольные преобразования радиальной координаты вида Л = Л(Л ). Вычисление компонент тензора Риччи для этой метрики приводит к следующей системе уравнений Эйнштейна' ): — е ~т' + 2тй+ тг+ 1 = О, (103.2) — (2гти — т'Л') + — + Л + — + — = О, (103.3) г 2 — Л вЂ”, (2«тл+ т' — гт'Л') + —,(гтЛ+ т + 1) = 3«ГМЕ, (103.4) 424 ПОЛН ТЯГОТЕЮЩИХ 'ГЕЛ ГЛ. ХП где г'(Л) — -еще одна произвольная функция. Отсюда Г1г т=ш ,т+Г~г Получающуюся в результате интегрирования зависимость г(т, Л) можно представить в параметрическом виде Г Г г = — (сЬГ) — 1), то(Л) — т = — (НЬГ) — 3)) при у > О, 21 213,'3 (103.8) Г Г (1 соз 7)) те(Л) 'Г = 3 17) з1п11) при у ( 0 — 2( у)3!' (103.9) где те(Л) —.
снова произвольная функция. Если же у = О, то 9Г 1!З г = ( — ) ~те(Л) — т1 У~ при )' = О. (103,10) Во всех случаях, подставив (103.6) в (103.4) и исключив у с помощью (103.7), получим следующее выражение для плотности материи '): (103.11) Г! 83гйе = —,, г г ) Функции Г, 3', ге должны удовлетворять лишь условиям, обеспечивающим положительность е, г и е. Помимо отмеченного уже условия 1+ з" > О, л отсюда следует, что и Г > О.
Будем считать также, что и Г' > О, г' > О; тем самылг исключаются случаи, приводящие к пересечению сферических слоев веществ при их радиальном движении. 3) Из него выпадает, однако, особый случай, в котором г = г(т) и не зависиг от и, так что уравнение (103.6) сводится к бессодержательному тождеству; см. В. А. Рубаи)) ЖЭТФ. 1969. Т. 56. С. 1914. Этот случай, однако,не соответствует условиям задачи о коллапсе конечного тела.
Формулы (103.6) — (103.11) определяют искомое общее регпение') . Заметим, что оно зависит всего от двух чфизически различных» произвольных функций: хотя в нем фигурируют три функции у, Г, ТО, нО Сама кООрдината Л мОжЕт ЕщЕ быть пОдвергнута произвольному преобразованию Л = Л(Л'). Это число как раз соответствует тому, что наиболее общее центрально-симметричное распределение материи задается двумя функциями (распределение плотности и радиальной скорости материи), а свободного гравитационного поля с центральной симметрией вообще не существует. Поскольку система отсчета сопутствует материи, то каждой частице вещества отвечает определенное значение Л; функция 425 ГРАВитАциОнный кОллАпс пылеВиднОЙ стеРы ~ шз же г(т,гг) при этом значении гт' определяет закон движения данной частицы, а производная г есть ее радиальная скорость.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
