II.-Теория-поля (1109679), страница 73
Текст из файла (страница 73)
4. Преобразовать интервал (100.14) к координатам, в которых пространственная метрика имела бы конформно-эвклидов вид (т.е. Ж пропорциоз нально своему евклидову выражению). З 100 ЦентРАльнО-ОимметгичнОБ ггАВитАЦиОннОе пОле 409 Р е ш е н и е. Полагая т = р(1+ — 4) 4р получим из (100.14): зг г(з' = ( 4 ~ с'гй' — (1-~- з ) (г(р'-> ргйВ'+ р'з1п ВгурР). [1 + тз)(4р) 4р То = е, Тг — — Тг = Тз = р. о з Вычисление приводит к следующим уравнениям поля ) ай г 8кй 1 лгр" г д г..
1.. З,гл — о 4 4 Р ( Р ) с с 2 2 2 4 (2) 8кй г 8х1' 1 -л гг г гг — 4 Тг = 4 р= — е (2и +и +2р +р — РЛ вЂ” иЛ +Ни)+ с с 4 + — е (Ли+ ри — Лд — 2Л вЂ” Л вЂ” 2р — р ), (3) 1 ..... - .г 8кй г 1 -л 4 То — — 0= — е (2р +рр — Лр — ир) (5) с4 (штрих означает дифференцирование по Л, а точка по ст). Некоторые общие соотношения для Л, р, и могут быть легко найдены, если исходить из содержащихся в уравнениях поля уравнений Т,".„ = О. )Компоненты Вгь можно вычислять непосредственно как это делалось в тексте, или же по формулам., полученным в задаче 2 З 92. Координаты р, В, го называют изотропными сферическими координатами; вместо них можно ввести также и изотропные декартовы координаты х, у, ю В частности, на больших расстояниях (р» тз) имеем приближенно; г1з = (1 — — з)с г11 — (1+ — 4)(4х +г1у +41г ).
Р Р 5. Получить уравнения центрально-симметричного гравитационного поля в веществе в сопутствующей системе отсчета. Р е ш е н и е. Двумя возможными преобразованиями координат т, 1 в элементе интервала (100.1) воспользуемся для того, чтобы, во-первых, обратить в нуль коэффициент о(т,1) при г1т Ж и, во-вторых, обратить в каждой точке в нуль радиальную скорость вещества (остальные компоненты скорости вообще отсутствуют в силу центральной симметрии). После этого координаты т и 1 могут еще бытыгодвергнуты произвольному преобразованию вида т = т(тг ), 1 = 1(1') Обозначим выбранные таким образом радиальную координату и время через лг1 и т, а коэффициенты Ь, lс, 1 — соответственно через — ел, — е", е' (Л, р, и — функции В и т). Тогда для элемента интервала имеем г(з = с с 41т — е~гИ вЂ” е"(г(В 4-згп Вг1гр ).
(1) Компоненты тензора энергии-импульса равны в сопутствующей системе отсчета: 410 ПОЛЕ ТЯГОТЕЮЩИХ ТЕЛ ГЛ. ХП где обозначено р (р,г) = е~" Таким образом, р'(р,г) — гармоническая функция переменных р, г . Согласно известным свойствам таких функций это значит, что существует сопряженная гармоническая функция г (р, г) такая, что р + ге = Г(р+гг), где т' — аналитическая функция комплексной переменной р+ гг. Если теперь выбрать р', х' в качестве новых координат, то в силу конформности преобразования р, г — р р', г' будет ер(пр + 1ь ) = ер (Йр + пг ), где р~(р~,г~) некоторая новая функция. В то же время е" = р~ге "; обозначив 1р+ и = 7 и опустив далее все штрихи, напишем дэ в виде сЬ = е с п1 — р е 111р — с~ (ггр + 11г ).
(1) Составив для этой метрики уравнения Лег, Лгг — Лг г— — О, Лг г— — О, найдем — — (р — )~ —, О, 1 д ди дги рдр др д" (2) (3) Воспользовавшись формулой (86.11), получим следующие два уравнения: 2 ' Л+2д= —, и'=— (6) р -~- е р + е Если р известно как функция е, то уравнения (6) интегрируются в виде Л+ 2р = — 2~ + 1'1(Л), и = — 2~ + (г(т)> (7) 1" др р+е р+е где функции 11(Л) и уг(т) могут быть выбраны произвольным образом ввиду указанной выше возможности произвольных преобразований вида Л = Л(Л'), т = т(т'). 6. Найти уравнения, определяющие статическое гравитационное поле в пустоте вокруг неподвижного аксиально-симметричного тела (1!. И'су1, 1917 .
е ш е н и е. Статический элемент интервала в цилиндрических про- странственных координатах х = 1р, е = р, х = г ищем в виде г г 1(э = с" с г(1 — с сйр — е~(11р + дг ), где и, 1р, р — функции р и г; такое представление фиксирует выбор координат с точностью до преобразования р = р(р', г'), х = г(р', г'), умножающего квадратичную форму др~ -~- дг~ лишь на общий множитель. Из уравнений Ло — — — е "(2и р р + и р(и р -~- щр) -1- 2и..., + и,,(1,, + щ,)) = О, а 1 — р 4 Л1 — — — е Р(2иг р р + 1р р(и р + 1р р) + 2юил + и и (и, + щ,)) = О 1 р 4 (где индексы, р и, г означают дифференцирование по р и г), взяв их сумму, находим 101 движение В цен ГРАльнО-ОимметРичнОмГРАвитАциОннОм пОле 41 1 Отметим, что (2) имеет внд уравнения Лапласа в цилиндрических координатах (для функции, не зависящей от 12). Если зто уравнение решено, то функция у(р,с) целиком определяется уравнениями (2), (3).
Вдали от создающего поле тела функции и и у должны стремиться к нулю. й 101. Движение в центрально-симметричном гравитационном поле Рассмотрим движение частицы в центрально-симметричном гравитационном поле. Как и во всяком центральном поле, движение будет происходить в одной «плоскостиуч проходящей через центр поля; выберем эту плоскость в качестве плоскости д = яуУ2. Для определения траектории частицы воспользуемся уравнением Гамильтона — Якоби ив дд дд фу †, , — т с = О, дх* дх' где т масса частицы (массу же центрального тела обозначим здесь как т').
С метрическим тензором из (100.14) это уравнение принимает вид (1 — — ') (д ) — (1 — — ') (д ) — —,( д ) — с = 0, (101.1) где у. = 2т'Й,Ус2 гравитационный радиус центрального тела. По общим правилам решения уравнения Гамильтона — Якоби О = — бо1+ Мр + О,(т) (101.2) с постоянными энергией бо и моментом импульса М. Подставив (101.2) в (101.1), найдем производную «Б,уУ«Ь и затем '=/(~(- ) '-(-"" —,)(--,) ')"'' -" Зависимость г = РЯ дается, как известно (см.
1, 247), уравнением доуУддо = сопз1, откуда Траектория же определяется уравнением доуУдМ= сопэ1, откуда Этот интеграл приводится к эллиптическому. 412 ГЛ. ХП ПОЛН ТЯГОТЕЮ1ЦНХ 'ГЕЛ Для движения планет в поле тяготения Солнца релятивистская теория приводит лишь к незначительным поправкам по сравнению с теорией Ньютона, поскольку скорости планет очень малы по сравнению со скоростью света. В уравнении траектории 1101.5) этому соответствует малость отношения г /г, где гк гравитационный радиус Солнца ') . Для вьггисления релятивистских поправок к траектории удобно исходить из выражения 1101.3) радиальной части действия до его дифференцирования по М. Заменим переменную интегРиРованиЯ согласно Г1г — гк) = г'2, т.е.
à — гк(2 — г', в результате чего член с М под корнем примет вид М (г'~. В остальных же членах производим разложение по степеням тк(г' и получаем с требуемой точностью: 2, = ) ~(22' .,'- —,).,'- + -12т т'к + 4в."тгк) — —, (М вЂ” ')1 Г1г, 1101.6) где мы для краткости опустили штрих у г' и ввели нерелятивистскую энергию 6" 1без энергии покоя).
Поправочные члены в коэффициентах в первых двух членах под корнем отражаются только на не представляющем особого интереса изменении связи между энергией и моментом частицы и параметрами ее ньютоновской орбиты 1эллипса). Изменение же коэффициента при 1~Г~ приводит к более существенному эффекту — к систематическому 1вековому) смещению перигелия орбиты. дд, Поскольку траектория определяется уравнением 1р + — = дМ = сопв1, то изменение угла ~р за время одного оборота планеты по орбите есть ~1~р =— д дМ где 22 О'„— соответствующее изменение ОГ. Разлагая о'„по степеням малой поправки в коэффициенте при 1~г', получим 2 2 2 101 101 Зт с Гк д22д„ 4М дМ где Ьо', соответствует движению по несмещающемуся (0) замкнутому эллипсу.
Дифференцируя это соотношение по М и ') Для Солнца Г2 = 3 км; для Земли Гк = О, 9 см. 101движение В центРАльнО-симметРи |нОмГРАВитАциОннОм пОле 413 учитывая, что найдем зятл"сстк бя)т~тп~тл~ Второй член и представляет собой искомое угловое перемещение ду ньютоновского эллипса за время одного оборота, т. е. смещение перигелия орбиты. Выражая его через длину болыпой полуоси а и эксцентриситет эллипса е с помощью известной формулы М 71кт'тп ) = а(1 — е ), получим') бнет' з с а(1 — е ) (101.7) Далее рассмотрим путь светового луча в центрально-симметричном гравитационном поле.
Этот путь определяется уравнением эйконала (87.9) т)т 'р = т — з — — з(1 — — ) р т т (101.8) При пренебрежении релятивистскими поправками (тк -+ 0) это уравнение дает т = р/ соэ 1р, т. е. прямую, проходящую на расстоянии р от начала координат. Для исследования же релятивистских поправок поступим аналогично тому, как было сделано в предыдущем случае. Для радиальной части эйконала имеем (ср. (101.3)): ) Числовые значения смещения, определяемого формулой (101.7), для Меркурия и Земли равны соответственно 43,0л и 3,8" в сто лет. а' —,—, =о, ьдР дФ де' дев отличающимся от уравнения Гамильтона-Якоби только тем, что в последнем надо положить т = О.
Поэтому траекторию луча можно получить непосредственно из формулы (101.5), положив в ней т = 0; при этом вместо энергии частицы ее = — до/д1 надо писать частоту света ыо = — дф/д8. Введя также вместо постоянной М постоянную р согласно р = сМ/о10, получим 414 гл, хп ПОЛН ТЯГОТЕЮЩИХ ТЕЛ Производя такие же преобразования, которые служили для перехода от (101.3) к (101.6), получим ГР„1г) = — ~ 1+ — — —, Йг.
а~с 2г р~ С г г РазлагаЯ тепеРь поДынтегРальное выРажение Гю степенЯм гк7г, имеем с / Туге — ре с Р' где Гр, отвечает классическому прямолинейному лучу. Полное изменение Грг при распространении луча от некоторого очень болыпого расстояния Л до ближайшей к центру точки г = р и затем снова на расстояние В есть Ьфг = Ьф~о~ + 2 — '' Агсп —. с р Соответствующее же изменение полярного угла у вдоль луча полУчаетсЯ ДиффеРенЦиРованием по М = Ргсо/с: дЩ дГЦР 2гкй дМ дМ р „~де — р' Наконец, переходя к пределу Гà — + оо и замечая, что прямолинейному лучу соответствует 21ПР = л, получим 2гк Ьу = л+ —. Р Это значит, что под влиянием поля тяготения световой луч искривляется: его траектория представляет собой кривую, обращенную вогнутостью к центру (луч «притягиваетсяа к центру), так что угол между ее двумя асимптотами отличается от л на гк (101.9) р с р другими словами, луч света, проходящий на расстоянии р от центра поля, отклоняется на угол ЙРГ) .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
