II.-Теория-поля (1109679), страница 69
Текст из файла (страница 69)
Затем строим семейство нормальных к этой гиперповерхности геодезических линий. Если теперь выбрать эти линии в качестве координатных линий времени, причем определить временную координату 1 как длину э геодезической линии, отсчитываемую от исходной гиперповерхности, мы получим синхронную систему отсчета. Ясно, что такое построение, а тем самым и выбор синхронной системы отсчета в принципе возможны всегда. Более того, этот выбор еще и не однозначен.
Метрика вида (97.2) допускает любые преобразования пространственных координат, не затрагивающие времени, и, кроме того, преобразование, соответствующее произволу в выборе исходной гиперповерхности в указанном геометрическом построении. Аналитически преобразование к синхронной системе отсчета можно в принципе произвести при помощи уравнения Гамильтона — Якоби. Основание этого способа состоит в том, что траектории частицы в гравитационном поле как раз и являются геодезическими линиями. Уравнение Гамильтона-Якоби для частицы (массу которой положим равной единице) в гравитационном поле есть (97.4) Ы ЫХА (мы обозначили здесь действие буквой т).
Его полный интеграл 387 з 97 синхРОннАя системА Отс 1етА имеет вид (97.5) т = 1 1(о, х') + А(С ), где 1 — функция четырех координат х' и трех параметров ~о; четвертую постоянную А рассматриваем как произвольную функцию трех с . При таком представлении т уравнения траектории частицы можно получить приравниванием производных дт(дС~ нулю, т. е. (97.6) Для каждых заданных значений параметров С" правые части уравнений 197.6) имеют определенные постоянные значения и определяемая этими уравнениями мировая линия является одной из возможных траекторий частицы.
Выбрав постоянные вдоль траекторий величины (о в качестве новых пространственных координат, а величину т — в качестве новой временной координаты, мы и получим синхронную систему отсчета, причем уравнениями (97.5), (97.6) определится искомое преобразование от старых координат к новым. Действительно, геодезичность линий времени при таком преобразовании обеспечивается автоматически, причем эти линии будут нормальны к гиперповерхностям т = сопвФ. Последнее очевидно из механической аналогии: 4-вектор нормали к гиперповерхности — дт7 дх' совпадает в механике с 4-импульсом частицы и потому совпадает по направлению с ее 4-скоростью и', т.е.
с 4-вектором касательной к траектории. Наконец, выполнение условия яео = 1 очевидно из того, что производная — Йт)с1з действия вдоль траектории есть масса частицы, которую мы приняли равной 1; поэтому ~Йт)ЙН~ = 1. Напишем уравнения Эйнштейна в синхронной системе отсчета, отделив в них операции пространственных и временного дифференцирований. Введем обозначение Мо,="' (97. 7) для производных по времени от трехмерного метрического тензора; эти величины сами составляют трехмерный тензор. Все операции перемещения индексов у трехмерного тензора Асов и его ковариантные дифференцирования производятся в дальнейшем в трехмерном пространстве с метрикой у д»). Отметим, что ) Но зто не относится, конечно, к операциям переменцеиия индексов у пространственных компонент 4-тензоров Й,ь, Т,А (ср.
примеч. на с. ЗЗ9). Так, Т„ надо понимать по-прежнему как е Т + е Те,что сводится в з данном случае к З~»Т и отличается знаком от 7~»Т» 388 РРАВНЕНИЯ ГРАВИТАЦИОННОГО ПОЛЯ ГЛ. Х! сумма х'" есть логарифмическая производная определителя ! = — = 1ъ4= — а: .дат., а ас ас Для символов Кристоффеля находим выражения О а 0 Гоо=Гоо=Го =0 ГО а — — — Рса,С, Гсаа = — Асаа, Га — — Лаа, (97 9) (97.11) где Ла — -трехмерные символы Кристоффеля, образованные из тензора уая.
Вычисление по формуле (92.7) приводит к следую- щиъ! выражениям для компонент Лсв: (97.10) В и = Р Я + — — Аса,в + — (х ам'" — 2х'Ага ). Здесь Р З вЂ” трехмерный тензор Риччи, построенный из 7 я так жЕ, как АСЬ СтрОитСя иЗ 8СА; пОднятиЕ ЕгО индЕкСОв прОиЗвОдитСя НИЖЕ тОжЕ С ПОМОЩЬЮ тРЕХМЕРНОй МЕТРИКИ УОН. Уравнения Эйнштейна напишем в смешанных компонентах: Ло — — — — — Рà — — Рс" Аса = 8я к~ та — — Т !, зас 4 а (о 2 l' Л' = '(Ага Асд ) = Ы,ТО (97.12) Ва~ = — Ра — — (,„lфАссас) = 8тсИ(Т~ — — 6~~Т). (97.13) 2 /фас Характерным свойством синхронных систем отсчета являет- ся их нестационарность: в такой системе гравитационное поле не может быть постоянным.
Действительно, в постоянном поле бы- ло бы АГ я = О. Между тем при наличии материи обращение всех РГ и в нуль во всяком случае противоречило бы уравнению (97.11) (с отличной от нуля правой частью). В пустом же пространстве мы нашли бы из (97.13), что все Р А, а тем самым и все компонен- ты трехмерного тензора кривизны Р и 4 обращаются в нуль, т. е.
поле вообще отсутствует (в синхронной системе при евклидовой пространственной метрике пространство-время плоское). В то же время заполняющая пространство материя не может, вообще говоря, покоиться относительно синхронной системы от- счета. Это очевидно из того, что частицы материи, в которой действуют силы давления, движутся, вообще говоря, не по гео- дезическил! мировым линиям; мировая же линия покоящейся 389 синхРОннАя системА Отс 1етА частицы есть линия времени и в синхронной системе является геодезической.
Исключение представляет случай «пылевидной» материи (р = О). Не взаимодействуя друг с другом, ее частицы движутся по геодезически мировым линиям; в этом случае, следовательно, условие синхронности системы отсчета не противоречит условию ее сопутствия материи') . Для других уравнений состояния аналогичная ситуация может иметь место лишь в частных случаях, когда во всех или в некоторых направлениях отсутствует градиент давления. Из уравнения (97.11) можно показать, что определитель — у метрического тензора в синхронной системе отсчета непременно должен обратиться в нуль за конечное время. Для этого заметим, что выражение в правой части этого уравнения при любом распределении материи положительно. Действительно, в синхронной системе отсчета для тензора энергии-импульса (94.9) имеем ТΠ— -Т = -(е+ Зр) + О 1 1 О -ьФ' 2 2 1 — е~ (компоненты 4-скорости — из (88.14)); положительность этой величины очевидна.
То же самое справедливо и для тензора энергии-импульса электромагнитного поля (Т = О, ТΠ— положитель- О ная плотность энергии поля~. Таким образом, имеем из (97.11): (97.14) 2д1 4 (знак равенства достигается в пустом пространстве). В силу алгебраического неравенства') »гд»ге ~ Э(»го ) 3 можно переписать (97.14) в виде — ж + — (зс) <О д 1 д1 6 ') Но и в атом случае для возможности выбора «синхронно-сопутствующей» системы отсчета необходимо еще, чтобы материя двигалась «без вращения».
В сопутствующей системе контравариантные компоненты 4-скорости и = 1, и = О. Если система отсчета также и синхронна, то и ковариантные компоненты ио = 1, и = О, а потому ее 4-ротор ди, ди» и,ь — иь,.;= „—, =О. д*" дл Но зто тензорное равенство должно быть тогда справедливым и в любой другой системе отсчета. Так, в синхронной, но не сопутствующей системе получим отсюда условие гос ч = О для трехмерной скорости Р.
) В его справедливости легко убедиться, приведя тензор»«~~ (в любой заданный момент времени) к диагональному виду. ЗОО УРАВНЕНИЯ ГРАВИТАПИОННОГО ПОЛЯ ГЛ. Х! ИЛИ д 1 1 — — > —, (97.15) Пусть, например, в некоторый момент времени х" > О. Тогда при уменьшении 1 величина 1/х'" убывает, имея всегда конечную (не равную нулю) производную, и потому должна обратиться в нуль (с положительной стороны) в течение конечного времени.
Другими словами, х" обращается в +со, а поскольку х'" = д 1п 1/д1, то это значит, что определитель 1 обращается в нуль (причем, согласно неравенству (97.15), не быстрее чем Ге). Если же в начальный момент х~О ( О, то же самое получится для возрастающего времени. Этот результат, однако, отнюдь не доказывает неизбежности существования истинной, физической особенности в метрике. Физической особенностью является лишь такая, которая свойственна пространству-времени как таковому и не связана с характером выбранной системы отсчета (такая особенность должна характеризоваться обращением в бесконечность скалярных величин плотности материи, инвариантов тензора кривизны).
Особенность же в синхронной системе отсчета, неизбежность которой мы доказали, в общем случае в действительности является фиктивной, исчезающей при переходе к другой (не синхронной) системе отсчета. Ее происхождение ясно из простых геометрических соображений. Мы видели выше, что построение синхронной системы сводится к построению семейства геодезических линий, ортогональных к какой-либо пространственноподобной гиперповерхности. Но геодезические линии произвольного семейства, вообще говоря, пересекаются друг с другом на некоторых огибающих гиперповерхностях — четырехмерных аналогах каустических поверхностей геометрической оптики.
Пересечение же координатных линий дает, разумеется, особенность в метрике в данной координатной системе. Таким образом, имеется геометрическая причина для появления особенности, связанной со специфическими свойствами синхронной системы и потому не имеющей физического характера. Произвольная метрика 4-пространства допускает, вообще говоря, существование также и непересекающихся семейств времениподобных геодезических линий.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
