II.-Теория-поля (1109679), страница 67
Текст из файла (страница 67)
Но при таком преобразовании, как легко убедиться (см. примеч. на с. 335), 8 -о 8„— ду!дх, а скаляр Ь и тензор т Е = — 8 Е + Ь8 йл не меняются. Ясно поэтому, что искомые уравнения, будучи выражены через ч„в, Ь и йю могут содержать к„лишь в виде комбинации производных, составляющих трехмерный антисимметрнчный тензор; дйв дк Ув=8Ф: 8'В е' (2) дх дх инвариантный относительно указанного преобразования. Учитывая это обстоятельство, можно существенно упростить вычисления, полагая (после вычисления всех входящих в Рмь производных) 8 = 0 и 8 Ра+ ягн = 0 ).
Символы Кристоффеля: о 1 оо = 8 Ь; 1 аа = 2 ' 2 Рча Ь,.+ 8 у„„+..., Гао Х, йяВЬ, о 2Ь ' 2 2 2 ~) Во избежание недоразумений подчеркнем, что изложенный упрощенный способ проведения вычислений, давая правильные уравнения поля, был бы непригоден для вычисления любых компонент 17,А самих по себе, поскольку они не инвариантны относительно преобразования (1). В уравнениях (3) — (5) слева указаны те компоненты тензора Риччи, которым в действительности равны написанные выражения. Эти компоненты инвариантны по отношению к преобразованию (1). з 96 псввдОтвнзОг эивггии-импхльОА ггАвитАциОннОгО нОля 377 Г„, = --(; + ) — — (8.5,, +8,5.) + йтЛ:, +...
1 Гдн дйв 1 2 дхд дх 25 РЕ =ЛŠ— — (8Е7 +8 Б )т 2 Опущенные здесь члены (вместо которых стоят многоточия) квадратичны по компонентам вектора 8„; зти члены заведомо пропадут, когда мы положим 8,„= 0 после проведения дифференцирований в Л,А (92.7). Нри вычислениях использованы формулы (84.9), (84.12), (84.13); Ле., — трехмерные символы Кристоффеля, построенные по метрике учз. Теизор Т44 вычисляется по формуле (94.9) с и' из (88.14) (причем тоже полагаем 8 = О). В результате вычислений из (95.8) получаются следующие уравнения: 1 ъ4 „е 3. е( 7) 8яй р+е е ,уа 2 Од 2 ',4 1 ез7з Л В Р е Ау~т(е 1 (д~; щ 8яй ~ (Р-~-е)е е е — р е~ 2 ~/Ь с (с (1 — с~/с ) 2 (5) Здесь Р"~ — трехмерный тензор, построенный из 7 Е так, как Рсы строится изйть ).
96. Псевдотензор энергии-импульса гравитационного поля При отсутствии гравитационного поля закон сохранения энергии и импульса материи (вместе с электромагнитным полем) выражается уравнением =О дх Обобщением этого уравнения на случай наличия гравитационно- го поля является уравнение (94.7) д(т" Г=й 1 д8 7 ~~ 0 (96 Ц ~/ — 8 дх" 2 дх' ) Аналогичным образом уравнения Эйнштейна могут быть написаны и в общем случае зависящей от времени метрики. Наряду с пространственными производными в иих будут входить также и производные по времени от величин 7 Е, 8, 5.
См. А. Л. Зеле манов// ДАН СССР. 1956. Т. 107. С. 815. 378 РРАВНВНИЯ ГРАВИТАЦИОННОГО ПОЛЯ ГЛ. Х! В таком виде, однако, это уравнение, вообще говоря, не выражает закона сохранения чего бы то ни было') . Это обстоятельство связано с тем, что в гравитационном поле должен сохраняться не 4-импульс одной лишь материи, а 4-импульс материи вместе с гравитационным полем; последний же не учтен в выражении для Т; . ь Для определения сохраняющегося полного 4-импульса гравитационного поля вместе с находящейся в нем материей мы поступим следующим образом (Л. Д. Ландау, Е.
и. Лифшиц, 1947)'). Выберем систему координат так, чтобы в некоторой заданной точке пространства-времени все первые производные От 81ь ПО КООРДИНатаМ ОбРатИЛИСЬ В НУЛЬ (СаМИ жЕ и!Гй ПРИ ЭТОМ не должны обязательно иметь галилеевы значения). Тогда в этой точке второй член в уравнении (96.1) обратится в нуль, а в первом можно вынести „/ — я из-под знака производной, так что остается д„Т," = О. дх" или в контравариантных компонентах — Тгь = О. дх" Величины Т™, тождественно удовлетворяющие этому уравнению, могут быть написаны в виде Тгь д гы дх' где Г)1 величины, антисимметричные по индексам Й, й гы !Нй !) Действительно, интеграл ( Т,",/ — кг1Б сохраняется лишь при выполнед,~:~Т," нии условия ' = О, а не (96.1).
В этом легко убедиться, произведя дх в криволинейных координатах те же вычисления, которые были проделаны в 3 29 в галилеевых координатах. Достаточно, впрочем, просто заметить, что эти вычисления имеют чисто формальный характер, не связанный с тензорными свойствами соответствующих величин, как и доказательство теоремы Гаусса, имеющей в криволинейных координатах тот же вид (83.17), что и В декартовых. 2 ) Может возникнуть мысль применить к гравитационному полю формулу (94.4), подставив в нее Л = — с~С!!(16яй). Подчеркнем, однако, что эта формула относится только к физическим системам, вписывающимся величинами 9, отличными от Уй!6 поэтомУ она непРименима к гРавитаЦионномУ полю, определяющемуся самими величинами 8!ю Заметим кстати, что при подстановке в (94.4) С вместо Л мы получили бы просто нуль, как это непосредственно видно из соотношения (95.3) и уравнений поля в пустоте.
~ 96 псввдотвнзог эввггии-импгльсп ггйвитппионвого поля 379 Нетрудно фактически привести Т™ к такому виду. Для этого исходим из уравнений поля: а для Л'" имеем согласно 192.1): д дг = З ( ах™дх" " дх'ахп ах,. акт„) г г дх дхг дх'дх" величины Ч антисимметричны по индексам Й, В 196.4) Тогда можно написать дй™' ( ) „й дх' Это соотношение, выведенное в предположении дй1й/дх = О, перестает иметь место при переходе к произвольной системе координат.
В общем случае разность дЧй'/дх' — ( — й)Т'й отлична от нуля; обозначим ее через 1 — ц)И'~. Тогда будем иметь по определению: ~ й) Т1 +11 ) аЬ*"' дх Величины 1'~ симметричны по индексам г, й: гй 1йг 196.5) 196.6) 1напоминаем, что в рассматриваемой точке все Г~й — — 0). После простых преобразований тензор Т'й может быть приведен к виду Тгй а ( ~ 1 ~( .)уй Лт П йт)1) дх' 16пй (-К) дх Стоящее в фигурных скобках выражение антисимметрично по индексам й, 1 и есть то, что мы обозначили выше как ц'й~.
Поскольку первые производные от ягй в рассматриваемой точке равны нулю, то множитель 1/( — д) можно вынести из-под знака производной д/дх'. Введем обозначения Ьгй~ д Лгй1т 196.2) дх 1 гмгп с [ .) [ гй Лт .Й .йт), 196.3) 16хй 380 РРАВНЕНИЯ ГРАВИТАЦИОННОГО ПОЛЯ ГЛ. Х1 Это видно непосредственно из их определения, поскольку как тензор Т™, так и производные д111~~/дт~ являются симметрич- ными величинами. Выражая Тпв через Л™ согласно уравнени- ям Эйнштейна, получим соотношение ( — 8) ~ (В'~ — -8А~ГГ) + И'~) =,, (96.7) — 1(2гп Г„'р — Г,",Г ' „- Гп„ГРРт„) (8*'8Ь- — 8™Ц'т)+ +д~~дпя(Г~„Г~„— Г~ Г~„)), (96.8) или, непосредственно через производные от компонент метрического тензора: Н 'пп тр + и 1п тр )+ пр и йт + + -(28и8~ — 8™8~ )(28пр8 „— д„дп„)дп' ~9~ ), (96.9) где 9' =,( — я д', а индекс «, г» означает простое дифференпирование по т'.
Существенным свойством величин 1'~ является то, что онн не составляют тензора; это видно уже из того, что в д11' /дт стоят простые, а не ковариантные производные. Однако Г'ь выражаются через величины Гьп а последние ведут себя как тензор по отношению к линейным преобразованиям координат (см. з 85): то же самое относится, следовательно, и к 1' . Из определения (96.5) следует, что для суммы Т™ + 11пв тождественно выполняются уравнения — '„(- ) (Т'" + 1*") = 0. (96.10) Это значит, что имеет место закон сохранения величин Р' = -' 1 ( — 8) (ТА" + ~'") 1 ~„.
с / (96.11) из которого можно найти после довольно длинного вычисления следующее выражение для 11": ~ 96 псевдОтензОР энеРГии-импульсА ГРАВитАциОннОГО пОля 381 При отсутствии гравитационного поля в галилеевых коорди- 1 натах ге~ = О, и написанный интеграл переходит в — ) Т™ГЬБЬ, т. е. с в 4-импульс материи. Поэтому величины (96.11) должны быть отождествлены с полным 4-импульсом материи вместе с гравитационным полем. Совокупность величин гй называют псевдотенэором энергии-импульса гравитационного попя. Интегрирование в (96.11) может производиться по любой бесконечной гиперповерхности, включающей в себя все трехмерное пространство.
Если выбрать в качестве нее гиперповерхность хе = сопз1, то ТЯ можно написать в вцде трехмерного пространственного интеграла: ( — а)(Т +с*')Л'. (96.12) Тот факт, что полный 4-импульс материи и поля выражается в виде интегралов от симметричных по индексам г, )с величин ( — д)(ТГ~ + г'~), весьма существен. Он означает, что сохраняется 4-момент импульса, определяемый как (см. 932) ') М*"= ( хдР" — т'и ) = — [х'(Т~~ + гы) — х~(Ти + ги)]( — я) Г)Бь (96.13) и и ь Таким образом, и в общей теории относительности у замкнутой системы гравитирующих тел сохраняется полный момент импульса и, кроме того, по-прежнему может бьггь дано определение центра инерции, совершающего равномерное движение.
Последнее связано с сохранением компонент Мп (ср. 914), выражающимся уравнением т (Т +1 )( — д) с) — х (Т + 1 )( — 8) гй' = соп61, ) Необходимо отметить, что полученное нами выражение для 4-импульса материи и поля отнюдь не является единственно возможным. Напротив, можно бесчисленными способами (см., например, задачу к этому параграфу) подобрать такие выражения, которые бы е отсутствие поля переходили з Х', а при интегрировании по ось давали бы сохраняющиеся величины. Однако сделанный нами выбор единственный, при котором псеедотензор энергии-импульса поля содержит лишь пераые (но не более высокие) произяодные от к,ь (успение, представляющееся еполне естественным с физической точки зрения) и при этом симметричен, так что дает возможность сформулировать закон сохранения момента.
382 УРАВНЕНИЯ ГРАВИТАПИОННОГО ПОЛЯ ГЛ. Х! так что координаты центра инерции даются формулой 3'* Р'"+»"Н вЂ” к) й' у~Гоо +»оаИ Выбирая систему координат, инерциальную в данном элементе объема, можно обратить все Г'" в любой точке пространства-времени в нуль (так как при этом обращаются в нуль все Гы). С другой стороны, можно получить отличные от нуля И' в плоском пространстве, т. е.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
