II.-Теория-поля (1109679), страница 71
Текст из файла (страница 71)
(98.10) Последнее равенство в (98.10) следует из (86.12); отметим, что величины Л ь вычисляются простым дифференцированием реперных векторов. ОбратнОЕ выражЕниЕ 'уа~ чЕрЕЗ Лайс: уь =-(Ль+Ль — Л ь) 1 (98.11) Эти величины обладают свойствами симметрии: 'Уайс = 'УЬас~ Лайс = Ласй. (98.12) Наша цель состоит в определении тетрадных компонент тензора кривизны. Надо исходить из определения (91.6), примененного к ковариантным производным реперных векторов: е(а)Й й;1 е(а]Й Й й е(а)Ка161 или 1 й Л(а)(6)(,)(8) = (е(а)йй.1 — е(а)ей й)е(6)е(,)е(8). Это выражение легко выразить через величины у ь .
Пишем (6) (с) е(а)й й = Уай,е,. ей , а после следующего ковариантного дифференцирования производные от реперных векторов снова выражаются таким же образом; при этом ковариантная производная от скалярной величины ') Величины у и называют нае44иииентами Вращения Риччи.
А; = е а А(а), (а) Таким же образом определим «вдоль направления о»: А' = е' А(а). (а) (98.8) операцию дифференцирования 396 Ь'РАВНЕНИЯ ГРАВИТАЦИОННОГО ПОЛЯ ГЛ. Х! у ь, совпадает с ее простой производной') . В результате получа- ется: ть(а1(Ь)69(4) = ~а,сД ' '(аЫ,с + ~аЬ1 ('! сл (' ас)+ (а(с"( Ы ! !' !' — 'у сл у! ьс, (98.13) ГдЕ В СООтВЕтСтВИИ С ОбщИМ ПраВИЛОМ уаьс — — !1~" у Ь, И т. П. Упрощение этого тензора по паре индексов а, с дает искомые тетрадные компоненты тензора Риччи; приведем их выраженными уже через величины Л,ь!„! Л(а)(Ь) (ЛаЬ,с + ЛЬа,с + Л са,Ь + Л сЬ,а)+ с с с с 2 +Л ьЛ ! +Л ~ьЛ4 — -Ль ~Л !+Л ~Л ь~+Л ~Ль ~) (9814) 2 Наконец, обратим внимание на то, что изложенные построения по существу никак не связаны с четырехмерностью метрики.
Поэтому полученные результаты могут быть применены и к вычислению трехмерных тензоров Римана и Риччи по трехмерной метрике. При этом, естественно, вместо тетрады реперных 4-векторов мы будем иметь дело с триадой трехмерных векторов, а МатРИЦа Г(аЬ ДОЛжНа ИМЕТЬ СИГНатУРУ + + + (МЫ ВСтРЕтИМСЯ С таким применением в 2 116). ') Приведем для справок преобразованные аналогичным образом выражения для ковариантных производных произвольных 4-векторов и 4-тензоров: А„ьсьюсЬь! = А( ! (ь! -~- А 'уа ь, ь бо ь ! ьи ьи Аь,,!е( !с(ь!с(е — — А! ! (ь! (>+ А (ЬГТА, + А( ! Ч ь„ и т.п. ГЛАВА ХП ПОЛК ТЯГОТК1ОЩИХ ТКЛ я 99.
Закон Ньютона Произведем в уравнениях Эйнштейна предельный переход к нерелятивистской механике. Как было указано в ~ 87, предположение о малости скоростей всех частиц требует одновременно, чтобы само гравитационное поле было слабым. Выражение для компоненты иоо метрического тензора (единственной, которая нам понадобится) в рассматриваемом предельном случае было найдено в о 87: Кое=1+у 2~о То =рс. о Скаляр Т = Т будет равен той же величине васо. Уравнения Эйнштейна напишем в форме (95.8): (99.1) В," = — 4 (Т," — -'б,"Т); при г = й = О о 4~Й о — 2 Р. При вычислении 17оо по общей формуле (92.7) замечаем, что члены, содержащие произведения величин Гы, во всяком случае являются величинами второго порядка малости.
Члены же, содержащие производные по х = с1, являются малыми (по Далее, лля компонент тензора энергии-импульса мы можем воспользоваться выражением (35.4) Т," = рсои;и", где р плотность массы тела (сумма масс покоя частиц в единице объема; индекс О у д для краткости опускаем). Что касается 4-скорости и', то поскольку макроскопическое движение тоже, конечно, считается медленным, то мы должны пренебречь всеми ее пространственными компонентами, оставив только временную, т.е. должны положить и~ = О, и = ио = 1. Из всех компонент Т~ остается, таким образом, только 398 ПОЛЕ ТЯГОТЕЮЩИХ ТЕЛ ГЛ. ХП сравнению с членами с производными по координатам ха), как содержащие лишние степени от 1/с. В результате остается Н0 0—— = Ноо = дГ00/д* Подставляя 1,а 1 ад даос 1 дгг 00 2 дхо сг дх К находим 0 Не — — — — = — гтпр.
сг дх "г сг Таким образом, уравнения Эйнштейна дают (99.2) Это и есть уравнение гравитационного поля в нерелятивистской механике. По своей форме оно полностью аналогично ураввению Пуассона (36.4) для электрического потенциала, в котором теперь вместо плотности заряда стоит плотность массы, умноженная на — 12. Поэтому мы можем сразу написать общее решение уравнения (99.2) по аналогии с (36.8) в виде (99.3) 'Р = (99.4) Л , дог и следовательно сила Г = — т — действующая в этом поле на дгс' другую частицу (массы т'), равна ЙГЕГП йг (99.5) Это — - известный закон галеотенил Ньютона. Потенциальная энергия частицы в гравитационном поле равна ее массе, умноженной на потенциал поля, аналогично тому, что потенциальная энергия в электрическом поле равна произведению заряда на потенциал этого поля.
Поэтому мы можем написать по аналогии с (37.1) для потенциальной энергии любого распределения масс выражение ОГ = — ( 1ид11К 2/ (99.6) Эта формула определяет в нерелятивистском приближении потенциал гравитационного поля любого распределения масс. В частности, для потенциала поля одной частицы с массой т имеем 399 ЗАКОН НЬЮТОНА Для ньютоновского потенциала постоянного гравитационного поля вдали от создающих его масс можно написать разложение аналогичное тому, которое было получено в ~ 40, 41 для электростатического поля. Выберем начало координат в центре инерции масс. Тогда интеграл ) )АгЛ', аналогичный дипольному моменту системы зарядов, тождественно обратится в нуль. Таким образом, в отличие от электрического поля, в гравитационном поле всегда можно исключить «дипольный член».
Разложение потенциала 22 имеет, следовательно, вид (99. 7) где ЛХ = ) )2Л~ полная масса системы, а величины 11 я = )2(8х хя — г~ос я) Л (99.8) Тогда потенциал поля в произвольной точке х, у, г впе тела дается следующей формулой; ) Мы пишем здесь все индексы а, Д внизу, не делая различия между ко- и контравариантными компонентами, соответственно тому, что подразумеваются операции в обычном ньютоновском (евклидовом) пространстве. можно назвать тензором квадрупольного момента масс') . Он связан с обычным тензором моментов инерции .7 я = )2(г 5оя — х хд) Л' очевидными соотношениями .О„„= .7„6.д — З,у.д.
(99.9) Определение ньютоновского потенциала по заданному распределению масс составляет предмет одного из разделов математической физики; изложение соответствующих методов не входит в задачу этой книги. Мы приведем здесь для справочных целей лишь формулы для потенциала гравитационного поля, создаваемого однородным эллипсоидальиым телом. Пусть поверхность эллипсоида задается уравнением 2 2 2 —,+ —,+ —,=1, а>6>с.
(99.10) 400 ГЛ. Хп ПОЛН ТЯГОТЕЮЩИХ ТЕЛ где С вЂ” -положительный корень уравнения 2 2 2 (99.12) а то 5~ -~-с с Потенциал поля внутри эллипсоида определяется формулой г=- 2 1 Й) (1,',",' ) ', 192.13) о отличающейся от (99.11) заменой нижнего предела нулем; отметим, что это выражение является квадратичной функцией координат х, у, ю Гравитационная энергия тела получается, согласно (99.6), интегрированием выражения (99.13) по объему эллипсоида.
Оио производится элементарно ') и дает о 421 (ПТ = — ПЬср — полная масса тела) интегрируя первый член по з частям, окончательно получим (99.14) о Все интегралы, входящие в формулы (99.11) — (99.14), приводятся к эллиптическим интегралам первого и второго рода. Для эллипсоидов вращения эти интегралы выражаются через элементарные функции.
В частности, гравитационная энергия сплюснутого эллипсоида вращения (а = Ь > с): ОГ = — агссов —, Зкт с (99.15) бу'а~ — сз а а для вытянутого эллипсоида вращения (а > Ь = с): (99.16) ) Интегрирование квадратов хз, у~, 22 проще всего производится путем подстановки х = ах', у = бу', 2 = сс', сводящей интеграл по об"ьему зллипсонда к интегралу по объему шара единичного радиуса. 100 центРАльнО-ОимметРи 1нОВ ГРАВитАциОннОе пОле 4О( Для шара (а = с) обе формулы дают значение 11' = — Зйтз/5а, которое, разумеется, можно получить и элементарным путем ') .
Задача Определить равновесную форму равномерно вращающейся как целое однородной гравитирующей массы жидкости. Р е ш е н и е. Условие равновесия заключается в условии постоянства вдоль поверхности тела суммы гравитационного потенциала и потенциала центробежных сил; Зг — — (х + у ) = сопзз й г г 2 (й — угловая скорость вращения; ось вращения — ось г), Искомая форма представляет собой сплюснутый эллипсоид вращения. Для определения его параметров подставляем (99.13) в условие равновесия и исключаем зг с помощью уравнения (99.10); это дает У (а Ез) 11сгтз 2ярйа с о с бз 3 г — сопз1, , / . . .„,1 о 3 100.
Центрально-симметричное гравитационное поле Рассмотрим гравитационное поле, обладающее центральной симметрией. Такое поле может создаваться любым центрально-симметричным распределением вещества; при этом, конечно, 1 ) Потенциал поля внутри однородного шара радиуса а: гг1 Э1 = — 2яйр(а — — ). 3 ) Указания по литературе, посвященной эгим вопросам, можно найти в книге: Г. Ламб. Гидродинамика. — Мл Гостехиздат, 1947, гл. ХП.
откуда следует, что выражение в квадратных скобках должно обращаться в нуль. Произведя интегрирование, получим в результате уравнение (а + 2сг) с Зсг йг 25 Г4х117зМгриз гсТ47з г г (а — с )~1~ а аг — с 21гйр 6 3 тш~~й а (М = (2/5)таей — момент импульса тела относительно оси з), определяющее отношение полуосей с11а по заданному й или М. Зависимость отношения с/а от М вЂ” однозначная; с/а монотонно убывает с увеличением М. Оказывается, однако, что найденная симметричная форма устойчива (по отношению к малым возмущениям) лишь при не слишком больших значениях М.
Именно, она теряет устойчивость при М = 0,24е'1~т~1~р (причем с/а = 0,58). При дальнейшем увеличении М равновесной становится форма трехосного зллипсоида с постепенно убывающими (соответственно от 1 и от 0,58) значениями 5/а и с,1а. Эта форма в свою очередь становится неустойчивой при М = 0,31а~~~ш~~~д ~~~ (причем а: 5: с = 1 0 43,0 34)г) 402 ГЛ. ХП ПОЛЕ ТЯГОТЕЮ1ЦИХ ТЕЛ центрально-симметричным должно быть не только распределение, но и движение вещества, т.е. скорость в каждой точке должна быть направлена ло радиусу.
Центральная симметрия поля означает, что метрика пространства-времени, т.е. выражение для интервала 11е, должна быть одинакова во всех точках, находящихся на одинаковом расстоянии от центра. В евклидовом пространстве это расстояние равно радиус-вектору; в неевклидовом же пространстве, каким оно является при наличии гравитационного поля, нет величины, которая обладала бы всеми свойствами евклидова радиус-вектора (одновременно равного расстоянию до центра и деленной на 2п длине окружности).
Поэтому выбор «радиус-вектораа теперь произволен. Если пользоваться «сферическими пространственными координатами г, д, 1р, то наиболее общим центрально-симметричным выражением для 11е является де~ = 6(г,2)йг~+ 6(т,1)(е1п й 111р~+ бойз)+ +1(г,2)й +а(г,$)Йгс11, (100.1) где а, 6, Й, 1 — некоторые функции от «радиус-вектора» г и «времени1> 1. Но, ввиду произвольности в выборе системы отсчета в общей теории относительности, мы можем еще подвергнуть координаты любому преобразованию, не нарушающему центральной симметрии ЫЯ2; это значит, что мы можем преобразовать координаты г и 1 посредством формул 21(~ ~~ )1 ь 22(Г 11 )~ где ~м у2 любые функции от новых координат г', 1'. Воспользовавшись этой возможностью, выберем координату г и время 1 таким образом, чтобы, во-первых, коэффициент а(г, 1) при 11т 16 в выражении для де обратился в нуль и, во-вто- 2 рых, коэффициент 6(г,8) был равен просто — г2') .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
