II.-Теория-поля (1109679), страница 70
Текст из файла (страница 70)
Неизбежность же обращения в нуль определителя 7 в синхронной системе означает, что допускаемые уравнениями поля свойства кривизны реального (не плоского) пространства-времени (выражаемые неРавенством ГГО > О) исключают возможность сУЩествованиЯ о 1 97 синхРОннАя системА Отс 1етА таких семейств, так что линии времени во всякой синхронной системе отсчета непременно пересекаются друг с другом ') . Мы упоминали выше о том, что для пылевидной материи синхронная система отсчета может быль в то же время и сопутствующей. В таком случае плотность материи обратится на каустике в бесконечность, просто как результат пересечения мировых траекторий частиц, совпадающих с линиями времени.
Ясно, однако, что эта особенность плотности устранится уже введением сколь угодно малого,но отличного от нуля давления материи и в этом смысле тоже не имеет физического характера. Задачи 1. Найти вид разложения решения уравнений гравитационного поля в пустоте вблизи не особой, регулярной точки по времени. Р е ш е н и е. Выбрав условно рассматриваемую временную точку в качестве начала отсчета времени, будем искать у и в виде 7 в = а в + 16 Э + 1~с в + ..., (1) где а Ю Ь Ю с А — функции пространственных координат. В том же приближении обратный тензор; т"' = ' — 16 Л-Ь1'(6"Ь' — ва) 7 где а а тензор, обратный а щ а поднятие индексов у остальных тевзоров производится с помощью а а.
Далее имеем и З = 6,1 + 21с Ю и'~ = 6~ +1(2с~~ — Ь 6~7). Уравнения Эйнштейна (97. 11) — (97.13) приводят к следующим соотношениям: Вс = + 1 ЬвЬр = 0 (2) В" = 1(ЬЕ, — , .)+ ~ — ., 3(6 "6~~)., ю + 1 1 , .— 1(Ь„1), .1 =О, (3) 1а 1,в 4 2 (4) (Ь = Ь", с = с"). Здесь операции ковариантного дифференцирования про- 1 ) Аналитическое построение метрики вблизи фиктивной особенности в синхронной системе отсчета см. В.
М. Лифшиц, В. В. Судаков, И. М. ХалатннковО ЖЭТФ. 1981. Т. 40. С. 1847. Общий характер этой метрики ясен из геометрических соображений. Поскольку каустическая гиперповерхиость во всяком случае заключает в себе времениподобные интервалы (элементы длины геодезических линий времени в точках их касания с каустикой), она не является пространственноподобной.
Далее, на каустике обращается в нуль одно из главных значений метрического теизора 7„Н сООтвЕтСтвенно тому, что обращается в нуль расстояние (Ь) между двумя соседними геодезическими линиями, пересекающимися друг с другом в точке их касания с каустикой. Обращение б в нуль происходит пропорционально первой степени расстояния (1) до точки пересечения. Поэтому главное значение метрического тензора, а с ним и определитель 7 обращаются в нуль как 1 .
392 РРАВНЕНИЯ ГРАВИТАЦИОННОГО ПОЛЯ ГЛ. Х1 1 6« 616 = Р 616+ (»«6ИВТ»1 »ив6) 4 1 Р -р. = -( -',6 — -р;.) 2 1 д 1 Во.а = — — ~.е — -~.~~,' 2дс 4 где Р В 6 — трехмерный тензор кривизны, соответствующий трехмерной пространственной метрике 7 В. 3. Найти общий вид бесконечно малого преобразования, не нарушающего синхронности системы отсчет. Р е ш е н и е. Преобразование имеет вид 6-э 6-~-1р(т,х,т ), х — 1 х -6-6 (т,т,т,6), где 1р, 5" — малые величины. Соблюдение условия бее = 1 обеспечивается независимостью р от й а для соблюдения условия 61„= О должны выполняться уравнения дбл др дь дх откуда д1р Г „,1 (1) где Г" — снова малые величины (образующие трехмерный вектор Г).
При этом пространственный метрический тензор 'у р заменяется согласно У Р -э ӄР— С .„1 — СЛ, .— ~1Р»«6 (в чем легко убедиться с помощью формулы (94.3)). Преобразование содержит, как и следовало, четыре произвольные (малые) функции пространственных координат 1р, Г (2) изводятся в трехмерном пространстве с метрикой а Гб по этой же метрике определяется тензор Р ю Из (4) коэффициенты с В полностью определяются по коэффициентам а«6 и Ь„В. После этого (2) дает соотношение Р+ — Ь вЂ” — Ь Ь =О.
(5) 4 4 Из членов нулевого порядка в (3) имеем (6) Члены же 6 в этом уравнении при использовании (2), (4) — (6) (и тождества Р .Š— — Р, „/2; ср. (92.10)) обращаются в нуль тождественно. Таким образом, 12 величин а р, Ь„л связаны друг с другом одним соотношением (5) и тремя соотношениями (6), так что остается восемь произвольных функций трех пространственных координат. Из них три связаны с возможностью произвольных преобразований трех пространственных координат и одна — с произволом в выборе исходной гиперповерхности при построении синхронной системы отсчета. Остается,каки следовало (см.конец 3 95), четыре «физически различные» произвольные функции.
2. Вычислить компоненты тензора кривизны В»61 в синхронной системе отсчета. Р е ш е н и е. При помощи символов Кристоффеля (97.9) получим по формуле (92.1): з 98 тетгАдное пгедстАВление уРАВнений эйнштейнА 898 й 98. Тетрадное представление уравнений Эйнштейна Определение компонент тензора Риччи (и тем самым составление уравнений Эйнштейна) для метрики того или иного специального вида связано, вообще говоря, с довольно громоздкими вычислениями. Поэтому приобретают значение различные формулы, позволяющие в некоторых случаях упростить эти вычисления и представить результат в более обозримом виде.
К числу таких формул относится выражение тензора кривизны в так называемом тетрадном виде Введем совокупность четырех линейно-независимых реперных 4-векторов е( ) (нумеруемых индексом а), подчиненных лишь требованию е(о)е(ь)з чоь~ (98.1) где г)оь --заданная постоянная симметричная матрица с сигнатурой + — — —; матрицу, обратную матрице г) ь, обозначим через г) У (т) 'г)сь = ©'). Наряду с четверкой (тетрадой) векторов Е' ВВЕДЕМ таКжЕ ЧЕТВЕРКУ ВзаилеНЫХ С НИМИ ВЕКТОРОВ Е(о)' (а)' (нумеруемых верхними реперными индексами), определенных условиями е,' е(ь) = бь (98.2) т.е.
каждый из векторов е, ортогонален трем векторам е с (а) з Ь ~ а. Умножив равенство (98.2) на е( ), получим (е(,)е )е( ) —— ь (а) ь = е(ь), откуда видно, что наряду с (98.2) автоматически выполняются также и равенства (а) ь е, е() — — о,. (98.3) Умножив обе части равенства е' е(,), = п„на цьс, получим г Ьс е(а) (т) е(с)ь) да) ') В этом параграфе первыми буквами латинского алфавита а, Ь, с, ... ... будут обозначаться индексы, нумерующие реперные векторы; 4-тензорные индексы обозначаются по-прежнему буквами в, А', й ...
В литературе реперные индексы принято обозначать буквами (или цифрами) в скобках. Во избежание чрезмерного утяжеления записи формул мы будем, однако, писать скобки лишь там, где реперные индексы фигурируют вместе (или наравне) с 4-тензорными, и будем опускать их в обозначении величин, которые по своему определению имеют лишь реперные индексы (например, Нм и ниже ч и, Л ь ). По дважды повторяющимся реперным (как и тензорным) индексам везде подразумевается суммирование. 394 РРАВНВНИЯ ГРАВИТАЦИОННОГО ПОЛЯ ГЛ. Х! сравнив с (98.2), находим, что (Ь) Ьс (с) Е, = Г)ЬГЕ(,);, Е(Ь); = Г)ьсс,' . (98.4) Таким образом, поднимание и опускание реперных индексов осугцествляется матрицами г)~ и г)Ь. Значение введенных таким образом реперных векторов состоит в том, что через них может быть выражен метрический тензор.
Действительно, согласно определению связи между (а) ко-и контравариантными компонентами 4-вектора имеем е; = 8пе(')~; умножив это равенство на е( )ь и использовав (98.3) и (98.4), найдем и,:Ь = Е(о);Ей — — Г)оЬЕ, ЕЬ (а) (а) (Ь) (98.5) Квадрат элемента интервала с метрическим тензором (98.5) принимает вид А(„) = е( )А„А = е,.' А' = г)о~А(ь). (98.7) (а) (о) Ь аЬ ) Выбрав линейные формы Ых~ ~ = е) ) Нх' в качестве отрезков координатных осей в данном элементе 4-пространства (и взяв «галилеевы» и ь), мы тем самым приведем метрику в этом элементе к галилееву виду. Подчеркнем лишний раз, что формы Нх~ ~ не являются, вообще говоря, полными дифференциалами каких-либо функций координат.
2 ) Целесообразный выбор тетрады может диктоваться уже предварительным приведением 4э~ к виду (98.6). Так, выражению 6э~ в виде (88дз) отвечают реперные векторы е~ ~ = (ъ~й, -ъ'Х я), еы~ = (О, е~ ~), причем выбор ебв зависит от пространственной формы Ж~. да~ = г)оЬ(е,' дх')(е„~с(х ).
(98.6) Что касается произвольно задаваемой матрицы Г) ь, то наиболее естественный ее выбор — в «галилеевойэ форме (т. е. диагональная матрица с элементами 1, — 1, — 1, — 1); при этом реперные векторы согласно (98.1), взаимно ортогональны, причем один из них времениподобен, а три других пространственноподобны'). Подчеркнем, однако, что такой выбор отнюдь не обязателен и возможны ситуации, когда по тем или иным причинам (например, по свойствам симметрии метрики) целесообразен выбор неортогональной тетрады') . Тетрадные компоненты 4-вектора А' (и аналогично для 4-тензоров любого ранга) определяются как его «проекции» на реперные 4-векторы: 1 98 тетРАднОе НРедстАВление уРАВнений эйнштейнА 395 Обратно Введем нужные для дальнейшего величины ') 1 й 'уасЬ = е(а)Й йе(6)е(с) (98.9) и их линейные комбинации Лайс = Уайс 'УасЬ = = (е(а);.й — е(а)й.г)е~(6)е~(,) — — (е(а); й — е(а)й;)е~(6)е~(,).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
