II.-Теория-поля (1109679), страница 65
Текст из файла (страница 65)
Формула (94.4) удобна для вычисления тензора энергии-импульса не только в случае наличия гравитационного поля, но и при его отсутствии, когда метрический тензор не имеет самостоятельного смысла и переход к криволинейным координатам производится формально как промежуточный этап при вычислении Т,ь. Выражение (33.1) для тензора энергии-импульса электромагнитного поля должно быть написано в криволинейных координатах в виде 4 Г 4 ) 1т 4л 'г (94.8) Для макроскопических же тел тензор энергии-импульса равен (ср. (35.2)): Тгь = (р+ е)и;иь — рнгы (94.9) и преобразован в интеграл по гиперповерхности. Поскольку на границах интегрирования (' обращаются в нуль, то этот инте- грал исчезает.
Таким образом, приравнивая бд нулю, находим 368 ИРАВНЕНИЯ ГРАВИТАЦИОННОГО ПОЛЯ ГЛ. Х1 Отметим, что компонента Тоо всегда положительна'): Тоо >0 (94.10) (смешанная же компонента То не имеет, вообще говоря, опредео ленного знака). А,ьп" = Лп,. Соответствующие главные значения Л получаются как корни уравнения 4-й степени )А1» - лй«ь~ = о (2) и являются инвариантами тензора. Как величины Л, так и соответствующие им собственные векторы могут оказаться комплексными.
(Компоненты же самого тензора А,ь предполагаются, разумеется, вещественными.) оо Из уравнений (1) легко показать обычным путем, что два вектора п~ 12) и п~, соответствующие двум различным главным значениям ЛП1 и Л1~1, взаимно оргогональны: п1 ~п~~~« = О. (3) В частности, если уравнение (2) имеет комплексно-сопряженные корни Л и Л*, которым соответствуют комплексно-сопряженные векторы и, и и;, то должно быть ьпп'" = О. (4) Тензор А,А выражается через свои главные значения и соответствующие собственные векторы формулой А,ь = ~ ~Л~'™1 П1П (б) (если только какое-либо из п1п не равно нулю — см. ниже).
В зависимости от характера корней уравнения (2) могут иметь место следующие три различных случая. 1. Все четыре главных значения Л вещественны. При этом вещественны также и векторы 11', а поскольку все они взаимно ортогональны, то три из них должны иметь пространственное, а один — временное направление ) Действительно, имеем Тоо = гиа + Р(ио — бас). ПеРвый член, очевидно, положителен. Во втором же члене пишем а 8оо4з + 8о сиз иа = баси +ба.и «Ь и после простого преобразования получим боер(й1,1оэ), где Ж вЂ” элемент пространственного расстояния (84.6); отсюда видно, что и второй член в Тоо положителен. В том же самом легко убедиться и для тензора (94.8).
Задача Рассмотреть возможные типы приведения к каноническому виду симметричного тензора второго ранга. Р е ш е н и е. Приведение симметричного тензора А«А к главным осям означает нахождение таких «собственных векторов» и*, для которых 369 з 94 тннзсг энкггии-импхльсА их можно нормировать соответственно условиями н~п = — 1 и п~п = 1). 1 ыбрав направления осей координат вдоль этих векторов, приведем тензор к виду Π— Л11 О О (6) П.
Уравнение (2) имеет два вещественных (Л1Ю, ЛОО) и два комплексно-сопряженных (Л х1Ло) корня. Комплексно-сопряженные векторы пи и,, соответствующие двум последним корням, напишем в виде а,*166 поскольку они определены лишь с точностью до произвольного комплексного множителя, можно нормировать их условием и;н' = и,"и'" = 1. Учитывая также (4), найдем для вещественных векторов а„Ь, условия: а,а'+ 6,Ь' = О, а;6' = О, а;а' — Ь,Ь' = 1, Л' Ло О О Л" — Л' О О .4„= ~О О -ЛОО О ) ΠΠΠ— Л1~~ (7) Ш.
Если квадрат одного из векторов н' равен нулю (кнп = О), то этот вектор не может быть выбран в качестве направления координатной оси. Можно, однако, выбрать одну из плоскостей х х так, чтобы вектор п* лежал в ней. Пусть это будет плоскость хох'. Тогда из п1п' = О следует, что па = и' и из уравнений (1) имеем Ааа+Аог =Л, Ага+Ам = — Л, откуда Аоа = Л+Д, Ам = — Л+Д, Аог = — Д, где д — неинвариантная величина, меняющаяся при поворотах в плоскости хох; должным поворотом она всегда может быть сделана вещественной. Выбирая оси х~, ха по двум другим (пространственным) векторам п1~~', п1 Р,приведем тензор к виду — д — Л+д О О (8) Этот случай соответствует равенству двух корней (Л1~1, Л19) уравнения (2). Отметим, что для физического тензора энергии-импульса Т,А вещества, движущегося со скоростями, меньшими скорости света, может иметь место ) Поскольку временное направление должен иметь лишь один из векторов, уравнение (2) не можег иметь двух пар комплексно-сопряженных корней.
откуда а,а* = 1/2, Ь,Ь' = — 1/2, т. е, один из этих векторов имеет временное, а другой — пространственное направление ) . Выбрав координатные оси вдоль 1 векторов а", Ь', на~1', н1~1', приведем (согласно (5)), тензор к виду гл. хб 370 РРАВНВНИЯ ГРАВИТАЦИОННОГО ПОЛЯ лишь первый случай; это связано с тем, что всегда должна существовать такая система отсчета, в которой поток энергии вещества, т.е. компоненты Т а, равен нулю.
Для тензора же энергии-импульса электромагнитных волн имеет место третий случай с Л = Лб~б = ЛРО = О (ср. с. 119); можно показать, что в противном случае существовала бы система отсчета, в которой поток энергии превышал умноженную на с ее плотность. 9 95. 'Уравнения Эйнштейна Мы можем теперь перейти к выводу уравнений гравитационного поля.
Эти уравнения получаются из принципа наименьшего ДействиЯ б(О„, + Ок) = О, гДе Ок и Яш ДействиЯ соответственно для гравитационного поля и материи'). Варьированию подвергается теперь гравитационное поле,т.е.величины 81Ь. Вычислим вариацию бою Имеем Р' I-Кб81к+ Л< И'б l-И+ И' l-абКь) 1ГЬ Подставляя сюда, согласно (86А), бАà — д = — ба = — -~à — а 81ьба*", гь:я находим б)Л Г ббй=) (В; — -А Л)бб',Г ббббб-/ б' бл; / ббй. 2 (95А) Для вычисления бЛ1ь заметим, что хотя величины Г„и не составляют тензора, но их вариации бГы образуют тензор. Действительно, Г, АьсЬхб есть изменение вектора при параллельном переносе (см.
(85.5)) из некоторой точки Р в бесконечно близкую к ней Р'. Поэтому бГЬ1Аьдт1 есть разность двух векторов, получающихся соответственно при двух параллельных переносах (с неварьированными и варьированными Г', ) из точки Р в одну и ту же точку Р'. Разность же двух векторов в одной и той же точке является вектором, а потому бГь~ есть тензор. Воспользуемся локально-геодезической системой координат. Тогда в данной точке все Г' = О. С помощью выражения (92.7) ) Вариационный принцип для гравитационного поля указан Г льбертом (В. НЛЬЬегй 1915). з 96 УРАВНЕНИЯ ЭЙНШТЕЙНА для В;ъ имеем (помня, что первые производные от д равны 1Ь теперь нулю): дх' где ю' = 8™й',ь — Д"6Г1ьь. Поскольку ю~ есть вектор, то мы можем написать полученное соотношение в произвольной системе координат в виде 81~бВРЙ = — —,(~à — яю~) у/ — 6 дх (заменяя дю1,1дх' на ю1ч и пользуясь (86.9)).
Следовательно, второй интеграл справа в (95.1) равен 1 1 '"5В т7 — ~И= ~ сЮ / дх и по теореме Гаусса может быть преобразован в интеграл от ю по гиперповерхности, охватывающей весь 4-объем. Поскольку на пределах интегрирования вариация поля равна нулю, то этот член исчезает. Таким образом, вариация бЯ равна') БЯ = — (Въ — — а,ьВ1 бя1~~/ — я г1П. (95.2) 16як / ~, 2 Заметим, что если бы мы исходили из выражения — — / С,У:~ 1П 16я1с / для действия поля, то мы получили бы, как легко убедиться, с ~ д(С~ 6) д д(С~ — д) 5 1ь 1г) 16яа / ~ дбы дх' дб'" дх Сравнивая это с (95.2), находим следующее соотношение:  — —  — — —, (95.3) ,Г=~ ~ дя*" д*' дб'А д дх' ') Отметим здесь следующее любопытное обстоятельство.
Если вычислять вариацию ) Луг — ядй (с Гйь из (92.7)), рассматривая Г~А~ как независимые переменные, а яы — как постоянные, после чего носпользоваться выражениями (86.3) для Гьн то мы получили бы, как легко убедиться, тождественно нуль. Обратно, можно было бы определить связь между Г1, и метрическим тензором, если потребовать обращения указанной вариации в нуль.
372 РРАВНЕНИЯ ГРАВИТАЦИОННОГО ПОЛЯ ГЛ. Х1 Для вариации действия материи напишем, согласно (94.5), бо = — / Т,Або'"~/ — и 44П, 2с ~ (95.4) где Ть — тензор энергии-импульса материи (включая электромагнитное поле). Гравитационное взаимодействие играет роль только для тел с достаточно большой массой (благодаря малости гравитационной постоянной).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
