II.-Теория-поля (1109679), страница 63
Текст из файла (страница 63)
Согласно определениям (92.15) имеем, например: С11 = Л2323, В11 В0123~ В21 В0131~ В31 В01121 Легко видеть, что условия Вь = япВ,ь1 = О эквивалентны следующим соотношениям между компонентами тензоров (92.15): (92.16) А =О, Ад= — Ср. Далее введем симметричный комплексный тензор Р,„в = — (А„,у+ 21В„д — С р) = А д + гВ„р. 1 (92. 17) (92.18) Р~,3п13 = Лп Величины Л являются инвариантами тензора кривизны. Поскольку след Р = О, то равна нулю также и сумма корней уравнения (92.18): ЛО1 + Л1~1 + ЛОО = О. В зависимости от числа независимых собственных векторов и мы приходим к следующей классификации возможных случаев приведения тензора кривизны, --к каноническим типам Петрова 1-1П.
1. Имеются три независимых собственных вектора. При этом их квадраты и п~ отличны от нуля и соответствующим поворотом тензор Р р, а с ним и А„р, В р приводятся к диагональному Такое объединение двух вещественных трехмерных тензоров А д и В р в один комплексный тензор как раз соответствует объединению (в 3 25) двух векторов Е и Н в комплексный вектор Е, а возникающая в результате связь между Р,~ и 4-тензором В;ь1 соответствует связи между Е и 4-тензором Г;ы Отсюда следует, что четырехмерные преобразования тензора Л,м эквивалентны трехмерным комплексным поворотам, производимым над тензоРом Рав ' По отношению к этим поворотам могут быть определены собственные значения Л = Л' + 4Л" и собственные векторы и (вообще говоря, комплексные) как решения системы уравнений 358 ХРАВНЕНИЯ ГРАВИТАЦИОННОГО ПОЛЯ ГЛ. Х1 виду лор А.,= о о Л(1)в в„,= о о о л() о вЂ Л (92 19) о Л(2У' о -л~1)" 4 независимых инварианвыражаются алгебраиче- В этом случае тензор кривизны имеет та') .
Комплексные инварианты Л1~1, Л1~1 ски через комплексные скаляры: 11 = — (лл;ытлл*"' — глллы,В'и ), 48 12 = — (В;.А1 Вкв1' В .л~ + гЛ1ы 31™В 1~), (92.20) 96 где звездочка над буквой означает дуэльный тензор; РГ Л1анп Е1сьрт В 1ш.
2 Вычислив 11, 12 с помощью (92.19), получим 11 = — (Л10~+Л1~1~+Л1ВЛ1~1), 12 = — Л1ИЛ1~1(Л10+Л1~1). (92.21) 3 2 откуда Ры = Л вЂ” г1л, Р22 = Л+ 11л, Ргв = 1л. Комплексная величина Л = Л'+ гЛЛ является скаляром и не может быть изменена. Величине же 1л путем различных комплексных поворотов может быть придано любое (отличное от нуля) ) Вырожденный скучай, когда Л111 = Л1И, ЛП1 = Лрв называют тином Р. Эти формулы позволяют вычислить Л1~1, Л1~1, исходя из значе- ний А;ы в любой системе отсчета. П. Имеются два независимых собственных вектора. Квадрат одного из них при этом равен нулю, в связи с чем он не может быть принят за направление координатной оси. Можно, однако, принять его лежащим в плоскости т х; тогда п2 = 4Н1, пз = О.
1 2. Соответствующие уравнения (92.18) дают Ры+ГРГ2 = Л, Р22 — ГРГ2 = Л, 359 сВойстВА твнзоРА кРиВизны значение; можно поэтому без ограничения общности считать ее вещественной. В результате получим следующий канонический тип вещественных тензоров А„л, Вод: А «6= 66 Л' О, Вй= О Лп+)6 О (92.22) В этом случае имеется всего два инварианта Л и Л««. При этом согласно (92.21) 11 = Л2, 12 = ЛЗ, так что 11 = 122. П1. Имеется всего один собственный вектор с равным нулю квадратом. Все собственные значения Л при этом одинаковы, а потому равны нулю. Решения уравнения (92.18) могут быть приведены к виду Ры = Р22 = .012 = О, Рш = 16, Рйз = г)6, так что (92.23) Аол= О О О, Вд= О О )6 В этом случае тензор кривизны вовсе не имеет инвариантов, и мы имеем дело со своеобразной ситуацией: 4-пространство искривлено, но не существует инвариантов, которые могли бы являться мерой его кривизны ').
Задачи 1. Выразить тензор кривизны Є 6 трехмерного пространства через тензор 2-го ранга Р «ь Решение.ИщемРВ 6 ввиде В «6 = А,утдб А 6 ~От + А66 У ., — Ал«Ч 6, удовлетворяющем условиям симметрии; здесь А В некоторый симметрич- ный тензор, связь которого с Р 6 определяется путем упрощения написан- ного выражения по индексам а и т. Таким путем находим 1 Є = Ач В+ А ю А„л = Р — — Рт 6, 4 и окончательно: Р Втб = Р «ТВ6 Р 676т Р РВ«т «16«т 6 + ("~*6"Ут т .«т06). 2 2. Вычислить компоненты тензоров В,А«и Л«А для метрики, в которой тензор я,ь диагонален. Р е ш е н и е. Представим отличные от нуля компоненты метрического тензора в виде я„=е,е *, со=1, е = — 1. ЗР, ) Такая же ситуация имеет место в вырожденном случае 11 при Л' = Л" = = 0 (его называют типом «Л«).
ЗбО РРАВннния ГРАВитАциОннОГО НОля ГЛ. Х! Вычисление по формуле (92Л) приводит к следующим выражениям для отличных от нуля коъ|понент тензора кривизны: Лн!А = е!е '(Р!ИГМ! -|-Г, АГ!; — Р!РГ!Л вЂ” Р!д!), ! ~ /с ~ 1, В!,!, = е!е !(Р!,,Р!,, — Г!, — Г!НР) + е,е *(Р!,!Р!,! — Р, ! — Гч!,!)— Рае Ч! (по повторяющимся индексам нет суммирования!).
Индексы после запятой означают простое дифференцирование по соответствующей координате. Упрощая тензор по двум индексам, получим В*А = ~~' ЯИРА, + ГВАР!Р— Г!ИР!.и — Р!Ил), ! ~ й, !ИВА Лн=~ ~ГА!РА,-РР— Р;РР+ + е!е!е * ! Р! !Р, ! — РС! — Гс!,! — Рч! Х ~Г,!)~.
ЩР,— Р(! ! з й 93. Действие для гравитационного поля Для нахождения уравнений, определяющих гравитационное поле, необхоДимо пРеДваРительно опРеДелить Действие Ок этого поля. Искомые уравнения получаются тогда путем варьирования суммы действий поля и материальных частиц. Действие О, как и действие для электромагнитного поля, должно быть выражено в виде некоторого скалярного интеграла ) САà — я!!!с, взятого по всему пространству и по временной координате т~ между двумя заданными ее значениями. При этом мы будем исходить из того, что уравнения гравитационного поля должны содержать производные от «потенциалов» поля не выше второго порядка (подобно тому, как это имеет место для уравнений электромагнитного тюля).
Поскольку уравнения поля получаются путем варьирования действия, то для этого необходимо, чтобы подынтегральное выражение С содержало производные от я!ь не выше первого порядка; таким образом, С должно содержать только тензор яеь и величины Г~~!. Однако из одних только величин в!ь и Гы невозможно построить скаляр. Это видно уже из того, что посредством соответствующего выбора системы координат можно всегда обратить все величины Г~! в данной точке в нуль. Существует, однако, скаляр )!à — кривизна 4-пространства,-- который хотя и содержит наряду с тензором я!ь и его первыми производными еще и 361 ДЕЙСТВИЕ ДЛЯ ГРАВИТАЦИОННОГО ПОЛЯ 1 аз вт р о ые производные от а' Р но последние входят только линейно. $ — СИ Благодаря этой линейности инвариантный интеграл ) Л~/ — а можно преобразовать с помощью теоремы Гаусса в интеграл от выражения, не содержащего вторых производных, т.
е. его можно представить в виде где С содержит только тензор я;ь и его первые производные, а подынтегральное выражение во втором интеграле имеет вид дивергенции некоторой величины ю' (подробное вычисление произведено в конце настоящего параграфа). Согласно теореме Гаусса, этот второй интеграл можно преобразовать в интеграл по гиперповерхности, охватывающей 4-объем, по которому производится интегрирование в двух других интегралах. При варьировании действия вариация второго члена справа, следовательно, исчезает, так как по смыслу принципа наименыпего действия на границах области интегрирования вариация поля равна нулю.
Следовательно, мы можем написать б Лъ~ — 6йй = б С~! — 6сИ. Слева стоит скаляр; поэтому скаляром является и стоящее справа выражение (сама же величина С скаляром не является). Величина С удовлетворяет поставленному вьппе требованию, так как содержит только я;ь и его первые производные. Таким образом, мы можем написать з бЛ = — — б ! С~à — д йй = — — б / Л „/ — 6 йй, (93.1) 16тй 1 16ей где й-- новая универсальная постоянная. Аналогично тому, как это было сделано в 327 для действия электромагнитного поля, можно видеть, что постоянная й должна быть положительна (см. конец этого параграфа). Постоянная е' называется гравитационной постоянной.
Размерность й следует непосредственно из (93.1). Действие имеет аз ерность г см с все координаты можно считать имеющими размерность см, а 61ь- — безразмерными, и, следовательно, Л имеет размерность см . В результате находим, что Й имеет рззм азмерность смз г 1 с ~. Ее числовое значение равно Й=6,67 10 ~~~~ г 1 (93.2) 362 РРАВНЕНИЯ ГРАВИТАЦИОННОГО ПОЛЯ ГЛ. Х1 Заметим, что мы могли бы положить й равной единице (или другому произвольному безразмерному числу). При этом, однако, определился бы выбор единицы для измерения массы ') . Вычислим, наконец, величину С в (93.1). Из выражения (92.7) для Л,ь имеем ъ':КЛ = ':аа'"11;ь = = '-а(~' *" — 81" " + 8™Г1 à — 81'т™Г' дГ', дГ', дя' дя" В первых двух членах справа имеем дГ' дГ' Опуская полные производные, находим ,г:~ С = Г,",~, (, -~ 81") — Г,'„~, (,:~81")- — (г11г'„— г';„г, )81" г — и.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
