II.-Теория-поля (1109679), страница 58
Текст из файла (страница 58)
Воспользовавшись (86.5), имеем 336 1АОТИЦА В ГРАВИТАЦИОННОМ ПОЛЕ ГЛ. Х Наконец, преобразуем к криволинейным координатам сумму д2 , вторых производных от некоторого скаляра Н2. Очевидно, дх2дх' что в криволинейных координатах эта сумма перейдет в ф, Но у,; = др/дх', так как ковариантное дифференцирование скаляра сводится к обычному дифференцированию. Поднимая индекс 2, имеем д ;2 2ГВ дх и с помощью формулы (86.9) находим (86.13) Полезно заметить, что теорема Гаусса (83.17) для преобразования интеграла от вектора по гиперповерхности в интеграл по 4-объему может быть написана ввиду (86.9) как (86.14) й 87. Движение частицы в гравитационном поле Движение свободной материальной частицы в специальной теории относительности определяется принципом наименыпего действия: ОО = — тсб сЬ = О, (87.1) согласно которому частица движется так, что ее мировая линия является экстремальной между двумя заданными мировыми точками, т.е.
в данном случае прямой (в обычном трехмерном пространстве этому соответствует прямолинейное равномерное движение) . Движение частицы в гравитационном поле должно определяться принципом наименьшего действия в той же форме (87.1), так как гравитационное поле является не чем иным, как изменением метрики пространства-времени, проявляющимся только в изменении выражения Ые через дх'.
Таким образом, в гравитационном поле частица движется так, что ее мировая точка перемещается по экстремальной, или, как говорят, по геодезической линии в 4-пространстве х, х х, х; поскольку, однако, при наличии гравитационного поля пространство-время негалилеево, то эта линиЯ не «пРЯмаЯГИ а Реальное пРостРанственное движение частицы — не равномерно и не прямолинейно. ДВИ1КЕНИЕ 1АОТИЦЫ В ГРАВИТАЦИОННОМ ПОЛЕ Вместо того чтобы снова исходить непосредственно из принципа наименыпего действия (см.
задачу к этому параграфу), проще найти уравнения движения частицы в гравитационном поле путем соответствующего обобщения дифференциальных уравнений свободного движения частицы в специальной теории относительности, т.е. в галилеевой 4-системе координат. Эти уравнения гласят 11и',111Е = О, или иначе 14и' = О, где и' = с1х'/<1В есть 4-скорость.
Очевидно, что в криволинейных координатах это уравнение обобщается в Т)и' = О. (87.2) Из выражения (85.6) для ковариантного дифференциала вектора имеем 11и'+ Гыи~дх~ = О. Разделив это уравнение на 11з,находим 11 х' ; Нх' дх' 11е 1Ь Ые , + Г*„, — — = О. (87.3) ) Отметим также вид уравнения движения, выраженного через ковариантные компоненты 4-ускорения. Из условия Ази, = О находим ни, — — ГАА1и и = О. 1Ь При подстановке сюда Г»,11 из (86.2) два члена сокращаются и остается — — — ии =О. ди, 1 дк»1 (87.3 а) 1)з 2 дх' Это и есть искомые уравнения движения. Мы видим, что движение частицы в гравитационном поле определяется величинами Гьг Производная 1»~х'/с1В~ есть 4-ускорение частицы. Поэтому мы можем назвать величину — ГНГ~ЫНЬН' «4-силой», действующей на частицу в гравитационном поле.
Тензор д,ь играет при этом роль «потенциалов» гравитационного поля — его производные определяют «напряженность» поля Г,',~1). В 885 было показано, что соответствующим выбором системы координат всегда можно обратить все Г~1 в нуль в любой заданной точке пространства-времени. Мы видим теперь, что выбор такой локально-инерциальной системы отсчета означает исключение гравитационного поля в данном бесконечно малом элементе пространства-времени, а возможность такого выбора 332 1АОТИЦА В ГРАВИТАЦИОННОМ ПОЛЕ ГЛ.
Х есть выражение принципа эквивалентности в релятивистской теории тяготения ') . Четырехмерный импульс частицы в гравитационном поле определяется попрежнему как р' = тси*, (87.4) а его квадрат равен (87. 7) ') В примеч. на с. 326 была также упомянута возможность выбора системы отсчета, «инерцяальной вдоль заданной мировой линии». В частности, если такой линией является координатная линия времени (вдоль которой х,х, х = сопзС), то тем самым гравитационное поле будет исключено в заданном 2 элементе пространственного объема на протяжении всего времени.
2 ) Геодезические, вдоль которых ~Ь = О, называют нулевыми или изотропными. рр'=т с. (87. 5) Подставив сюда — до/дх' вместо р,, найдем уравнение Гамильтона-Якоби для частицы в гравитационном поле: 8' — „— т с =О. гй дд дд (87.6) дх* дх" Для распространения светового сигнала уравнение геодезической линии в форме (87.3) неприменимо, так как вдоль мировой линии распространения светового луча интервал сьв = О и все члены в уравнении (87.3) обращаются в бесконечность. Для придания уравнениям движения в этом случае нужного вида воспользуемся тем, что направление распространения луча света в геометрической оптике определяется волновым вектором, касательным к лучу.
Мы можем поэтому написать четырехмерный волновой вектор в виде й' = ггх'/г2Л,. где Л есть некоторый параметр, меняющийся вдоль луча. В специальной теории относительности при распространении света в пустоте волновой вектор не меняется вдоль луча, т. е. сй' = О (см. 2 53). В гравитационном поле это уравнение переходит в Р'к' = О,или — +Г„,й й =О 2 Й дЛ (из этих же уравнений определится и параметр Л) ') . Квадрат волнового 4-вектора равен нулю (см. 2 48): к;к' = О.
(87.8) Подставляя сюда дг)2/дх' вместо ке (2)2 — эйконал), находим уравнение эйконвла в гравитационном поле: я* —,— „= О. 2А д2~2 дг)2 (87.9) дх* дх" ДВИ1КЕНИЕ 1АОТИЦЫ В ГРАВИТАЦИОННОМ ПОЛЕ 2 г Ь = — тс + — — т1р, 2 187.10) прибавив постоянную — тс2 ') . Это надо сделать для того, чтобы нерелятивистская функция Лагранжа в отсутствие поля Ь = — тс2 + то2/2 была в точности той, в которую переходит 1 1 Г * Фг «» 1= — '/1 — ~/Р в пределе при В/с -Ф О. Нерелятивистское действие Я для частицы в гравитационном поле, следовательно, имеет вид '=) "=--1(о--' -)" г 2с с) Сравнивая это с выражением Я = — тс) 1гз, мы видим, что в рассматриваемом предельном случае 1е= ( — — +-) 12.
г 2с с Возводя в квадрат и опуская члены, обращающиеся при с -Ф ОО в нуль, находим 1Ь2 = (с + 21р)1йг — дгг, 187.11) где мы учли, что тг 111 = 1гг. Таким образом, компонента йоо метрического тензора в предельном случае равна 2гг 8оо = 1+ —,- с 187.12) ) Потенциал ~о определен, разумеется, лишь с точностью до произвольной аддитивной постоянной. Мы подразумеваем везде естественный выбор этой постоянной, при котором потенциал обращаегся в нуль вдали от тел, создающих поле. В предельном случае малых скоростей релятивистские уравнения движения частицы в гравитационном поле должны перейти в соответствующие нерелятивистские уравнения. При этом надо иметь в виду, что из предположения о малости скоростей вытекает также условие, что само гравитационное поле должно быть слабым; в противном случае находящаяся в нем частица приобрела бы большую скорость.
Выясним, как связан в этом предельном случае метрический тензор 81ь с нерелятивистским потенциалом 1р гравитационного поля. В нерелятивистской механике движение частицы в гравитационном поле определяется функцией Лагранжа (81.1). Мы напишем ее теперь в виде 334 1АОТИЦА В ГРАВИТАЦИОННОМ ПОЛЕ ГЛ. Х Что касается остальных компонент, то из (87.11) следовало бЫ, ЧтО дед = Б,„В, яео = О. В дЕйСтВИтЕЛЬНОСтИ, ОдНаКО, ПО- правки к ним, вообще говоря, того же порядка величины, что и поправка в яоо (см. об этом подробнее в 8106). Невозможность определения этих поправок приведенным выше способом связана с тем, что поправка в я в, имеющая тот же порядок величины, что и поправка в яоо, привела бы в функции Лагранжа к членам более высокого порядка малости (вследствие того, что в выражении для Г1в компоненты дов не умножаются на с2, как это имеет 2 место для 800).
Задача Вывести уравнение движения (87.3) из принципа наименьшего действия (87.1). Р е ш е н и е. Имеем 6<Ь~ = 2двбдв = 6(8;ьйх'бхх) = бх'бх" 'ьбх'+ 28,ьг1х'ббх". дх' Поэтому Г (1 бх' дх" д8;А ~ г)х' с16х" 1 бд= — то~ '1 — — —, бх +8;А — ~сЬ= l 2 йв бв дх' дв дв /'11 с~х' бх' д8;в ~ д 7 дх'1 в' 2 сЬ сЬ дх' сЬ ~Ь (при интегрировании по частям учтено, что на пределах бх" = 0). Во втором члене под интегралом заменим индекс й индексом 1. '1Ьгда, приравнивая нулю коэффициент при произвольной вариации бх', находим 1,,дк,ь д, 1, вдй,ь Ы,,дйн — и'и *, — — (йни*) = — и*и *, — йп — — и*и ',, = О.
2 дх' ~Ь 2 дх' дв дхв Замечая, что третий член можно написать в виде 1„,„.7д8, д8. ) и вводя символы Кристоффеля Гьо„согласно (86.2), получаем ди' 8Н вЂ” + Гь ми*и = О. йв Уравнение (87.3) получается отсюда поднятием индекса 1. 8 88. Постоянное гравитационное поле Гравитационное поле называют постоянным, если можно выбрать такую систему отсчета, в которой все компоненты метрического тензора не зависят от временной координаты т; последнюю называют в таком случае мировым временем. 335 з 88 ПОСТОЯННОЕ ГРАВИТАЦИОННОЕ ПОЛЕ Выбор мирового времени не вполне однозначен. Так, при добавлении к хо произвольной функции пространственных координат все Кеь по-прежнему не будут содержать хе; это преобразование соответствует произвольности выбора начала отсчета времени в каждой точке пространства').
Кроме того, разумеется, мировое время допускает умножение на произвольную постоянную, т.е. произвольный выбор единицы его измерения. Строго говоря, постоянным может быть лишь поле, создаваемое одним телом. В системе нескольких тел их взаимное гравитационное притяжение приводит к возникновению движения, в результате чего создаваемое ими поле не может быть постоянным. Если создающее поле тело неподвижно (в системе отсчета, в котоРой Кеь не зависит от хе), то оба напРавлениЯ вРемени эквивалентны.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
