II.-Теория-поля (1109679), страница 53
Текст из файла (страница 53)
е. все рассеяние является когерентным. Ксли же Л «а, то при усреднении в 180.9) все члены суммы (как средние значения быстро осциллирующих функций времени) исчезают, так что йт „= О. Таким образом, в этом случае рассеяние целиком некогерентно. тем, что вместо среднего значения квадрата модуля суммы в нем стоит квадрат модуля среднего значения суммы: ГЛАВА Х ЧАСТИЦА В ГРАВИТАЦИОННОМ ПОЛЕ й 81.
Гравитационное поле в нерелятивистской механике Гравитационные поля (или поля тяготения) обладают следующим основным свойством: все тела вне зависимости от их массы движутся в них (при заданных начальных условиях) одинаковым образом. Например, законы свободного падения в поле тяготения земли одинаковы для всех тел, какой бы массой они нн обладали,— все они приобретают одно и то же ускорение. Это свойство гравитационных полей дает возможность установить существенную аналогию между движением тел в гравитационном поле и движением тел, не находящихся в каком либо внешнем поле, но рассматриваемых с точки зрения неинерцивльной системы отсчета.
Действительно, в инерциальной системе отсчета свободное движение всех тел происходит прямолинейно и равномерно, и если, скажем, в начальный момент времени их скорости были одинаковыми, то они будут одинаковыми все время. Очевидно, поэтому, что если рассматривать это движение в заданной неинерциальной системе, то и относительно нее все тела будут двигаться одинаковым образом. Таким образом, свойства движения в неинерциальной системе отсчета такие же,как в инерциальной системе при наличии гравитационного поля.
Другими словами, неинерциальная система отсчета эквивалентна некоторому гравитационному полю. Это обстоятельство называют принципом эквивалентности. Рассмотрим, например, движение в равномерно ускоренной системе отсчета. Свободно движущиеся в ней тела любой массы будут, очевидно, обладать относительно этой системы одинаковым постоянным ускорением, равным и противоположным ускорению самой системы отсчета. Таким же является движение в однородном постоянном гравитационном поле, например в поле тяготения земли (в небольших участках его, где поле можно рассматривать как однородное). Таким образом, равномерно ускоренная система отсчета эквивалентна постоянному однородному внешнему полю. В таком же смысле неравномерно ускоренная, г 81 ГРАвитациОннОе пОле в негелятивистскОЙ мехАнике 305 поступательно движущаяся система отсчета эквивалентна однородному, но переменному гравитационному полю.
Однако поля, которым эквивалентны неинерциальные системы отсчета, все же не вполне тождественны с «истинными» гравитационными полями, существующими и в инерциальных системах. Между ними имеется существенное отличие в отношении их свойств на бесконечности. На бесконечном расстоянии от создающих поле тел «истинное» гравитационное поле всегда стремится к нулю.
Поля же, которым эквивалентны неинерциальные системы отсчета, на бесконечности, напротив, неограниченно возрастают, или, в крайнем случае, остаются конечными по величине. Так, возникающие во вращающейся системе отсчета центробежные силы неограниченно растут при удалении от оси вращения; поле, которому эквивалентна ускоренно прямолинейно движущаяся система отсчета, одинаково во всем пространстве, в том числе и на бесконечности.
Поля, которым эквивалентны неиперциальные системы отсчета, исчезают, как только мы перейдем к инерциальней системе. В противоположность этому, «истинные» гравитационные поля (существующие и в инерциальной системе отсчета) невозможно исключить никаким выбором системы отсчета. Это видно уже из указанного выше различия между условиями на бесконечности в «истинных» гравитационных полях и в полях, которым эквивалентны неинерциальные системы; поскольку последние на бесконечности к нулю не стремятся, то ясно, что никаким выбором системы отсчета нельзя исключить «истинные» поля, обращающиеся на бесконечности в нуль.
Единственное, чего можно достичь надлежащим выбором системы отсчета, это — исключения гравитационного поля в данном участке пространства, достаточно малом для того, чтобы в нем можно было считать поле однородным. Это можно сделать путем выбора ускоренно движущейся системы, ускорение которой было бы равно тому ускорению, которое приобретает частица, помещенная в рассматриваемом участке поля. Движение частицы в гравитационном поле определяется в нерелятивистской механике функцией Лагранжа, имеющей (в инерциальной системе отсчета) вид 2 Т = — ту, (81.1) где со некоторая функция координат и времени, характеризующая поле и называемая гравитационным потенциалом') . ') Ниже нам не придется больше пользоваться электромагнитным потенциалом 1», так что обозначение гравитационного потенциала той же буквой не может привести к недоразумению.
306 1АОТИЦА В ГРАВИТАЦИОННОМ ПОЛЕ ГЛ. Х Соответственно уравнения движения частицы гласят (81.2) Ф = — 8гай ~р. Они не содержат массы или какой-либо другой постоянной, характеризующей свойства частицы, что является выражением основного свойства гравитационных полей. й 82. Гравитационное поле в релятивистской механике Основное свойство гравитационных полей,— что все тела движутся в них одинаковым образом, остается в силе и в релятивистской механике. Остается, следовательно, и аналогия между гравитационными полями и неинерциальными системами отсчета.
Поэтому естественно при изучении свойств гравитационных полей в релятивистской механике тоже исходить из этой аналогии. В инерциальной системе отсчета в декартовой системе координат интервал Йе определяется формулой Йе = с Ж вЂ” Йх — Йу — Йе . При переходе к любой другой инерциальной системе отсчета (т. е. при преобразовании Лоренца) интервал, как мы знаем, сохраняет тот же самый вид.
Однако если мы перейдем к неинерциальной системе отсчета, то ЙВ2 уже не будет суммой квадратов дифференциалов четырех координат. Так, при переходе к равномерно вращающейся системе координат х = х'соэй1 — у'е1пй1, у = х'эшй1+у'совй1, (й — угловая скорость вращения, направленная вдоль оси е) ин- тервал приобретает вид Йв = ~с — й (х' +у' )]Ж вЂ” Йх' — Йу'— — Йе'~+ 2йу'Йх'й — 2йх'Йу'М. По какому бы закону ни преобразовывалось время, это выражение не может быть приведено к сумме квадратов дифференциалов четырех координат.
Таким образом, в неинерциальной системе отсчета квадрат интервала является некоторой квадратичной формой общего вида от дифференциалов координат, т.е. имеет вид Йв = 8ГАЙх'Йх", (82.1) г 82 ГРАВиТАциОннОе пОле В РЕЛЯТИВИОтскОЙ мехАнике 807 где йгь — некотоРые фУнкции пРостРанственных кооРдинат х, 1 х2, хз и временной координаты хо. Четырехмерная система координат хо, х1, х2, хз является, таким образом, при пользовании неинерциальными системами отсчета криволинейной. Величины 81ы опРеделЯЯ все свойства геометРии в кажДой данной криволинейной системе координат, устанавливают, как говорят, метрику пространства-времени. Величины 818 можно, очевидно, всегда считать симметричными по индексам 1 и Й (8гь = Яы), посколькУ они опРеделяются из симметричной формы (82.1), куда щ, и яы входят помноженными на одно и то же произведение йх'йх". В общем случае имеется, следовательно, всего 10 различных величин я,» четыре с одинаковыми и 4 3/2 = 6 с различными индексами.
В инерциальной системе отсчета при пользовании декартовыми пространственными координатами х = х,у,г и временем х = с8 величины я,» равны о 8м = 822 = дзз = — 1, 8,:» = 0 при 1ф й. (82.2) Фю = 1 СистемУ кооРДинат (четыРехмеРНУю) с этими значениЯми 82ь мы будем называть галилеевой. В предыдущем параграфе было показано, что неинерпиальные системы отсчета эквивалентны некоторым силовым полям.
Мы видим теперь, что в релятивистской механике эти поля определяются величинами щ,. То же самое относится и к «истинным» гравитационным полям. Всякое гравитационное поле является не чем иным, как изменением метрики пространства-времени, соответственно че- мУ оно опРеделнетси величинами йгы Это важнейшее обстоЯ- тельство означает, что геометрические свойства пространства- времени (его метрика) определяются физическими явлениями, а не являются неизменными свойствами пространства и времени.
Теория гравитационных полей, построенная на основе теории относительности, носит название общей теории относительиости. Она была создана Эйнштейном (и окончательно сформулирована им в 1915 г.) и является, пожалуй, самой красивой из существующих физических теорий. Замечательно, что она была )тостроена Эйнштейном чисто дедуктивным путем и лишь в дальнейшем была подтверждена астрономическими наблюдениями.
Как и в нерелятивистской механике, между «истинными» гравитационными полями и полями, которым эквивалентны неинерциальные системы отсчета, имеется коренное отличие. При переходе к неинерциальной системе отсчета квадратичная форма имеет вид (82.1), т, е, величины я,» получаются из 308 ЧАОТИЦА В ГРАВИТАЦИОННОМ ПОЛЕ ГЛ.
Х их галилеевых значений (82.2) преобразованием координат, а потому обратным преобразованием могут быть снова приведены во всем пространстве к галилеевым значениям. То, что такой вид 8гь является весьма специальным, видно уже из того, что преобразованием всего лишь четырех координат нельзя, в общем случае, привести десять величин 8;.ь к наперед заданному виду. Истинное гравитационное поле не может быть исключено никаким преобразованием координат. Другими словами, при наличии гравитационного поля пространство-время таково, что определяющие его метрику величины я,ь никаким преобразованием координат не могут быть приведены во всем пространстве к их галилееву виду.
Такое пространство-время называют кривым в отличие от плоского, в котором указанное приведение возможно. Надлежащим преобразованием координат можно, однако, привести ай к галилееву виду в любой отдельной точке негалилеева пространства-времени: это сводится к приведению к диагональному виду квадратичной формы с постоянными коэффициентами (значения я,ь в данной точке). Такую систему координат мы будем называть галилеевой для данной точки ') . Заметим, что, будучи приведенной в данной точке к диагональному виду, матрица величин я,ь имеет одно положительное и три отрицательных главных значения (совокупность этих знаков называют сигнаглурой матрипы).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
