II.-Теория-поля (1109679), страница 49
Текст из файла (страница 49)
Š— — Е 2 "'ч — з 2 "'. 2 д ." 2 Зс' Зс' Зс' 11 Зсз ) Точнее, — движение, которое было бы стационарным при пренебрежении излучением, приводящим к постепенному затуханию движения. 281 з 75 тогможение излч 1ением При усреднении по времени первый член исчезает, так что сред- няя работа оказывается равной ,'~ Гч = — — зс12. (75.6) [сЫ] = — [сЫ] — [сЫ] и замечая, что полная производная по времени (первый член) при усреднении исчезает, найдем окончательно следующее вы- ражение для средней потери момента импульса излучающей си- стемой '): = — —, [сЫ].
(75.7) Торможение излучением имеет место и при наличии одного движущегося во внешнем поле заряда. Оно равно 2е Г = — ч. Зс (75. 8) Для одной частицы можно всегда выбрать такую систему отсчета, в которой она в данный момент времени покоится. Если вычислять в такой системе дальнейшие члены разложения ') В согласии с результатом (3), иолучеииым в задаче 2 З 72. Но стоящее справа выражение есть не что иное, как (взятое с обратным знаком) среднее излучение энергии системой за единицу времени (см. (67.8)).
Таким образом, возникающие в третьем приближении силы (75.5) описывают обратное действие излучения на заряды. Эти силы носят название тормозюенил излучением или лоренцевых сил тпрен л. Одновременно с потерей энергии в излучающей системе зарядов происходит также и потеря момента импульса. Уменьшение момента импульса в единицу времени, дМ/й, легко вычислить с помощью выражений для сил торможения. Дифференцируя момент М = ~ [гр] по времени, имеем М = ~ [гр], так как ~ [гр] = ~т[чч] = О. Производную по времени от импульса частицы заменяем действующей на нее силой трения (75.5) и находим 2 2 [ 1'] = —, ~> е[гс1] = —,[с1с1].
Нас интересует среднее по времени значение потери момента импульса при стационарном движении, подобно тому как выше нас интересовала средняя потеря энергии. Написав 282 ИЗЛЧ 1ЕНИЕ ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫХ ВОЛН ГЛ. 1Х 2« тч = —.,й. Зс Это уравнение имеет, кроме тривиального решения ч = сонэк, еще решение, в котором ускорение ч пропорционально ехр (Зтсз1/2е ), т. е. неограниченно возрастает со временем.
Это значит, например, что заряд, прошедший через какое-нибудь поле, по выходе из поля должен был бы неограниченно «самоускорятьсяь. Абсурдность этого результата свидетельствует об ограниченной применимости формулы (75.8). Может возникнуть вопрос о том, каким образом злектродинамика, удовлетворяющая закону сохранения энергии, может привести к абсурдному результату, в котором свободная частица неограниченно увеличивает свою энергию. Корни этой трудности находятся, в действительности, в упоминавшейся ранее Я37) бесконечной электромагнитной «собственной массе» элементарных частиц. Когда мы пишем в уравнениях движения конечную массу заряда, то мы этим, по существу, приписываем ему формально бесконечную же отрицательную «собственную массу» неэлектромагнитного происхождения, которая вместе с электромагнитной массой приводила бы к конечной массе частицы.
Поскольку, однако, вычитание одной из другой двух бесконечностей не является вполне корректной математической операцией, то это и приводит к ряду дальнейших трудностей, в том числе и к указанной здесь. В системе координат, в которой скорость частицы мала, уравнение движения с учетом торможения излучением имеет вид тч = еЕ + — [чН] + — ч. е 2« с 3«З (75.9) По изложенным соображениям, это уравнение применимо только постольку, поскольку сила торможения мала по сравнению с силой, действующей на заряд со стороны внешнего поля. создаваемого зарядом поля, то легко убедиться в том, что при стремлении к нулю радиус-вектора К от заряда к точке наблюдения все эти члены обращаются в нуль.
Таким образом, в случае одного заряда формула (75.8) является точным выражением для обратного действия излучения в той системе отсчета, в которой заряд покоится. Надо, однако, иметь в виду, что описание действия заряда «самого на себя» с помощью силы торможения вообще не является вполне удовлетворительным и содержит в себе противоречия. Уравнение движения заряда в отсутствие внешнего поля, на который действует только сила (75.8), имеет вид 283 1 75 ТОРМОЖЕНИЕ ИЗЛЕ 1ЕНИЕМ Для выяснения физического смысла этого условия поступим следующим образом. В системе отсчета, в которой заряд в данный момент покоится, вторая производная от скорости по времени равна (при пренебрежении силой торможения): Ф = — Е+ — ~ФН]. т тс Во втором члене подставляем (ограничиваясь той же точностью) Ф = еЕ/т и получаем 21 = — Е+, ~ЕН).
т т с Соответственно этому сила торможения будет состоять 2и двух членов: (75.10) Если с2 есть частота движения, то Е пропорционально с2Е и, Е М 2, следовательно, первый член порядка величины,Е; второй тс е же — порядка — ЕН. Поэтому условие малости сил торможет с ния по сравнению с действующей на заряд внепшей силой еЕ дает, во-первых: с2 24с « 1, тс или, вводя длину волны Л с/4с: 2 л» ', (75.11) тс Таким образом, формула (75.8) для торможения излучением применима только в том случае, если длина падающей на заряд волны велика по сравнению с «радиусом» заряда е~/тс .
Мы видим, что расстояния порядка е /тс опять оказываются той границей, за которой электродинамика приходит в противоречие сама с собой (см. ~ 37). Во-вторых, сравнивая второй член в силе торможения с силой еЕ, находим условие 2 4 2 (75.12) е (или с/4сн» е (тпс', где ын = еН(тпс). Таким образом, необходимо также, чтобы само поле не было слишком велико.
Поля Тп с /е тоже являются границей, за которой классическая электродинамика приводит к внутренним противоречиям. 284 ИЗЛЗ' 1ЕНИЕ ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫХ ВОЛН ГЛ. 1Х И здесь надо иметь в виду, что в действительности электродинамика становится неприменимой, вследствие квантовых эффектов, уже при значительно меньших полях') . Напомним во избежание недоразумений, что длина волны в (75.11) и величина поля в (75.12) относятся к той системе отсчета, в которой частица в данный момент покоится. Ж Зс гпг жг Г Это выражение усредняем по периоду движения. Учитывая медленность изменения М, в правой части равенства достаточно усреднить лишь Г г; это среднее значение вычисляется точно так, как вычислялось в задаче 1 3 70 среднее значение от Г «.
В результате находим для средней потери момента в единицу времени следующее выражение: 11М 2о(2дф))~1~ Х ег ег ')г Щ 3сзМг зтг тг г (знак среднего, как и в (1), опускаем). Разделив (1) на (2), получим дифференциальное уравнение г ,у~ 2Мз 1 интегрируя которое, найдем ~ '~ = ", ( — —,) + ~~ ~ М. 2ЛХг Мо Мо (3) Постоянная интегрирования выбрана таким образом, чтобы при М = Мо было Ж' = 4~, где Мз н во — начальные значения момента и энергии частиц. «Падению» частиц друг на друга соответствует ЛХ вЂ” » О. Из (3) видно, что при этом, как и шгедовало, 3' -» — оо. 1) При полях ш~с~/йе, т. е.
когда Лын тс . Этот предел в йс/е = 137 раз меньше предела, устанавливаемого условием (73.12). (Ср. примеч. на с, 131.) Задачи 1. Определить время, в течение которого два притягивающихся заряда, совершающих эллиптическое движение (со скоростью, малой в сравнении со скоростью света) и теряющие энергию вследствие излучения, «упааут» друг на друга. Р е ш е н и е. Предполагая относительную потерю энергии за один оборот малой, мы можем положить производную по времени от энергии, равной средней интенсивности излучения (определенной в задаче 1 3 70): «1ф! (2ф))»1гдзггоз ' ег ег )г 2)й'(Мг~ где а = ~егег~.
Наряду с энергией, частицы теряют момент количества движения. Потеря момента в единицу времени дается формулой (73.7); подставляя в нее выражение (70.1) для д и замечая, что дг = — аг7«з н М = Дтт), находим ~ 76 тогможение излтчением В Релятивистском слгчае 285 Заметим, что произведение ф~М~ стремится к до~/2 и из формулы (70.3) видно, что зксцентриситет с — ~ О, т.е. по мере сближения частиц орбита приближается к окружности. Подставляя (3) в (2), определяем производную ~й/НМ, выраженную как функция от М, после чего интегрирование по пМ в пределах от Ме до нуля дает время падения с Мою (с1 сз ) з( /= — — — — ) 3 76. Торможение излучением в релятивистском случае Выведем релятивистское выражение для торможения излучением (для одного заряда), применимое и при движении со скоростями порядка скорости света.
Эта сила будет теперь 4-вектором я', которым надо дополнить уравнение движения заряда, написанное в четырехмерном виде: т,с — = — Г' иь+ 8'. (76.1) <Ь с 2е (~Ми ~ Ь) И~ив) (76.2) Полученную формулу можно переписать в другом виде, выразив, согласно уравнениям движения, производные ~42и',7Я62 через тензор действующего на частицу внешнего электромагнитного поля: ди' е — = — ЕЕ* иы дв гпс Для определения 8л заметим, что при и «с его три пространственные компоненты должны перейти в компоненты вектора Г/с (75.8). Легко видеть, что этим свойством обладает 4-век2е с1~и' тор —, . Он, однако, не удовлетворяет тождеству ф'и, Зс Ыв = О, которое имеет место для компонент всякого 4-вектора силы.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
