II.-Теория-поля (1109679), страница 50
Текст из файла (страница 50)
Для того чтобы удовлетворить этому условию, надо прибавить к написанному выражению некоторый дополнительный 4-вектор, составленный из 4-скорости и' и ее производных. Три пространственные компоненты этого вектора должны обращаться в предельном случае ц = О в нуль так, чтобы не изменить правильного 2е И~и' значения Г, которое уже дается выражением —, . Этим свойЗс йв ством обладает 4-вектор и', и потому искомый дополнительный член должен иметь вид ои'.
Скаляр о надо выбрать так, чтобы удовлетворить соотношению 8зи; = О. В результате находим 286 ИЗЛЕ 1ЕНИЕ ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫХ ВОЛН ГЛ. 1Х При подстановке надо иметь в виду, что произведение антисим- метричного по индексам г, Й тензора дР' /дх на симметричный тензор ииь дает нуль. Итак, 8'= ',, иьи~ —;,РиРыи~+ ',,(Рыи')(Р' и )и'.
(76.3) Зтсз ОЕ1 ЗтЯсе Зт с Интеграл от 4-силы 8', взятый по мировой линии движения заряда, пролетающего через заданное поле, должен совпасть (с обратным знаком) с полным излучением зарядом 4-импуль- са 7)4Р' (подобно тому как среднее значение работы силы Г в нерелятивистском случае совпадает с интенсивностью диполь- ного излучения — см. (75.6)).
Легко убедиться в том, что это действительно так. Первый член в (76.2) при интегрировании обращается в нуль, поскольку на бесконечности частица не имеет ускорения, т. е. ди'/ЕЬ = О. Второй член интегрируем по частям и получаем 4 4 2е / 1 44 11~Не 2е 1 11ие 41и" — д' ГЬ = — 1 и'и —, сЬ = — — 1 — — дх, Зс 4 1Ь Зс 1 1Ь 4Ь что в точности совпадает с (73.4). Когда скорость частицы приближается к скорости света, в пространственных компонентах 4-вектора (76.3) наиболее быстро возрастает часть, происходящая от члена, содержащего тройные произведения компонент 4-скорости. Сохраняя поэтому лишь этот член в (76.3) и учитывая связь (9.18) между пространствен- ными компонентами 4-вектора 8' и трехмерной силой 1', находим для последней 1' =,,(Рыи')(Рь и )и, где п единичный вектор в направлении хе.
Следовательно, в этом случае сила Г направлена против направления скоро- сти частицы; выбирая последнее в качестве оси х и раскрывая четырехмерные выражения, получим 2е4 (Ь' — Н.)'+ (Е. + О„)' (76.4) Зт с 1 — с~/с (везде, за исключением знаменателя, положено и = с). Мы видим, что для ультрарелятивистской частицы сила торможения пропорциональна квадрату ее энергии. Обратим внимание на следующее интересное обстоятельство. В предыдущем параграфе было показано, что полученные выражения для торможения излучением применимы лишь в таких полях, величина которых в системе покоя частицы (система Ко) ~ 76 тормоукение излгчением В Релятивистском слхчае 287 мала по сравнению с т с~)(е .
Пусть г' есть порядок величины внешнего поля в системе отсчета К, в которой частица движется со скоростью о. Тогда в системе Ке поле имеет порядок величины Р),/1 — (Р( .фру р бр 721).н ух должно удовлетворять условию « 1. 176.5) М ру, . р .«(72.2)«» ( еГ) по порядку величины есть е г' то(1 — е уус) и мы видим, что соблюдение условия 176.5) не препятствует тому, что сила торможения может оказаться 1при достаточно большой энергии частицы) большой по сравнению с обычной лоренцевой силой, действующей на заряд в электромагнитном поле') .
Таким образом, для ультрарелятивистской частицы может иметь место случай, когда торможение излучением является основной действующей на нее силой. В этом случае потерю энергии (кинетической) частицей на единице длины ее пути можно считать равной одной только силе торможения ух; имея в виду, что последняя пропорциональна квадрату энергии частицы, напишем ) ©22 ббХ где символом )с(х) обозначен зависящий от координаты х коэффициент, выражающийся, согласно 176.4), через поперечные компоненты поля.
Интегрируя это дифференциальное уравнение, найдем х = — + ус(я) сЬ, 4' йа где оо обозначает начальную энергию частицы 1энергия при х — + †). В частности, конечная энергия частицы б1 1после пролета частицы через поле) определяется формулой ) Подчеркнем, что этот результат, разумеется, ни в какой степени не противоречит произведенному вьппе выводу релятивистского выражения для 4-силы я*, предполагавшему ее «малость» по сравнению с 4-силой (еу(с)7г*~иь.
Достаточно соблюдения условия малости компонент одного 4- вектора по сравнению с другим хотя бы в одной системе отсчета; в силу релятивистской инвариантности получающиеся на основании такого предположения четырехмерные формулы будут автоматически справедливы и во всякой другой системе отсчета.
288 гл. гх игле гение электРОмАГнитных ВОлн — = — + / й(х) с(х. йг йс )р(ы видим, что при ОΠ— э Оо конечная энергия О1 стремится к постоянному, не зависящему от Гро пределу (И. Я. Померанчук, 1939). Отсюда следует, что после пролета через поле энергия частицы не может превышать значения Й" р, определяемого ра- венством -~. оо — / й(х) с(х или, подставляя выражение для Й(х), — ',,( — ',) )' 1в„-лл'-,-(в,-,-л)')г . (ггг) Задачи 1. Определить предельную энергию, которой может обладать частица после пролета через поле магнитного диполя пг; вектор пг и направление движения лежат в одной плоскости.
Р е т е ни е. Выбираем плоскость, проходящую через вектор щ и направление движения, в качестве плоскости хг, причем частица движется параллельно осн х на расстоянии р от нее. Для действующих на частицу поперечных компонент поля магнитного диполя имеем (см. (44.4)); Н„= О, Н, — — (3(рсоа х г-хвгпгг)р — (р + х ) сов гг) (~р — угол между щ и осью х). Подставляя в (76.6) и производя интегрирование,получим г г — ( ) (15+ 26 сов ф. 4'„р 64т с р' тс 2. Написать трехмерное выражение для силы торможения в релятивистском случае.
Р е ю е н и е. Вычисляя пространственные компоненты 4-вектора (76.3), получим й =, (1 — —,) (( — + (я~7))Е+ -~[р( — + (я~7))Н) )+ +, ([ЕН[+ — [Н[НР)[+ — Е(ЕЕ))— Зт с с с — р((Е+ — [ЕН)) — — (Еч) ). зт'с'(1 —,';,') с с 289 спектРАльнОе Рдзложение излучения й 77. Спектральное разложение излучения в ультрарелятивистском случае Выше Я 73) было показано, что излучение ультрарелятивистской частицы направлено в основном вперед, вдоль скорости частицы: оно почти целиком заключено в малом интервале углов вокруг направления ч. Для вычисления спектрального разложения излучения существенно взаимоотношение между величиной этого интервала и полным углом отклонения о частицы при пролете через внешнее электромагнитное поле.
Угол о может быть оценен следующим образом. Поперечное (к направлению движения) изменение импульса частицы порядка величины произведения поперечной силы еГ ') на время пролета через поле 1 а/и а/с (где а — расстояние, на котором поле заметно отлично от нуля). Отношение этой величины к импульсу пас тс р= Уà — сэ7сз уУт си7сэ и определит порядок величины малого угла сс еГо и 1 — —.
щс у с Разделив его на Ьд, найдем о еро (77.1) ,А а пэс Обратим внимание на то, что это отношение не зависит от скорости частицы и целиком определяется свойствами самого внешнего поля. Предположим сначала, что ег'а» тс, (77.2) т. е. полный угол отклонения частицы велик по сравнению с Ьд. Тогда мы можем утверждать, что излучение в заданном направлении происходит в основном с того участка траектории, на котором скорость частицы почти параллельна этому направлению ) Если выбрать ось х вдоль направления движения частицы, то (еЕ) с есть сумма квадратов у- и в-составлякпцих лоренцевой силы еЕ ф — (РН], в с которой можно при этом положить и с: Е' = (Еи — Н„)'+ (Е, + Н„)'.
10 Л.Д. Ландау и В.М. Лифшиц. Том П 290 ИЗЛЕ 1ЕНИЕ ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫХ ВОЛН ГЛ. 1Х (образует с ним угол в интервале Ь0) и длина этого участка мала по сравнению с а. На таком участке поле г' можно считать постоянным и поскольку малый участок кривой можно рассматривать как отрезок окружности, то мы можем применить результаты, полученные в 3 74 для излучения при равномерном движении по окружности (заменив при этом Н на Г). В частности, можно утверждать, что основная часть излучения будет сосредоточена в области частот (77.3) (см.
(74.16)) В обратном предельном случае ег'а « тс (77.4) полный угол отклонения частицы мал по сравнению с Ьн. В этом случае все излучение происходит в основном в один узкий интервал углов ЬЙ вокруг направления движения, определяясь при этом всей траекторией частицы. Для вычисления спектрального разложения интенсивности в этом случае удобно исходить из выражения для поля в волновой зоне излучения в форме Лиенара-Вихерта (73.8). Вычислим компоненту Фурье Е = Ее'"'пт. Выражение в правой части формулы (73.8) есть функция запаздывающего момента времени т', определяющегося из условия т' = = 1 — А11(г') 11с. На болыпих расстояниях от частицы, движущейся с почти постоянной скоростью и, имеем 1 =1 — — + -пг(Г ) = 1 — — + -пхР1 ЛВ 1 1 ЛВ 1 с с с с (г = г(г') хрг' — радиус-вектор частицы), или 1( ПЧ) ГВ1 Интегрирование по 11Г заменяем интегрированием по 11Г~, положив и получаем е.= — ', ', 1 ~ ~( --') 1Г1)) ° Р ~ Р(1- — ""))1Р'.
СПЕКТРАЛЬНОЕ РАЗЛО2КЕНИЕ ИЗЛЕЧЕНИЯ 291 177.6) / г а — 4/1 — —. 4рг 2' Скорость ч рассматривается здесь везде как постоянная величи- на; переменным является лишь ускорение хР11'). Введя обозначе- ние ~' = ~(1 — — ") 177.5) и соответствующую этой частоте компоненту Фурье ускорения, напишем Е в виде Е„= —, ( —,) ~п~(п — — )гт Наконец, согласно 166.9), находим окончательно для энергии, излученной в телесный угол до с частотой в Й ~: 4Ю„,4 = ., ( —,) ~п[(п — — )2ч ~~ ) 4)о —.
Оценку порядка величины частот, в области которых сосредо- точена основная часть излучения в случае 177.4), легко сделать, заметив, что компонента Фурье Тч 2 заметно отлична от нуля, лишь если время 1/ьг' или, что то же, 1 22(1 — Р /с ) будет того же порядка, что и время а/22 а~'с, в течение кото- рого заметным образом меняется ускорение частицы. Поэтому находим 177.7) Н11 — Р 7с ) Зависимость этих частот от энергии такая же, как и в 177.3), но коэффициент иной. В произведенном 1для обоих случаев 177.2) и 177.4)) иссле- довании подразумевалось, что полная потеря энергии частицей при ее прохождении через поле относительно мала. Покажем теперь, что к первому из рассмотренных случаев приводится так- же вопрос об излучении ультрарелятивистской частицей, полная потеря энергии которой сравнима с ее первоначальной энергией.
Потерю энергии частицей в поле можно определить как рабо- ту силы лоренцева трения. Работа силы 176.4) на пути а есть, по порядку величины, 4122 ~У- тс11 — Р/с) Для того чтобы она оказалась сравнимой с полной энергией "!гт7",- 4 ° 2 ~ --* -2 яниях 293 РАССЕЯНИЕ СВОВОДНЫМИ ЗАРЯДАМИ 8 78. Рассеяние свободными зарядами Если на систему зарядов падает электромагнитная волна, то под ее влиянием заряды приходят в движение. Это движение в свою очередь сопровождается излучением во все стороны; происходит рассеяние первоначальной волны. Рассеяние удобно характеризовать отношением количества энергии, испускаемой рассеивающей системой в данном направлении в единицу времени к плотности потока энергии падающего на систему излучения.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
