II.-Теория-поля (1109679), страница 48
Текст из файла (страница 48)
В результате получается следующая формула: г 2 з г е гг~е~(1 — — 2) [2 — сов  — —,(1+ — 2) соз В~ 8е~т с 11 — 1е~ ггс~) созг В) Отношение интенсивностей излучения под углом д = гг/2 1перпендикулярно к плоскости орбиты) и под углом д = 0 (в плоскости орбиты) равно 1511/Во)~ 4+ Зе~7'с~ (ЫггВо) 72 811 — е~/с~)55~ При Π— э 0 это отношение стремится к 1/2, но при скоростях, близких к скорости света, оно становится очень болыпим. Мы вернемся еще к этому вопросу ниже. Далее, рассмотрим спектральное распределение излучения. Поскольку движение заряда периодично, то речь идет о разложе- нии в ряд Фурье.
Вычисление удобно начать с векторного гютен- циала. Для его компоненты Фурье имеем формулу 1ср. 166.12)) гзв, В А = е ~ ехр~г(основ — кг)) дг, сКоТ где интегрирование производится вдоль траектории частицы 1окружности). Для координат частицы имеем х = г сов о2к1, д = = гвшеок1. В качестве переменной интегрирования выбираем угол 52 = огц'5. Замечая, что пи Ыг = йгсоэВвгпу = — совдэгп552 с 1е = пшк7'с = пи75сг), находим для компоненты Фурье х-состав- ляющей векторного потенциала А „= — е 5 ехр ~гп~ ~р — — совдзгп~р)~ згпгрсВр.
ео гоко 1 В / 2ггсКо ./ ~ 5, с О 274 ИЗЛЕ 1ЕНИЕ ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫХ ВОЛН ГЛ. 1Х ~ьнВ 11 1' ИР л) СЛВ 1, С (74.6) Аналогичным образом вычисляется А„„: А„„= е'~лВ,7„( — соэ В) . (74.7) Компонента же вдоль оси е, очевидно, вообще отсутствует. По формулам ~ 66 имеем для интенсивности излучения с частотой ш = пан в элемент телесного угла но: 111„~Н„! тто до ~ [1ЕА„) ~ Ао 11о.
Замечая1что ((А1с] )з = .4з йз + 4з ~2 Е1пе д и подставляя выражения (74.6), (74.7), получим для интенсивности излучения следующую формулу (С. А. Ясйой, 1912): И- "'Н (1 ")~~8 В. т (и'соеВ)+" 7 (н" соэВ)~,1О (74.8) Для определения полной по всем направлениям интенсивности излучения с частотой ы = гклн это выражение должно быть проинтегрировано по всем углам. Интегрирование, однако, не может быть произведено в конечном виде.
Посредством ряда преобразований, использующих некоторые соотношения теории функций Бесселя, искомый интеграл может быть приведен к следующему виду: Рассмотрим более подробно ультрарелятивистский случай, когда скорость движения частицы близка к скорости света. Положив в числителе формулы (74.2) е = с, найдем, что полная интенсивность магнито-тормозного излучения в ультра- релятивистском случае пропорциональна квадрату энергии частицы О: (74.10) С таким интегралом нам приходилось уже иметь дело в з 70. Он выражается через производную от функции Бесселя: 275 1 74 МАГНЕТО-ТОРМОЗНОЕ ИЗЛУЧЕНИЕ Угловое распределение излучения в этом случае крайне анизотропно. Оно сосредоточено в основном вблизи плоскости орбиты.
Угловую ширину А".гй, в которой заключена основная часть г 2 излучения, легко оценить из условия 1 — — сов д 1 — —. 2 с2 сг Очевидно, что ЬО б 1 — — = с Ж' (74.11) (этот результат находится, конечно, в соответствии с рассмотренным в предыдущем параграфе угловым распределением мгновенной интенсивности, см. (73.12) ') ). Специфическим характером обладает в ультрарелятивистском случае также и спектральное распределение излучения (у7. А.
Арцимович и И. Я. Померанчух 1945). Мы увидим ниже, что в этом случае основную роль в излучении играют частоты с очень большими п. В связи с этим можно воспользоваться асимптотической формулой (70.9), согласно которой имеем г„= г ~,—,г~ — б'() — — ) б( )б ), (2422( и 273(тпс ) При и — г 0 выражение в квадратных скобках стремится к постоянному пределу — Ф'(О) = 0,4587...') .
Поэтому при и « 1 ) 11е смешиватгч однако, угол б в атом параграфе с углом В между и и и в 373! ) При подстановке один нз пределов интеграла (о~7~) заменен, с требуемой точностью, на бесконечность, и везде, где возможно, положено с = с. Хотя в интеграле в (74.9) фигурируют также и не близкие к 1 значения б, тем не менее использование формулы (74.12) допустимо, поскольку интеграл быстро сходится на нижнем пределе.
) Согласно определению функции Эйри имеем 17б Ф (О) — б зш ((б — х з(п х Нх— г, У 1 г, г, 3' ет(273) у(п,/ 3 угп 3'7~,/ 2у(п б с 32п(2пЦ) —,, Ф(п~(~(1 — ~~)). (74.12) Подставив это выражение в (74.9), получим следующую формулу для спектрального распределения излучения при больших значениях п'): 276 ИЗЛИ 1ЕНИЕ ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫХ ВОЛН ГЛ. 1Х имеем ~п 6752 г з( ) п 1((п((( г) (7414) При и » 1 можно воспользоваться известным асимптотическим выражением функции Эйри (см. примеч.
на с. 210), и получить 1„= г з(™ ) ехр[ — -и( — ) ~, и>> ( —,), (74.15) т.е. интенсивность экспоненциально падает при очень больших и. Спектральное распределение имеет, следовательно, максимум при и (о/гис ), и основная часть излучения сосредоточена в области частот (74.16) Эти частоты очень велики по сравнению с расстоянием 1пп между двумя соседними из них. Другими словами, спектр излучения состоит из очень большого числа близко расположенных линий, т. е. имеет квазинепрерывный характер. Вместо функции распределения Х„можно поэтому ввести распределение по непрерыв- номУ РЯДУ частот аг = пшн, написав 711 = 1пйп = 1в —.
Ь7Л Для численных расчетов удобно выразить это распределение через функции Макдональда К ') . Путем несложных преобразований формулы (74.13) оно может быть представлено в виде ИХ = й,— ",Р( — ), Р!1) = 1) х„,!1)11, (7с!7) ') Связь функций Эйри с функций К!71 дается формулой (4) в примеч. на с. 2ий При дальнейших преобразованиях используются рекуррентные соотношения 2Р К, !(х) — К +!(х) = — — К (х), 2К,(х) = — К !(Т) — К„+!(х), причем К (х) = К (х).
В частности, легко найти,что 4 (1) = — Кг2з( — 1 ). о 74 МАГНИТО-ТОРМОЗНОВ ИЗЛРЧВНИВ где обозначено (74.18) На рис. 17 изображен график функции Е®. Наконец, несколько замечаний о случае, когда частица движется не по плоской круговой орбите, а по винтовой траектории, т.е. имеет продольную (по отношению к полю) скорость Оо = н сов 1г (1~ — угол между Р Н и тг). Частота вращатель- о,оо ного движения дается той же формулой (74.1), но вектор тг описывает не круг, а поверхность конуса с осью вдоль Н и углом 21г при вершине. Полная интенсивность излучения о о,оо о 3 4 (понимаемая как полная потеря энергии частицей в 1 с) будет отличаться от (74.2) заменой Н на Н, = Н з1п у. В ультрарелятивистском случае излучение сконцентрировано в направлениях вблизи образующих «конуса скоростейж Спектральное распределение и полная интенсивность (понимаемые в том же смысле) получаются из (74.17) и (74.10) заменой Н э — э Нт.
Если же речь идет об интенсивности, наблюдаемой в указанных направлениях удаленным неподвижным наблюдателем, то в формулы надо ввести множитель, учитывающий общее приближение или удаление излучателя (движущейся по кружку частицы) от наблюдателя. Этот множитель дается отношением 4Й44Ж„,б, ГдЕ Ж аб — ИНтЕрВаЛ ВРЕМЕНИ МЕжду ПОСтуПЛЕНИЕМ К Наблюдателю сигналов, испускаемых источником с интервалом 444. Очевидно,что Рис. 17 1 444 б = Ж(1 — н~~ сов д) с где оу угол между направлениями 14 и Н (последнее принято за положительное направление скорости оо).
В ультрарелятивистском случае, когда направление 14 близко к направлению тг, имеем д — т, так что О4 4О С В1П (74.19) Задачи 1. Определить закон изменения энергии со временем для заряда, движущегося по круговой орбите в постоянном однородном магнитном пален теряющего энергию путем излучения. 278 ИЗЛХ 4ЕНИЕ ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫХ ВОЛН ГЛ. 1Х Р е ш е н и е.
Согласно (74.2) имеем для потери энергии в единицу времени: 44' 2е Н,з 41 2т4с' (е' — энергия частицы). Отсюда находим 4Н2 — сСЬ 1 -1- сопэ1) . П2С Зт С С увеличением 1 энергия монотонно надает, приближаясь к значению 4' = 2 = пэс (полная остановка частицы) асимптотически при 1-4 оо. 2. Найти асимптотическую формулу для спектрального распределения излучения с большими значениями и для частицы, движущейся по окружности со скоростью,не близкой к скорости света. Р е ш е н и е. Используем известную формулу теории функций БессеУ (пе) = 2 1,4 ~ еХ12(~/ 1 — с )) Л~п(1 - ез)'74 1 + Л :сз справедливую при п(1 — е~)~2~ >> 1.
С ее помощью находим из (74.9) Эта формула применима при п(1 — с~/с )~~~ >> 1; если к тому же 1 — с~/с мало, то формула переходит в (74.15). 3. Найти поляризацию магнито-тормозного излучения. Р е ш е н и е. Электрическое поле Е„вычисляется по векторному потенциалу А„(74.6), (74.7) по формуле Е„= — [[ИА„]к) = — — 14(14А„) + гйА„. й й Пусть еы ез единичные векторы в плоскости, перпендикулярной к 14, причем ег параллелен оси х, а ез лежит в плоскости рз (их компоненты; ег = (1,0,0)., ег = (О,эшВ, — созВ)); векторы еы ез, к образуют правую тройку.
Тогда электрическое поле будет: Е„= гйА,„е2 + 2й эш ВАР„ез, или, опустив несущественные общие множители: с, /пс у пи Е„со — 4 ( — созВ)ед -~сйВ,7 ( — созВ)2е2. с с с Волна эллиптически поляризована (см. 2 48). В ультрарелятивистском случае для больших и и малых углов В функции,У и,7' выражаются через К4, 2 и К272, причем в их аргументах полагаем 1 — — соз В 1 — — +В =( ) +В.
с с 6' 280 гл. гх излх гение электРОмАГнитных ВОлн Тогда новый векторный потенциал будет равен дг ,г д1 / бс. д1г 1д 1. 1д' = — —,— ~ 1зЛà — —,—, ~ КрЛ'. Ра~ / Зс д1~,/ Переходя здесь от интегралов к суммам по отдельным зарядам, для первого слагаемого в правой части получим выражение — — 2 еФ. Во втором слагаемом пишем К = Ко — г, где Кс и 1 с г имеют обычный смысл (см. З 66); тогда К = — г = — хГ, и второе 1 слагаемое принимает вид —, 2 еФ. Таким образом, Зс (75.3) Зс ~ — ~ Соответствующее этому потенциалу магнитное поле равно нулю (Н = ГОФАцгз = О), поскольку Ацгз не содержит явным ' 42) образом координат. Электрическое же поле, Е = — А 1 1/с, равно (75.4) Е = —,с1, Зс' где с1 дипольный момент системы.
Таким образом, члены третьего порядка в разложении поля приводят к появлению дополнительных действующих на заряды сил, не содержащихся в функции Лагранжа (65.7); эти силы зависят от производных по времени от ускорения зарядов. Рассмотрим систему зарядов, совершающих стационарное движение') и вычислим среднюю работу, производимую полем (75.4) за единипу времени. На каждый заряд е действует сила 1 = еЕ, т.е. (75.5) Зсз В единицу времени эта сила производит работу, равную Гу; полная работа, совершенная над всеми зарядами, равна сумме по зарядам: 6Г = — Г1 ~ еч = — ГЫ = — — (ГЫ) — — сз .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
